岳紅云

【摘要】函數(shù)項級數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，收斂與一致收斂性是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的重要性質(zhì)之一，本文主要通過定義和例題淺析函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂性的聯(lián)系與不同，從而應(yīng)用函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，解釋和函數(shù)與函數(shù)項分析性質(zhì)的一致性問題，舉例說明具有重要的實際應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】收斂性;一致收斂性;比較;應(yīng)用

【基金項目】1.河南工業(yè)大學(xué)2019年本科教育教學(xué)改革研究與實踐項目：基于信息化教學(xué)環(huán)境下“高等數(shù)學(xué)B（二）”課程的混合式教學(xué)研究與實踐.項目號：JXYJ-K201945;

2.高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究發(fā)展中心2020年教學(xué)改革項目：以學(xué)為中心的高等數(shù)學(xué)課程混合式教學(xué)模式改革的研究與實踐.項目號：CMC20200203.

一、引言

在數(shù)學(xué)分析中， 收斂性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，收斂與一致收斂性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，函數(shù)表達的一種方法是用函數(shù)項級數(shù)表示， 這種方法是表示非初等函數(shù)的重要方法. 函數(shù)項級數(shù)不僅可以表示函數(shù)，還是研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的重要工具， 想要通過函數(shù)項級數(shù)研究它所表示的函數(shù)的重要性質(zhì)：和函數(shù)的連續(xù)、可積和可微性，就不能只考慮其收斂性，還要考慮更強的收斂性——一致收斂性，一致收斂是確保和函數(shù)連續(xù)的重要條件， 同時也是保障和函數(shù)可積和可微不可或缺的條件.

下面將從函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂性的定義研究它們的聯(lián)系與不同.

二、收斂與一致收斂性的定義

②利用定義判定一致收斂性時，需要求出和函數(shù)，如果和函數(shù)不易求得，此時要判別函數(shù)項級數(shù)在某區(qū)間上的一致收斂性就需要根據(jù)函數(shù)項級數(shù)自身的特點，換用其他方法，比如柯西一致收斂準則、維爾斯塔拉斯判別法等.

四、結(jié)論

通過收斂與一致收斂的定義和例題可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)項級數(shù)∑∞n=0xn在（-1，1）上收斂，而在（-1，1）上非一致收斂，原因就是逐點收斂與均勻收斂的差別：函數(shù)項級數(shù)在（-1，1）上每一點處與某個常數(shù)的距離都可以任意小，所以每一點都是收斂的，而在（-1，1）上找不到通用的自然數(shù)N，使得在區(qū)間（-1，1）上每一點處函數(shù)項級數(shù)與其和函數(shù)的距離可以任意小（盡管它在[-r，r]（0

所以對函數(shù)項級數(shù)來說， 收斂只要求對其定義域內(nèi)的某一個點，函數(shù)項級數(shù)的部分和與和函數(shù)從某個正整數(shù)開始，以后的各項是無限接近的， 在不同收斂點選取的正整數(shù)可以不相同，也就是收斂速度可以不同，所以收斂點與收斂點之間沒有必然的聯(lián)系，此時收斂性只是數(shù)列的收斂性，不涉及函數(shù)的分析性質(zhì)，所以在收斂的條件下，函數(shù)項的性質(zhì)與其和函數(shù)的性質(zhì)之間沒有必然的聯(lián)系;一致收斂是指函數(shù)項級數(shù)在某個范圍內(nèi)有共同的收斂速度，收斂點與收斂點之間相互關(guān)聯(lián)、相互制約，保證收斂速度的一致性是函數(shù)項級數(shù)在一個區(qū)間上收斂的整體體現(xiàn)，涉及函數(shù)的分析性質(zhì)，所以在一致收斂的條件下，考查函數(shù)項性質(zhì)與其和函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系時，就會得到“如果函數(shù)項級數(shù)在某個點集上一致收斂，并且函數(shù)項各項在點集上連續(xù)，那么和函數(shù)也在該點集上連續(xù)”的結(jié)論，所以在較高的一致收斂條件下，應(yīng)用函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性就可以利用函數(shù)項的性質(zhì)得到和函數(shù)的分析性質(zhì).

五、應(yīng)用

【參考文獻】

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義：第三版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 段會卿.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法[J].科技資訊，2011（18）：176.

[3] 武忠祥.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)教學(xué)輔導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2006，9.