QQ直播課堂教學(xué)模式探究
——以三重積分定義為例

張艷妮

(吉林建筑科技學(xué)院，長(zhǎng)春 130112)

1 三重積分的定義教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 通過解決非均勻物體的質(zhì)量問題引出課題

通過計(jì)算一杯水和一塊鉆石的質(zhì)量來(lái)總結(jié)出水和鉆石的共同點(diǎn)，即密度是均勻不變的，還總結(jié)出密度均勻的物質(zhì)其質(zhì)量都等于密度乘以體積。要想求出一個(gè)密度均勻物體的質(zhì)量，應(yīng)先將物體置于空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)物體為Ω，密度函數(shù)μ(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，求物體Ω的質(zhì)量。物體的密度是不斷變化的連續(xù)函數(shù)，可以借助分割、近似、求和、取極限這四步來(lái)求物體的質(zhì)量。

分割：通過三組曲面將物體分成n個(gè)小的閉子區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域的體積記為Δvi，小區(qū)域的直徑記為di。近似：在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)處的密度來(lái)近似代替整個(gè)小區(qū)域的密度，該密度乘以小區(qū)域的體積就是小區(qū)域質(zhì)量的近似值。求和：對(duì)得到的n個(gè)小區(qū)域質(zhì)量近似值求和，進(jìn)而得到整個(gè)物體質(zhì)量的近似值。取極限：當(dāng)每個(gè)小區(qū)域的直徑都特別小，直徑的最大值趨于0時(shí)，求得的質(zhì)量近似值就無(wú)限趨于要求的精確值，這兩個(gè)趨近過程就是求極限的思想。當(dāng)每個(gè)小區(qū)域直徑最大值趨于0時(shí)，對(duì)所求得的和式取極限就能得到物體Ω質(zhì)量的精確值，也就是固定和式的極限。若極限值存在，就稱這個(gè)極限值為函數(shù)在Ω上的三重積分。

在三重積分的講解過程中，理論講解比較枯燥且抽象，學(xué)生難以理解，對(duì)此，可在PPT中插入一些圖片，并進(jìn)行一些動(dòng)畫設(shè)計(jì)。這樣不僅保證了課程內(nèi)容的生動(dòng)形象，還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解能力。從qq在線課堂的教學(xué)情況可以看出，學(xué)生的參與程度較好。

1.2 對(duì)三重積分的定義進(jìn)行講解說明

利用PPT給學(xué)生展示三重積分的定義，并按照分割、近似、求和、取極限這四個(gè)步驟對(duì)定義進(jìn)行講解，最后給出了三重積分的定義式以及各符號(hào)的名稱。通過對(duì)定義進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生一起給出對(duì)于三重積分定義的幾點(diǎn)說明：①三重積分的實(shí)質(zhì)就是固定和式的極限。②借助三重積分的定義，可以推導(dǎo)出本節(jié)課引入的例子就是密度函數(shù)在有界閉區(qū)域Ω上的三重積分，也就是說三重積分的物理意義是密度非均勻物體的質(zhì)量。③由定義中的條件可以得出，三重積分存在的充要條件是要求被積函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)連續(xù)。④提出問題讓學(xué)生自主思考被積函數(shù)是1的三重積分所代表的意義。根據(jù)三重積分的定義，當(dāng)被積函數(shù)是1時(shí)，右側(cè)的和式極限就相當(dāng)于對(duì)n個(gè)小區(qū)域的體積求和，得到的就是整個(gè)閉區(qū)域Ω的體積。以后再遇到求曲頂柱體體積的問題，除了可以用二重積分來(lái)求，也可以用被積函數(shù)是1的三重積分來(lái)求。

1.3 對(duì)三重積分問題進(jìn)行求解

將三重積分分解為三次積分，并在空間直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系這三種坐標(biāo)系中進(jìn)行分解?？臻g直角坐標(biāo)系：將有界閉區(qū)域分成n個(gè)小的閉子區(qū)域，除了含有邊界曲面的區(qū)域外，中間的區(qū)域都是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體積就等于長(zhǎng)、寬、高的乘積，因此，長(zhǎng)方體的體積元素dV=dxdydz。計(jì)算過程中，可以將三重積分按照這三個(gè)變量的范圍分成三次積分來(lái)進(jìn)行求解。柱面坐標(biāo)系：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的關(guān)系將三重積分直角坐標(biāo)系中的x,y替換成極坐標(biāo)r,θ，那么(r,θ,z)就是所建立的柱面坐標(biāo)。這些內(nèi)容學(xué)生學(xué)習(xí)過，可以引導(dǎo)學(xué)生自己建立出柱面坐標(biāo)系，并確定這三個(gè)坐標(biāo)的范圍以及它們都是由哪些平面組成的。畫出平面后，學(xué)生還可以對(duì)照直角坐標(biāo)系得出柱面坐標(biāo)系中的面積元素表達(dá)式，并利用柱面坐標(biāo)系的特點(diǎn)將三重積分化為三次積分來(lái)進(jìn)行求解。球面坐標(biāo)系：用球面上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離r作為其中一個(gè)變量，用球面上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線，將其與z軸的夾角φ作為第二個(gè)變量，第三個(gè)變量是極坐標(biāo)中的極角θ，由這三個(gè)變量構(gòu)成的坐標(biāo)系被稱為球面坐標(biāo)系。

可利用PPT動(dòng)畫功能將這三個(gè)曲面給學(xué)生演示出來(lái)，并讓學(xué)生總結(jié)出這三個(gè)變量的范圍以及面積元素表達(dá)式。還應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例給學(xué)生講解如何在球坐標(biāo)系下將三重積分化為三次積分來(lái)進(jìn)行求解，讓學(xué)生掌握這三個(gè)不同坐標(biāo)系的形成過程、特點(diǎn)及區(qū)別，使其明白這三個(gè)坐標(biāo)系分別適合于什么類型的三重積分求解，教師應(yīng)針對(duì)具體問題進(jìn)行講解。

2 QQ直播課堂的教學(xué)模式

在QQ直播過程中，學(xué)生可以聽到教師具體、細(xì)致的講課過程，還能看到生動(dòng)的課件動(dòng)畫演示，能夠最逼真地模擬實(shí)際上課流程，但仍與實(shí)際授課過程存在一定差距，不能完全達(dá)到與學(xué)生面對(duì)面的教學(xué)效果，也不能實(shí)時(shí)關(guān)注學(xué)生具體的聽課情況。針對(duì)這些問題，應(yīng)在QQ直播過程中與學(xué)生進(jìn)行在線互動(dòng)。

2.1 在課前進(jìn)行課程錄制

在每節(jié)課上課之前，教師應(yīng)把要講的知識(shí)點(diǎn)提前錄制出來(lái)，這樣做的目的有兩個(gè)，一是防止在上課過程中因網(wǎng)絡(luò)突然出現(xiàn)故障而影響學(xué)生正常上課，可以讓學(xué)生先自主學(xué)習(xí)，這種方法既能為維修網(wǎng)絡(luò)爭(zhēng)取時(shí)間又不會(huì)耽誤學(xué)生學(xué)習(xí)。二是每節(jié)課后把課程視頻發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行課后鞏固。

2.2 在課前進(jìn)行打卡簽到

在課程開始時(shí)，應(yīng)發(fā)布上課打卡小程序，讓學(xué)生以自己的班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)來(lái)進(jìn)行打卡，設(shè)置時(shí)間3 min，在3 min內(nèi)打卡則說明學(xué)生按時(shí)上課。之所以設(shè)置為3 min，是為了防止學(xué)生網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)問題，可以給學(xué)生一個(gè)簡(jiǎn)單修復(fù)的時(shí)間。

2.3 統(tǒng)計(jì)直播課堂的出勤率

為了防止出現(xiàn)學(xué)生打卡后不進(jìn)直播課堂聽課的情況，需在直播課堂的授課過程中分幾個(gè)時(shí)間段不定時(shí)統(tǒng)計(jì)幾次學(xué)生的出勤率，如果統(tǒng)計(jì)幾次學(xué)生都不在線，那就說明學(xué)生曠課了。如果學(xué)生只是偶爾一次不在線，也有可能是因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)掉線了，一定要分多次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，不能用一次的結(jié)果作為最終結(jié)果。

2.4 采用連麥的方式與學(xué)生直接互動(dòng)

連麥分為兩種情況，一是點(diǎn)名讓學(xué)生與教師通過連麥來(lái)回答問題，這種方法既可以考查學(xué)生對(duì)所講內(nèi)容的理解，又可以檢查學(xué)生的聽課情況，能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)起到督促作用。二是學(xué)生有問題時(shí)可主動(dòng)與教師連麥，教師可以直接針對(duì)問題進(jìn)行解答。

3 結(jié)語(yǔ)

QQ直播課堂這種授課方式在互動(dòng)上還存在一些不足，具有一些局限性，但卻不受時(shí)間和地域的限制，課后學(xué)生的反響較好，能基本滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，會(huì)成為未來(lái)一種常見的輔助授課方式。