夏常明

[摘 要]數(shù)學經(jīng)驗積累力是指把數(shù)學學科知識納入學生個人數(shù)學經(jīng)驗系統(tǒng)的能力，是衡量學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標準。數(shù)學經(jīng)驗積累力的發(fā)展，離不開前延、沖突、聯(lián)結三個活因子。數(shù)學經(jīng)驗積累力立足于學生數(shù)學活動，捕捉前延、沖突、聯(lián)結活因子，不斷發(fā)展完善。學生在不斷優(yōu)化完善數(shù)學經(jīng)驗積累力的同時，其數(shù)學基本活動經(jīng)驗也不斷獲得優(yōu)質發(fā)展。

[關鍵詞]數(shù)學活動;活因子;經(jīng)驗積累力

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0041-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出了“四基”，即數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，同時指出“數(shù)學課堂教學，要緊密聯(lián)系學生的生活實際，從學生的生活經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設生動有趣的情境，引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，使學生通過數(shù)學活動，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗”。

數(shù)學經(jīng)驗積累力是指把數(shù)學學科知識納入學生個人數(shù)學經(jīng)驗系統(tǒng)的能力，是衡量學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標準。這里的數(shù)學經(jīng)驗積累力，不僅包含總量（即學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的寬廣程度），也包含質量（即學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累效率），更重要的是增量（即學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的創(chuàng)新程度以及把數(shù)學基本活動經(jīng)驗轉化為數(shù)學素養(yǎng)的程度）。數(shù)學經(jīng)驗積累力的發(fā)展，離不開前延、沖突、聯(lián)結三個活因子。前延是一切數(shù)學活動的基礎，它能發(fā)掘經(jīng)驗積累力，保證數(shù)學基本活動經(jīng)驗前行;沖突是數(shù)學活動的資源，能夠把數(shù)學活動引入深處，發(fā)展經(jīng)驗積累力，提升數(shù)學經(jīng)驗的品質;聯(lián)結則賦予了數(shù)學基本活動經(jīng)驗預設性和假定性的意義，完善經(jīng)驗積累力，讓數(shù)學基本活動經(jīng)驗充滿活力。

一、捕捉前延活因子，發(fā)掘經(jīng)驗積累力

杜威曾經(jīng)指出：真正的經(jīng)驗是具有連續(xù)性的。每一種數(shù)學經(jīng)驗都建立在已有經(jīng)驗之上，同時又以某種方式納入和改變著原有經(jīng)驗的性質。數(shù)學課程標準指出：數(shù)學教學活動必須建立在學生已有的經(jīng)驗基礎之上。需要指出的是，小學生數(shù)學經(jīng)驗的前延不僅包括數(shù)學結構性知識，還包括數(shù)學程序性知識，更是包括大量的生活經(jīng)驗。這些數(shù)學經(jīng)驗的前延是零散的、模糊的、感性的，更有甚者是毫無科學道理的，但這些前延都是學生個性化的感性經(jīng)驗，是積累數(shù)學經(jīng)驗的活因子。為此，在設計數(shù)學教學活動之前，教師要準確捕捉學生已有數(shù)學經(jīng)驗的前延活因子，并根據(jù)其特點靈活選擇恰當?shù)幕顒有问?，高效激活學生的數(shù)學思維，發(fā)掘學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗積累力。

例如，蘇教版教材五年級下冊“圓”第一課時時展示了幾種不同的畫圓方法。

第一種，圓規(guī)畫圓。學生通過自主操作嘗試，都能夠熟練掌握。

第二種，器具畫圓。找到圓形器具，用一只手壓住，另一只手用筆描邊畫圓。

第三種，繩子畫圓。繩子一端系在鉛筆上，另一端固定在中心點上，以其為圓心，拉直繩子作半徑，旋轉繩一周即可畫圓。

第四種，轉圈畫圓。教師手拿帶勺子的竹竿，舀上石灰，以自己的腳為中心，原地轉圈。

除了第一種方法外，教材均是以靜態(tài)的方式呈現(xiàn)出其余三種方法，學生很難感受。教師用課件的方式動態(tài)展示四種畫圓的方法，讓學生觀察、比較：不同的畫圓方法，有什么相同之處？學生通過觀察、比較，很容易得出：都有一個中心點和固定長度，即圓心和半徑。

師：畫圓的時候要注意什么？

生1：中心點位置不能偏，偏了就畫不圓了。

生2：固定長度的距離要保持好，不能忽長忽短。

師：中心點是圓心，固定長度是圓的半徑。關于圓心和半徑，你還有哪些認識？

生3：圓心能夠確定圓的位置，因為這些圓的位置都是由圓心決定的。

生4：在同一個圓內(nèi)，半徑的長度都是相等的?？梢詮牟煌媹A的方法中看出來。

生5：在不同的圓內(nèi)，半徑的長度是不相等的。

……

動手操作是學生認識圖形、探索與圖形有關知識的一個重要方法和途徑。課中，教師讓學生動手畫圓，在畫圓過程中認識圓的相關特征。其中，器具畫圓、繩子畫圓、轉圈畫圓是學生日常生活中經(jīng)常見到或使用過的方法，這些都是學生關于畫圓經(jīng)驗的前延因子。生動熟悉的生活素材與生活情境和自己的親身經(jīng)歷可以使數(shù)學由抽象變得具體，激發(fā)學生的學習興趣。學生通過畫圓操作，不僅掌握了畫圓的技巧，還發(fā)現(xiàn)了圓的相關特征。教師巧妙利用課件，動態(tài)展示了畫圓的方法，捕捉了前延活因子，極大地調動了學生的學習積極性，有力地促進了學生主動思考。

二、捕捉?jīng)_突活因子，發(fā)展經(jīng)驗積累力

奧蘇伯爾在有意義學習觀點中指出：在新知識的學習中，認知結構中原有經(jīng)驗起決定作用，這種原有的知識經(jīng)驗對新知識起固定作用。學生必須積極主動地使這種具有潛在意義的新知識與認知結構中的舊知識發(fā)生相互作用。課程標準指出，學生課堂學習的過程，是自主建構新知的過程，是學生與課堂諸因素之間相互作用的過程。在這個過程中，沖突是有意義的學習所必不可少的。不同學生個體年齡大小、心理特征、認知結構等方面存在差異，即使面對相同知識，不同學生仍然會積累不同的活動經(jīng)驗，甚至是前后沖突的經(jīng)驗。如果出現(xiàn)沖突經(jīng)驗，學生自身經(jīng)驗系統(tǒng)就處于一種失衡狀態(tài)，沖突此時成為“因子”。在小學數(shù)學學習活動中，教師要善于把學生數(shù)學經(jīng)驗沖突當成資源，從外在的表現(xiàn)形式入手，展現(xiàn)學生的思維過程，從而把學習活動引入深處，逐步發(fā)展學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗積累力。

例如，在教學“小數(shù)除以小數(shù)”時，讓學生上黑板板演“7.98÷4.2”。

第一位學生算出0.19。算理：4.2的小數(shù)點向右移動一位，用7.98除以42，所得到的結果就是0.19。

第二位學生算得19。算理：4.2的小數(shù)點移動到最右邊，7.98的小數(shù)點也移動到最右邊（很顯然，他忘了應該是移動相同位數(shù)）。

第三位學生算得1.9。算理：4.2的小數(shù)點向右移動一位，7.98的小數(shù)點也跟著向右移動一位。

師：對于上述幾種不同的計算方法，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：第一位同學把除數(shù)小數(shù)點向右移動了一位，而被除數(shù)沒有變化。

生2：第二位同學把除數(shù)小數(shù)點向右移動了一位，卻把被除數(shù)的小數(shù)點向右移動了兩位。

……

可誤主義數(shù)學觀下，數(shù)學經(jīng)驗在“批判—認同”的建構中創(chuàng)新。學生主體同時建立和構造關于新經(jīng)驗認知結構的過程。既要建立對新知識的理解，將新知識與已有經(jīng)驗建立聯(lián)系，又要將新知識與原有認知結構結合，通過納入、重組和改造，構成新的認知結構。學生在嘗試解決小數(shù)除以小數(shù)的問題之前，已經(jīng)積累了小數(shù)乘以小數(shù)、整數(shù)除以小數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)等相關數(shù)學知識經(jīng)驗。這些未經(jīng)提煉和優(yōu)化的經(jīng)驗，很大一部分還處于一種因操作性和情境性太強而不能與之分離，或者停留于不能轉化為結構表征的淺層次經(jīng)驗。當學生運用這些淺層次經(jīng)驗去解決問題時，必然會出現(xiàn)不科學、不嚴謹，甚至錯誤的結果，產(chǎn)生數(shù)學經(jīng)驗“沖突”因子。為此，教學中教師需要及時引導學生回顧富含個人經(jīng)歷的數(shù)學活動，并進行討論、反思、總結，以實現(xiàn)感性經(jīng)驗理性化，個人經(jīng)驗社會化，零散經(jīng)驗系統(tǒng)化。

三、捕捉聯(lián)結活因子，完善經(jīng)驗積累力

數(shù)學基本活動經(jīng)驗分為靜態(tài)和動態(tài)兩方面。從靜態(tài)上看，數(shù)學活動經(jīng)驗是知識;從動態(tài)上看，數(shù)學活動經(jīng)驗是過程。日常教學中，教師容易將數(shù)學經(jīng)驗客體化，將一切人類認識成果當作靜態(tài)經(jīng)驗。本質上，數(shù)學基本活動經(jīng)驗是由經(jīng)驗生問題，通過知識與學生的相遇，實現(xiàn)經(jīng)驗意義的增加。其中，聯(lián)結起到了關鍵作用。聯(lián)結是心理原理的一個重要概念，在這里，聯(lián)結賦予了數(shù)學基本活動經(jīng)驗預設性和假定性的意義，通過學生感受與理解、歸納與抽象、感悟與升華、體驗與反思等活動，經(jīng)驗具有了活力，變得鮮活，情感和思想有了聯(lián)結，從而得出了新的數(shù)學基本活動經(jīng)驗。需要指出的是，學生新的數(shù)學基本活動經(jīng)驗不一定是科學的，也不一定是正確的，但是已觸及了經(jīng)驗的內(nèi)在聯(lián)結。也許學生并不清楚這種內(nèi)在聯(lián)結，也不能清楚地表達這種內(nèi)在聯(lián)結，但是學生是能感受到這種內(nèi)在聯(lián)結的。

例如，教學蘇教版教材五年級上冊“平行四邊形的面積”時，出示例1中的一組圖形。

有的學生采用數(shù)格子的方法，有的學生把不規(guī)則的圖形轉化成長方形這一規(guī)則圖形。

師：比較這兩個圖形的面積時，是數(shù)方格方便，還是轉化后再比較方便？

師：把不熟悉的、較復雜的圖形轉化成熟悉的、簡單的圖形，是計算圖形面積的一種常用方法。

師：你能想辦法求出平行四邊形的面積嗎？

（學生演示各種剪拼方法）

師：這些方法各不相同，方法之間有相同的地方嗎？

生：它們都是沿著平行四邊形的一條高剪開的。

師：所有的平行四邊形都能用剛才的方法轉化成長方形嗎？

……

上述平行四邊形的面積計算教學分兩個層次進行。第一層次，要求學生判斷例1兩個圖形的面積是否相等，引導學生在動手操作中體會到：不規(guī)則圖形可以轉化成規(guī)則圖形，割補、平移是實現(xiàn)轉化的基本方法。同時讓學生明確，轉化前后的圖形的形狀雖然發(fā)生了變化，但是面積是不變的，為學習平行四邊形面積計算做好準備。第二個層次，首先要求學生獨立動手操作，完整經(jīng)歷把平行四邊形轉化成長方形的過程;其次，展示學生獨立剪、拼的成果，引導學生觀察和比較，建立初步猜想。學生在剪拼活動中的操作是有個性特征的，在拼的過程中獲得的經(jīng)驗又是多樣的。通過引導學生對比不同的剪拼方法，發(fā)現(xiàn)共同特征：沿著平行四邊形的一條高把它剪成兩個部分。最后，組織學生參與平行四邊形面積公式的推導活動。對于轉化前后兩個圖形面積以及相關邊長的對應聯(lián)結，學生在活動已經(jīng)有了感知，并且在平行四邊形面積公式的推導過程中數(shù)學經(jīng)驗積累力得到了很好發(fā)展。

學生在實際操作、主動猜想、觀察比較和推理抽象的過程中發(fā)現(xiàn)了各種圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且進一步合乎邏輯的推理抽象出平行四邊形面積公式。這樣的教學安排，不僅讓學生充分經(jīng)歷了平行四邊形面積公式的推導過程，使學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，還讓學生充分經(jīng)歷了由建立猜想到驗證猜想，獲得正確結論的過程，同時感受到數(shù)學經(jīng)驗之間的內(nèi)在聯(lián)結。

綜上可知，教師在觀察的基礎上，從簡單問題入手，讓學生經(jīng)歷猜想和發(fā)現(xiàn)的過程，不斷嘗試和反思，進而建構一定的數(shù)學直觀感知和判斷能力，從而提升學生的數(shù)學經(jīng)驗積累力。數(shù)學經(jīng)驗積累力的提升并不是一兩次感性直觀行動就能完成的，也不是簡單的理性模式，而是要多捕捉數(shù)學學習活動中的活因子。數(shù)學源于生活，但不等同于生活。教師必須充分利用學生的原有經(jīng)驗，從中捕捉數(shù)學活因子，設計生動有趣、直觀形象的數(shù)學活動，讓學生在生動具體的情境中提升數(shù)學經(jīng)驗積累力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 王林.我國目前數(shù)學活動經(jīng)驗研究綜述[J].課程·教材·教法，2011（6）.

[3] 杜威.經(jīng)驗與教育[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4] 張鑫.波普爾知識增長四段圖式理論的思考[J].廣西民族師范學院學報，2010（6）.

[5] 皮亞杰，英海爾德.兒童心理學[M].北京：商務印書館，1980.

【本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題“小學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗‘積累力提升策略的研究”的階段研究成果之一?！?/p>

（責編 黃春香）