新工科背景下工程數學課程群教學改革與實踐

楊文霞　何朗　劉揚

[摘 要]通過分析新工科背景下工程數學課程群建設的必要性，提出對照高中新課標，進行概率論與數理統計課程改革。采用知識導圖及貫穿專業(yè)背景的案例教學法，進行復變函數與積分變換課程改革。最后，向專業(yè)問需求，打通不同課程之間的壁壘，進行工程數學課程群整合與應用案例教學設計，構建工科數學課程群學習支持體系。

[關鍵詞]工程數學;課程群建設;概率論與數理統計;復變函數與積分變換

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2020）01-0025-03

一、引言

2017年2月20日，教育部發(fā)布《關于開展新工科研究與實踐的通知》（教高司函〔2017〕6號），其目的是深化工程教育改革，服務和支撐我國經濟轉型升級，探討在當前以新技術、新業(yè)態(tài)、新產業(yè)為特點的新經濟發(fā)展態(tài)勢下，新工科的發(fā)展道路和人才培養(yǎng)要求[1]。工程數學課程群包括但不限于線性代數、概率論與數理統計、復變函數與積分變換、常微分方程、數值計算等課程，這是大多數工科類專業(yè)所必需的數學基礎核心課程，更是學習后續(xù)專業(yè)課程的知識保障。其教學目標是使學生能夠在遇到專業(yè)課程中的實際問題時，能運用相關數學知識和使用數學語言進行表達與求解。

武漢理工大學（以下簡稱“我?！保┳鳛橐粋€以材料、交通、機械、汽車等為優(yōu)勢學科的理工科大學，工程數學有著廣泛的學習群體。長期以來，傳統工程數學課程由于學時短任務重，知識難度大，且各課程之間缺乏融會貫通而被學生視為學習的難點，學生面對復雜數學理論的學習感到茫然，只求通過課程考試獲得必修學分。工程數學在各工科專業(yè)中沒有真正發(fā)揮作用，這直接影響到學生專業(yè)課程的學習以及學生自身專業(yè)素養(yǎng)的提高。因此，為適應新工科發(fā)展和新工科人才培養(yǎng)要求，進行工程數學課程群教學改革勢在必行。

各大高校也注意到這些問題，紛紛開展工程數學課程群的教學改革與實踐。張長勤等[2]建議課程由數學教師與計算機、工程技術等相關課程的教師共同進行研究、建設，加強專業(yè)應用背景介紹;母麗華等[3]通過實施案例教學法來培養(yǎng)學生的學習主動性;謝加良等[4]探討了新工科理念下信息技術與線性代數的融合。

新工科理念下的工程數學課程群教學與改革，應該是課程群多課程的整體聯動，互相打通。關于線性代數的課程改革，筆者已另有多篇文章論述，在此不再介紹。本文貫徹“工程數學服務于新工科建設”這一理念，探討我校新工科理念下的工程數學課程群建設，重點闡述概率論與數理統計及復變函數與積分變換這兩門課程的教學改革實踐及工程課程教學群建設措施。

二、工程數學課程群教學改革實踐

（一）對照高中新課標，進行概率論與數理統計課程教學改革

概率論與數理統計課程貼近生活，例題富有趣味性，是工程數學中最容易被學生接受的課程。但在實際學習中，學生在前半段不重視這門課程，到后半段的數理統計部分才感到課程學習困難。究其原因，還要從新課標高中課程與大學課程的銜接和教學目標、教學方式的差異等說起。表1是2017年版新課標的高中課程[5]與大學課程的知識點對比。可見，新課標中對于概率論與數理統計的知識涉及面達到近60%。特別是學習第一、第二章的時候，因為知識點重復率高，學生容易產生懈怠心理。由于高中階段概率部分教學的主要目的是使學生了解隨機現象及概率的意義，理解隨機事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性等， 而不追求嚴格定義及形式化描述。因此，隨著學習的推進，到了隨機數據的數字特征和數理統計這部分，很多學生開始犯愁，聽不懂。

對此，我們的改革措施為：調整教學側重點，重視教學設計，注重對學生“知識發(fā)現過程”的引導。為避免課程開始時學生產生輕視心理，教師需熟悉高中相關課程知識，調整知識點講解的詳略側重，降低簡單重復內容的教學，注意進行教學內容的對接。教學設計可從學生的自我經驗出發(fā)，以高中課本的典型例題為切入點，但更重要的是，教師應引導學生認識到本科概率論與數理統計課程與高中課程在要求上的不同， 提醒學生及時發(fā)現和適應本科教學與高中教學的巨大差異。在教學中，教師須從理論本質上去引導學生探尋“知識發(fā)現”的過程，側重強調概念與術語的引入、理論的掌握、思想及方法的提出;同時，提高他們的理論化描述能力和抽象思維能力，以及對公理化公式的深刻理解程度，從而提高他們學習的廣度和深度。

（二）結合專業(yè)基礎課程，進行復變函數論課程改革

復變函數與積分變換課程，從實際教學效果反饋來看，是學習難度最大的一門數學課程。我們的教學改革主要圍繞如下幾點展開。

1.構建知識導圖，梳理知識框架

為了幫助學生加深對概念的理解，對于重要相關知識點，利用思維導圖，構造知識點的網絡關聯圖，幫助學生將繁雜凌亂的知識點整合成一個整體，重視對概念和定理的直觀分析及講解，注重對概念和定理的整體直觀把握。梳理各種計算方法之間的先決條件，形成一個知識結構系統。同時采用類比法教學，讓學生回憶高等數學中的實函數微積分，再將其擴展到復數域中，分析他們的類似之處，并仔細對比差別，以加深學生對概念的理解。

2.和專業(yè)課程結合，貫穿案例式教學

學生在學習復變函數與積分變換的時候，正在學習電路原理、模擬電子電路、信號與系統等專業(yè)基礎課。在教學中，需要重視課程教學內容和這些專業(yè)課程的結合，對案例教學法和參與式教學法進行改革。首先，給出這些專業(yè)課程中的實際問題，例如，以信號與系統或電路分析為例，一個系統通常使用常微分方程或差分方程進行描述;然后，從復變函數與積分變換的角度分析，并選擇恰當的知識方法解決問題。信號與系統的變換域分析法，利用拉普拉斯變換和傅立葉變換或Z變換進行求解，正好涵蓋復變函數與積分變換的知識框架。微分方程經過變換處理后，轉化為相應的代數方程，求解簡單，這是積分變換理論的主要應用目的。其次，鼓勵和引導學生利用MATLAB等符號計算工具進行復變函數與積分變換的數值實驗，以及實現特定函數的可視化，提高學生的動手能力和對課程及概念的理解。最后，引導學生獨立思考，使用課程理論逐步求解這些案例，加快學生對抽象理論、方法的理解和應用。

教學實踐、問卷調查及期末考試成績表明，幫助學生理清這條學習基本主線，對學生學習專業(yè)課程極為有益。通過以上教學設計和改革，學生既能學習和掌握積分變換的思想，又能與其專業(yè)課相結合，教學效果比改革之前單純地講數學知識有了明顯的提高，學生的重視程度提高，考試通過率明顯提升，期末考試平均分提高約15.3分。

三、構建“應用驅動”工程數學課程群

（一）打通課程之間的壁壘，向專業(yè)問需求，進行工程數學課程群整合應用案例教學

當下工業(yè)應用與專業(yè)課程中有很多問題是多門工科數學課程的綜合應用。可惜絕大多數學生在大三、大四進行專業(yè)學習時，不能運用之前學習的工程數學理論去求解問題。為此，除在課堂貫穿案例教學之外，課程組以當下的熱點問題或專業(yè)課程中的問題為切入點，整合研制應用教學案例，以打通課程之間的壁壘，幫助學生融會貫通，逐步形成“數學基礎知識—數學思想與方法—數學語言訓練—專業(yè)問題背后的數學理論探究與應用”的教學內容體系。

這里列舉三個我校進行應用驅動整合的教學案例。1.“人臉識別系統”的數學原理與實現：以當下廣泛應用的“刷臉”系統為例，給學生講解一個最簡單的基于主成分分析的“人臉識別系統”。在這一應用案例中，需要用到概率論與數理統計中的協方差矩陣、假設檢驗知識，以及線性代數理論中的線性變換、特征值與特征向量、實對稱矩陣的相似對角化、奇異值分解等知識。教師可以用最簡單的OAL（Olivetti Research Laboratory）人臉數據庫為例，給學生講解數據降維、協方差矩陣的元素的意義、特征臉的含義等，這些知識點既富趣味性，又有豐富的圖像表現。更重要的是，它比較完整地整合了線性代數和概率論與數理統計的內容，學生學習完這一應用案例后，會對相關知識點等有更深的理解，這正是課程整合的目的。2.連續(xù)時不變與離散移不變線性系統的求解方法：在電路理論、信號與系統、控制論和力學等課程中，我們常將一個電路系統或力學系統表示成一個常微分方程。通過工程數學的學習，學生可以使用不同方法求解。如：引入復變函數理論的p算子留數法去求解（較復雜），在傅里葉變換域，或者拉普拉斯變換域內的則會更容易實現。此外，在該線性系統的狀態(tài)變量分析法中，使用線性代數特征值的理論去探討系統穩(wěn)定性。當學生使用多門工程數學理論，殊途同歸地解決問題后，必然會對專業(yè)課程的求解有更深入的理解。3.Logistic 回歸分析的數學原理與實現：給出一個機器學習中經常用到的二分類問題，其數據表示與公式推導，使用矩陣運算實現，而對線性回歸效果檢驗，則可以使用數理統計中的F校驗法或R校驗法去實現。

近兩年的教學改革與實踐表明，通過研制和講解這些工科課程群整合教學案例，課程理論變得有血有肉，生動具體。學生提高了對工程數學課程的重視，他們在后續(xù)專業(yè)學習中使用這些數學工具去求解問題的能力大大提高，也取得了更好的輸出性效果。在2018年全國大學生數學建模競賽中，我校取得5個全國一等獎、5個全國二等獎的佳績[6]。

（二）加強教師團隊建設，豐富教學手段，構建工科數學課程群學習支持體系

從以上的改革措施可以看出，僅具備深厚的數學基礎和嚴密的理論推導證明能力，對于工程數學教師來說是遠遠不夠的。為更好地體現工程數學教學服務于新工科的功能，教師團隊在進行個性化教學時，需要不斷提高自己專業(yè)的深度和寬度，并熟悉相關工科后續(xù)主體課程的書籍，重視專業(yè)應用案例的數學知識講解。同時，講授不同課程的教師應與時俱進，與工科專業(yè)教師進行整合交流，構建課程群學習支持體系，并以自身的科研經歷和相關數學理論在實際項目中的應用情況給學生現身說法，培養(yǎng)學生對科學研究的憧憬，讓學生樹立遠大目標。

教師應根據不同的教學內容及學生的實際情況，通過動畫、視頻和模擬仿真等可視化資源，提高學生的學習興趣和直觀感受;通過構建立體化教學資源，實施適合智能化終端學習的混合式教學，以實現學習時空的最大化;通過和實際問題相關的拓展教學案例講解和求解，為學生提供能力拓展渠道和形成性效果評價，培養(yǎng)學生的數學思維應用能力及學術研究動力。此外，教師應積極構建信息化教與學，利用已建成的在線開放課程，實踐混合式教學，豐富立體化教學手段，增加計算機實現過程，使學生能打破時空限制進行多維度學習。

四、總結

本文探討了我校在新工科背景下的工程數學課程群建設與實踐。課程群建設需長期持續(xù)發(fā)展，以反映數學與交叉領域的最新科研成果，吸取教學改革經驗，體現我校材料、交通、機械和汽車等優(yōu)勢學科對人才培養(yǎng)提出的新要求，并逐步構建工程數學和科學與工程計算、信息智能處理交叉融合的新型課程體系，培養(yǎng)學生寬、厚、實的理論基礎，高、新、活的專業(yè)知識和實驗技能，最終加強理科應用型人才、復合型人才和拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 教育部高等教育司關于開展新工科研究與實踐的通知. [EB/OL].[2017-02-20].http：//www.moe.gov.cn/s78/A08/A08_gggs/A08_sjhj/201702/t20170223_297158.html.

[2] 張長勤，岳超慧. 工程數學教學改革的探索與實踐[J].大學數學，2014（4）：45-47.

[3] 母麗華，杜紅，宋作忠，王婷.工程數學系列課實施案例式教學的探索與實踐[J].東北農業(yè)大學學報（社會科學版），2013（1）：131-134.

[4] 謝加良，朱榮坤，賓紅華. 新工科理念下線性代數課程教學設計探索[J]. 長春師范大學學報，2018（4）：131-133.

[5] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[6] 2018高教社杯全國大學生數學建模競賽獲獎名單（初稿） [EB/OL].[2018-11-10].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/291a61be7c7fba585082ae9480da4235.html.

[責任編輯：陳 明]