>>楊春輝近幾年的高考試題中,立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題多次作為壓軸的客觀題出現(xiàn)。動(dòng)態(tài)問題的起因大致分為兩類:平移與旋轉(zhuǎn);而要解決的問題主要有"/>
>>>楊春輝
近幾年的高考試題中,立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題多次作為壓軸的客觀題出現(xiàn)。動(dòng)態(tài)問題的起因大致分為兩類:平移與旋轉(zhuǎn);而要解決的問題主要有三類:一是面積、體積問題,二是角度問題,三是距離問題。解決這類問題需要非常強(qiáng)的空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力,解題要在動(dòng)態(tài)中找到“靜”的一面,在變中找到“定”的一面,動(dòng)中求“靜”,變中求“定”。
例1.已知各棱長均為1的四面體ABCD中,E是AD的中點(diǎn),P∈CE,則BP+DP的最小值為
解析:把平面BEC及平面CED以CE為折線展平,三角形CED是正三角形的一半,故在平面DEBC中,連接BD,與EC相交于點(diǎn)P,則DP+BP為最短距離,再利用余弦定理即可得出.
例2.長方體 ABCD-A1B1C1D1中,已知 AA1=3,AB=AD=2,棱AD在平面α內(nèi),則長方體在平面α內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是_______.
解析:由題意,四邊形ABCD和ADD1A1的面積分別為4和6.
若記平面ABCD與α平面所成角為θ,則平面ADD1A1與平面α所成角為-θ.它們在平面α內(nèi)的射影的面積分別為 4cosθ 和 6cos(-θ)=6sinθ,所以,S=4cosθ+6sinθ=2sin(θ+φ)(其中,tanφ=).
例3.一個(gè)棱長為12的正方體形狀的鐵盒內(nèi)放置一個(gè)正四面體,且能使該正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則該正四面體的體積的最大值是______.
解析:如圖,設(shè)正四面體A-BCD的棱長為x,過A作AO1⊥底面BCD于O1,連接BO1并延
設(shè)正四面體A-BCD的外接球的半徑為r,
要使正四面體可以在棱長為12的正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),
例 4.在四面體PABC中,PA=PB=PC=AB,如果PA與平面ABC所成的角等于60°,則PC與平面PAB所成的角的最大值是 .
解析:如圖所示,過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,連接OA,OB,OC.取 AB的中點(diǎn) D,連接OD.則∠PAO是PA與平面ABC所成的角,其大小等于 60°.不妨設(shè) PA=2=AB=PB=PC,則 P O=.因?yàn)镻D=.所以點(diǎn)O與D必然重合. 可知點(diǎn)C在以O(shè)為圓心,AB為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)(去掉A,B兩點(diǎn)).當(dāng)且僅當(dāng)CD⊥AB時(shí),PC與平面PAB所成的角取得最大值 30°.
例5.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為
A.36π B.64π
C.144π D.256π
解析:如圖所示,當(dāng)C點(diǎn)位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)故R=6,則球O的表面積為4πR2,故選:C.
通過以上例題的分析可知,在立體幾何中由動(dòng)態(tài)引出的有關(guān)距離、面積、體積、角的最值或范圍問題,思維難度比較高,對直觀想象、數(shù)學(xué)推理等核心素養(yǎng)的要求很高,解決問題的基本方法有:利用極限位置法,即通過分析圖形特征,找出取得最值的位置,再進(jìn)行計(jì)算;在動(dòng)中找定,引入變量,構(gòu)建函數(shù)模型,通過研究函數(shù)的最值解決問題。