一次函數(shù)解析式中神奇的參數(shù)

在一次函數(shù)的大家庭中，有這樣一種形式的解析式，在對(duì)它進(jìn)行探究的過程中，給我們以驚喜。

【問題】無論k取何值，直線y=kx-k都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。

我們不妨先任取幾個(gè)k的值，作出圖像：

如圖1，分別取k的值為1，-2，1/2，得直線l₁，l₂，l₃，解析式分別為l₁：y=x-1，l₂：y=-2x+2，l₃：y=1/2x-1/2。由圖可知，三條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)（1，0）。把（1，0）代入y=kx-k中成立，由此可知無論k取何值，直線y=kx-k都過定點(diǎn)（1，0）。

那么，能否從代數(shù)的角度去分析，得出這個(gè)結(jié)果呢？我把原式改寫為：y=（x-1）·k。若k的值發(fā)生改變，則點(diǎn)的坐標(biāo)也發(fā)生改變。而題為“求一定點(diǎn)”，故當(dāng)x取某個(gè)值時(shí)，無論k取何值，y總有固定不變的取值。而這種情況，只有當(dāng)k前“系數(shù)”為零時(shí)才能滿足，即x=1，y=0。故其經(jīng)過定點(diǎn)（1，0）。

來個(gè)相關(guān)變式題，看你能接招不？變式：求原點(diǎn)到y(tǒng)=kx-3k+2的最大距離。

怎么樣？?。窟€不過癮？那再來一個(gè)，“頭腦風(fēng)暴”再次開始。接招：如圖3，已知直線l₁：y=-2x+4與直線l₂：y=kx+b（k≠0）在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，若直線l₂與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0），則k的取值范圍是__________________。

一種思路，從臨界位置考慮，直線l₂分別過“臨界點(diǎn)”（0，4）和（2，0），再由（-2，0）這一點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)的兩條直線解析式，這樣由“數(shù)形結(jié)合”便能得出k的取值范圍。

我們也可利用前兩題所得結(jié)論：當(dāng)x前的系數(shù)與常數(shù)用同一參數(shù)表示時(shí)，該直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。倒過來說，若其經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則x前的系數(shù)與常數(shù)可用同一參數(shù)表示。此題中直線l₂過一定點(diǎn)（-2，0），可設(shè)l₂：y=（x+2）k，即y=kx+2k，則它與y軸的交點(diǎn)為P（0，2k）。因?yàn)樗cl₁的交點(diǎn)在第一象限，則0<2k<4，所以0

神奇的參數(shù)，確實(shí)能帶來神奇的解法！

老師點(diǎn)評(píng)

“從特殊到一般”“找共性”，這一研究問題的基本思路，翟遠(yuǎn)航同學(xué)在本題中進(jìn)行了很好的演示。不僅如此，他還善于總結(jié)、反思、類推。在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，大家若能做到凡事探個(gè)究竟，找出問題的本質(zhì)所在，那么也可以做到“舉一反三”，達(dá)到“會(huì)一題，通一片”的學(xué)習(xí)效果。