葉育新

【編者按】小學(xué)階段，運(yùn)算始終是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旋律，相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的展開都圍繞著它進(jìn)行。運(yùn)算不等同于計(jì)算，讓學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算僅是淺層次的要求，我們更應(yīng)該讓學(xué)生理解計(jì)算背后的算理，能根據(jù)題目條件尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來(lái)解決問(wèn)題。那么，如何在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力呢？本期話題讓我們一起來(lái)探討。

要從立德樹人的角度重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力在學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的地位和價(jià)值，就不能把運(yùn)算能力簡(jiǎn)單等同于計(jì)算技能。應(yīng)充分重視運(yùn)算過(guò)程的育人功能，從教材編排體系入手，系統(tǒng)研究，整體把握不同階段的能力訓(xùn)練點(diǎn)，逐步推進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

一、起始階段：應(yīng)避免算理和算法的脫節(jié)

1. 案例描述。

“兩位數(shù)除以一位數(shù)”筆算除法是人教版三下的內(nèi)容，也是小學(xué)生在二下學(xué)習(xí)有余數(shù)除法后再次學(xué)習(xí)用豎式計(jì)算。某教師在上這節(jié)課時(shí)，先讓學(xué)生觀察主題圖，并出示例題1，學(xué)生都能列出算式42÷2，且大都能匯報(bào)口算思路。教師便讓學(xué)生擺小棒，然后嘗試寫出豎式。課堂上出現(xiàn)了兩種不同的豎式（右圖）。當(dāng)教師讓學(xué)生選擇自己喜歡的豎式時(shí)，有部分學(xué)生選擇了右邊的豎式，認(rèn)為其書寫比較簡(jiǎn)潔。

2. 原因分析。

筆者認(rèn)為，豎式是操作的反映。豎式分層計(jì)算應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)的算理是：兩次分小棒的操作對(duì)應(yīng)不同計(jì)數(shù)單位的等分（先幾個(gè)十等分，再幾個(gè)一等分）。第二種豎式之所以出現(xiàn)，是因?yàn)樵诓僮髑?，學(xué)生根據(jù)口算思路已經(jīng)知道計(jì)算的結(jié)果了，在列豎式時(shí)便按照結(jié)果來(lái)列式，看似掌握了算法，卻與操作小棒的具體過(guò)程脫節(jié)，不能反映真正的算理，也不利于后續(xù)例題52÷2的豎式書寫學(xué)習(xí)，應(yīng)及時(shí)予以糾正。

3. 改進(jìn)建議。

在列出算式后可以先讓學(xué)生猜結(jié)果，然后用擺小棒的方式驗(yàn)證結(jié)果，接下來(lái)就可以讓學(xué)生用算式表達(dá)擺小棒的過(guò)程，并解釋這個(gè)算式的合理性?？梢栽O(shè)置三個(gè)結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題：（1）怎樣擺小棒求出算式的結(jié)果？（2）你會(huì)用豎式表示擺小棒的過(guò)程嗎？（3）哪個(gè)算式能更好地解釋擺小棒的過(guò)程？

教師的提問(wèn)不應(yīng)拘泥于讓學(xué)生選擇喜歡的豎式，而應(yīng)強(qiáng)調(diào)豎式與小棒操作過(guò)程相對(duì)應(yīng)。從具體操作到豎式表達(dá)，這是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，也是一個(gè)思考外化的過(guò)程。

三下第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法”和第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，分別安排了筆算除法和筆算乘法的豎式計(jì)算，在例題中分別配套了擺小棒和點(diǎn)陣圖的操作與觀察活動(dòng)。在此之前，二下第六單元“有余數(shù)的除法”、三上第六單元“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法”也都配套了擺小棒的操作來(lái)凸顯算理。教師應(yīng)予以充分重視，豎式與操作過(guò)程要對(duì)應(yīng)起來(lái)，有效溝通算法和算理的關(guān)系。只有學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，才能為培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力奠定基礎(chǔ)。

二、發(fā)展階段：可根據(jù)教材結(jié)構(gòu)合理補(bǔ)充

1. 四下“運(yùn)算定律”補(bǔ)充建議。

在四下“運(yùn)算定律”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情境依次學(xué)習(xí)了加法交換律、結(jié)合律，以及乘法交換律、結(jié)合律、分配律。學(xué)生對(duì)運(yùn)算律雖有了直觀感性的了解，但對(duì)運(yùn)算律的抽象認(rèn)識(shí)不足，不能很好地從內(nèi)涵方面理解運(yùn)算律，把握其本質(zhì)特征與區(qū)別，這是造成小學(xué)生運(yùn)算能力低下的重要原因之一。因此，有必要在第四單元結(jié)束前安排一節(jié)練習(xí)課，對(duì)運(yùn)算律進(jìn)行對(duì)比。

（1）第一層次，相同點(diǎn)比較。加法中有交換律，乘法中也有交換律。加法中有結(jié)合律，乘法中也有結(jié)合律。

（2）第二層次，不同點(diǎn)對(duì)比。交換律和結(jié)合律：交換律是交換位置，而結(jié)合律是不改變位置，改變的是運(yùn)算順序。結(jié)合律和分配律：無(wú)論加法結(jié)合律還是乘法結(jié)合律都是同級(jí)運(yùn)算，括號(hào)外的數(shù)和括號(hào)內(nèi)一個(gè)符合運(yùn)算特征的數(shù)先相加或相乘，而乘法分配律包含兩種運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)括號(hào)外的數(shù)和括號(hào)內(nèi)的每一個(gè)數(shù)分別相乘，缺一不可。

（3）第三層次，正確加括號(hào)和脫括號(hào)。在運(yùn)算過(guò)程中，有時(shí)候需要加括號(hào)或脫括號(hào)，要先看括號(hào)前面的運(yùn)算符號(hào)，如果括號(hào)前是加號(hào)或乘號(hào)，則加括號(hào)或脫括號(hào)后，原來(lái)的運(yùn)算符號(hào)不變。如果括號(hào)前是減號(hào)或除號(hào)，則加括號(hào)或脫括號(hào)后，原來(lái)的運(yùn)算符號(hào)要變號(hào)。

2. 五上“簡(jiǎn)易方程”補(bǔ)充建議。

在五上“簡(jiǎn)易方程”這一單元中，學(xué)生既要學(xué)會(huì)用抽象的符號(hào)表示運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，又要在解稍復(fù)雜方程的過(guò)程中采用多種策略，如把兩步運(yùn)算的結(jié)果看成一個(gè)整體，乘法分配律的分合使用等。由于這階段學(xué)生的思維正處于具體形象思維向抽象思維發(fā)展的過(guò)程中，很多學(xué)生不習(xí)慣用抽象的符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，也是第一次在計(jì)算中面對(duì)數(shù)字和未知數(shù)x混合運(yùn)算的情況，容易使一些學(xué)生感到難度較大。因此，有必要在本單元的例題教學(xué)中強(qiáng)化不同算法的對(duì)比，以便學(xué)生對(duì)稍復(fù)雜的方程運(yùn)算技巧加以掌握。

（1）在解決P69例5：2（x-16）=8的運(yùn)算中，要求學(xué)生既要掌握把2（x-16）看成一個(gè)整體進(jìn)行同除的策略，又要學(xué)會(huì)把2和（x-16）里的數(shù)分別相乘的策略。

（2）在解決P77例3：2x+2？郾8×2=10？郾4的運(yùn)算中，要求學(xué)生既要學(xué)會(huì)先算2.8×2的方法，又要學(xué)會(huì)觀察數(shù)字特征，應(yīng)用乘法分配律把原方程提煉轉(zhuǎn)化為（x+2.8）×2=10.4，再應(yīng)用等式性質(zhì)進(jìn)行同除運(yùn)算。

（3）在解決P78例4：x+2？郾4x=5？郾1，P79例5：0？郾25x+0.2x=4？郾5的運(yùn)算中，要讓學(xué)生觀察并思考，可以運(yùn)用什么運(yùn)算定律對(duì)方程進(jìn)行變形，它們有什么共同點(diǎn)。

乘法分配律一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，上述三個(gè)方面圍繞著加括號(hào)和脫括號(hào)，其實(shí)本質(zhì)上都是乘法分配律的應(yīng)用和變式。教師可以在本單元結(jié)束前安排這些運(yùn)算類型的專項(xiàng)訓(xùn)練和對(duì)比練習(xí)課，讓學(xué)生有更充分的感知。

三、應(yīng)用階段：注意提升運(yùn)算的思維層次

1. 優(yōu)化算法：烙餅問(wèn)題中的深度學(xué)習(xí)。

烙餅問(wèn)題是人教版四上“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”例2的內(nèi)容。根據(jù)“每次最多只能烙2張餅，兩面都要烙，每面3分鐘”的規(guī)則，教材通過(guò)模擬操作，讓學(xué)生體會(huì)烙餅過(guò)程中兩種不同烙法（同時(shí)烙和交替烙）的時(shí)間計(jì)數(shù)方法，重點(diǎn)讓學(xué)生理解交替烙如何節(jié)約時(shí)間的原理，進(jìn)而得出根據(jù)餅的總數(shù)合理選擇不同的烙法或進(jìn)行組合，實(shí)現(xiàn)時(shí)間的優(yōu)化。烙餅問(wèn)題蘊(yùn)含的優(yōu)化思想首先體現(xiàn)為3張餅交替烙，可以節(jié)約3分鐘，這是第一層次的優(yōu)化。如果從問(wèn)題解決的角度分析，不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論烙幾張餅，其實(shí)都是2張餅（烙2次6分鐘）和3張餅（烙3次9分鐘）的方法組合，在此基礎(chǔ)上可以實(shí)現(xiàn)第二層次的優(yōu)化。

如果從運(yùn)算的角度來(lái)看烙餅問(wèn)題中的時(shí)間計(jì)數(shù)，我們可以在具體操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，并推理思考。如：既然每面要烙3分鐘，這個(gè)3分鐘不受正反面區(qū)別的影響，我們只要想1張餅有2個(gè)面，也就意味著1張餅可以先切成正反面，放滿鍋底，1次就可以烙好，同理7張餅有7個(gè)正面7個(gè)反面，一共14個(gè)面，每次烙2個(gè)面，共需烙7次，12張餅需要烙12次，33張需要烙33次……這樣，無(wú)論烙幾張餅，烙餅的次數(shù)都等于餅的數(shù)量，只要把餅的數(shù)量乘以3分鐘（3n，n≥2）就可以實(shí)現(xiàn)算法的簡(jiǎn)化和優(yōu)化。這是第三層次的優(yōu)化。上述三個(gè)層次可以看成深度學(xué)習(xí)的過(guò)程，其中第三層次的優(yōu)化屬于算法的優(yōu)化，這里的運(yùn)算思維體現(xiàn)為抽象、推理和建模。

2. 把握本質(zhì)：雞兔同籠中的算法共性。

雞兔同籠問(wèn)題是人教版四下“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教材中介紹了表格法、假設(shè)法以及抬腿法三種比較有代表性的解法。其算法的共性本質(zhì)都是推理。

表格法分別有逐一列表法、取中列表法、跳躍列表法三種不同能力要求。列表的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律的過(guò)程。假設(shè)法無(wú)論是設(shè)雞求兔（雞8只兔0只），還是設(shè)兔求雞（雞0只兔8只），其實(shí)都是對(duì)應(yīng)著表格法中的極端情況。根據(jù)假設(shè)，按照1只兔比1只雞多2只腳的法則進(jìn)行調(diào)整，其實(shí)就是一個(gè)推理過(guò)程。當(dāng)然，在高年級(jí)還可以用方程法來(lái)解決雞兔同籠問(wèn)題，但從思維的本質(zhì)來(lái)看，還是屬于一種在假設(shè)基礎(chǔ)上的推理。課后閱讀資料中介紹的抬腿法，其實(shí)也是基于雞和兔腳數(shù)各變成一半的前提下進(jìn)行的演繹推理。

從這個(gè)例子不難看出，運(yùn)算過(guò)程的核心思維就是推理，而推理就是三大基本數(shù)學(xué)思想之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要培養(yǎng)目標(biāo)。

3. 建構(gòu)模型：連點(diǎn)成線中的數(shù)學(xué)模型。

連點(diǎn)成線問(wèn)題出現(xiàn)在人教版六下總復(fù)習(xí)單元的“數(shù)學(xué)思考”例1中，教材讓學(xué)生通過(guò)有序操作和觀察，發(fā)現(xiàn)增加的點(diǎn)數(shù)和增加的線段數(shù)之間的規(guī)律，從2個(gè)點(diǎn)開始，到3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)、6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)，依次用1+2+3+4（5個(gè)點(diǎn)）等自然數(shù)連加的算式表示線段數(shù)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)規(guī)律拓展到12個(gè)點(diǎn)、20個(gè)點(diǎn)及n個(gè)點(diǎn)所連的線段數(shù)。

筆者認(rèn)為，就計(jì)算方法而言，讓學(xué)生計(jì)算形如1+2+3+…+11，1+2+3+…+19或1+2+3+…+（n-1）等算式，比較煩瑣，似乎超越了大部分學(xué)生的能力要求。因此，有必要對(duì)這些算式進(jìn)行優(yōu)化，提煉出數(shù)學(xué)模型。這個(gè)過(guò)程需要改變學(xué)生的思考策略。在經(jīng)歷了操作畫圖的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這樣的推理思考：6個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都可以和自身以外的5個(gè)點(diǎn)相連，組成30條線段，扣除重復(fù)的一半，剩下15條線段;同理，8個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都可以和自身以外的7個(gè)點(diǎn)相連，組成56條線段，扣除重復(fù)的一半，剩下28條線段，以此類推，若有n個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都可以與除自身以外的n-1個(gè)點(diǎn)相連，組成n（n-1）條線段，扣除重復(fù)的一半，剩下的線段數(shù)為n（n-1）÷2，這就是連點(diǎn)成線問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，是對(duì)1+2+3+…+（n-1）這個(gè)算式的在更高思維層次的概括。

實(shí)際上，人教版六下教材安排了多處滲透規(guī)律運(yùn)算的建模能力培養(yǎng)內(nèi)容，如P100的“做一做”，讓學(xué)生觀察有規(guī)律的圖形求棋子總數(shù)，最后提出第n幅圖有多少個(gè)棋子，就是在滲透平方數(shù)的模型。而P103第2題讓學(xué)生通過(guò)擺三角形，找規(guī)律，求共用多少根小棒，最后求擺第n個(gè)圖形需要用多少根小棒，其實(shí)就是讓學(xué)生體會(huì)3+（n-1）×2和1+2n兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)計(jì)算簡(jiǎn)化，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)模型本質(zhì)上是相同的，后者是前者的優(yōu)化。同理，P103第4題在讓學(xué)生觀察多邊形邊數(shù)與內(nèi)割三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系后，讓他們?cè)诰胚呅蝺?nèi)角和的基礎(chǔ)上推理一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是多少度，就是讓學(xué)生嘗試歸納出數(shù)學(xué)模型：180×（n-2）。

從上述例子可以看出，用n來(lái)表示個(gè)數(shù)，本身就是對(duì)數(shù)字的抽象，在推理的基礎(chǔ)上得到一般性的規(guī)律，并形成數(shù)學(xué)模型，這是在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中最有價(jià)值的學(xué)科能力培養(yǎng)。

4. 綜合應(yīng)用：解決問(wèn)題中的運(yùn)算能力。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在運(yùn)算能力的表述中強(qiáng)調(diào)尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題，筆者認(rèn)為，運(yùn)算能力貫穿于解決問(wèn)題的全過(guò)程，和數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等都是密切相關(guān)的。培養(yǎng)運(yùn)算能力不但要求學(xué)生理解算理、掌握算法，還要學(xué)會(huì)重視思維提升，優(yōu)化算法，運(yùn)用不同的運(yùn)算策略解決實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中促進(jìn)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。

筆者認(rèn)為，運(yùn)算能力的最高要求就是解決問(wèn)題。從小學(xué)數(shù)學(xué)教材沿革的發(fā)展脈絡(luò)來(lái)看，計(jì)算部分的編排曾經(jīng)經(jīng)歷了先學(xué)習(xí)計(jì)算，后學(xué)習(xí)應(yīng)用題（課改前編排的特點(diǎn)），慢慢過(guò)渡到計(jì)算融于實(shí)際問(wèn)題解決的過(guò)程（課改后的編排特點(diǎn)），即運(yùn)算的學(xué)習(xí)往往伴隨著實(shí)際問(wèn)題的情境展開，產(chǎn)生解決問(wèn)題的需要，通過(guò)分析思考，列出算式，用計(jì)算求解。這既符合兒童學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，也體現(xiàn)了算用歸一的教學(xué)理念。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）