陳靜安

(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303)

一、問題的提出

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確界定“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”[1]4，并指出“引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)。然而，文獻(xiàn)檢索表明，關(guān)于核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)眼光的研究成果寥寥，尤其在中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的教學(xué)策略研究尚未得到必要的關(guān)注與重視，為此本研究運(yùn)用文獻(xiàn)研究法和案例分析法，從數(shù)學(xué)的內(nèi)涵界定、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)新授課教學(xué)內(nèi)容三個(gè)維度，探析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)眼光的可操作性含義，嘗試提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略，旨在拋磚引玉。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)眼光探析

(一)基于數(shù)學(xué)內(nèi)涵的視角

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)是研究數(shù)學(xué)眼光的基礎(chǔ)?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)”?？茖W(xué)作為分科的系統(tǒng)知識(shí)，在數(shù)學(xué)里表現(xiàn)為，不同概念之間、原理之間、命題之間……的發(fā)生發(fā)展存在著先后或者因果等內(nèi)在邏輯關(guān)系。這清楚地表明，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要對(duì)象。這里的數(shù)與形是剔除了具體的實(shí)際背景、進(jìn)行了數(shù)學(xué)抽象與概括后獲得的產(chǎn)物，因而具有高度的抽象性。并且，隨著人類對(duì)于客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的對(duì)象、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)等認(rèn)知的不斷深入，在分析解決問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用中的不斷發(fā)展獲得的數(shù)量、圖形及其關(guān)系也與時(shí)俱進(jìn)在不斷積累與豐富中而變得越來越復(fù)雜和多元。例如人類最先研究數(shù)出來的自然數(shù)，然后通過平均分問題產(chǎn)生“先分后得的”分?jǐn)?shù)、對(duì)于特別的十進(jìn)分?jǐn)?shù)的運(yùn)用與表達(dá)產(chǎn)生小數(shù)，再到有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)。類似地從小學(xué)教科書里正方形、長(zhǎng)方形到三角形、平行四邊形、梯形、圓，再到中學(xué)研究的三角形、平行四邊形、梯形的性質(zhì)與判定，以及橢圓、雙曲線、拋物線……概念與性質(zhì)探究。數(shù)與形的概念不僅上掛下聯(lián)、層層遞進(jìn)、向縱深發(fā)展，而且環(huán)環(huán)相扣、橫向聯(lián)系、不斷拓展。這又清楚地表明了不同數(shù)量、不同圖形的概念及其原理之間客觀存在孰先孰后的歷史發(fā)展順序以及誰因誰果的內(nèi)在邏輯關(guān)系。這啟示我們，作為研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的數(shù)學(xué)，除了數(shù)與形這兩個(gè)顯性的研究對(duì)象，數(shù)學(xué)還研究數(shù)量與圖形之間、新的或者未知數(shù)量與已知數(shù)量之間、新的或者未知圖形與已知圖形之間的關(guān)系(以下簡(jiǎn)稱三個(gè)關(guān)系)。事實(shí)上，正是這些關(guān)系的梳理和建立，不僅豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)容，而且使得數(shù)學(xué)的內(nèi)容之間具有邏輯性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性特征。因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必然要關(guān)注數(shù)量與圖形兩大研究對(duì)象，以及上述三個(gè)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，對(duì)于這三個(gè)關(guān)系及其結(jié)構(gòu)的認(rèn)知、分析與揭示是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

事實(shí)上，從認(rèn)識(shí)論的角度看，任何事物都不是孤立、靜止、獨(dú)立存在的，彼此之間是普遍存在相互聯(lián)系，并且處于不斷的運(yùn)動(dòng)、變化與發(fā)展中，數(shù)學(xué)的世界也不例外。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)的教與學(xué)，不應(yīng)靜止、孤立、片面、表象地看，而應(yīng)從運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)去看，才能正確認(rèn)識(shí)各種數(shù)量關(guān)系與空間形式的形成和發(fā)展，進(jìn)而厘清數(shù)學(xué)知識(shí)之間的因果內(nèi)在邏輯關(guān)系或時(shí)間發(fā)展先后順序。綜上所述，“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)”這一概念界定，不僅表明了數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，而且也啟示我們，數(shù)學(xué)眼光就是用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)觀察與研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，其本質(zhì)是建立聯(lián)系的眼光，其結(jié)果是形成與獲得數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和體系，從中發(fā)展分析和解決問題的能力。

(二) 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)。其中“數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到研究對(duì)象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言給予于表征” 。并且明確指出“數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情景中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)……”[1]5。

以上僅數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念界定就四次提到關(guān)系、兩次提到結(jié)構(gòu)和體系等術(shù)語。而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)關(guān)系、結(jié)構(gòu)和體系的思想方法論基礎(chǔ)是聯(lián)系，其基本立場(chǎng)和出發(fā)點(diǎn)是整體觀，本質(zhì)是基于并且發(fā)展運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、變化的觀點(diǎn)。換言之，運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、變化的觀點(diǎn)既是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)關(guān)系、結(jié)構(gòu)和體系的條件，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)關(guān)系、結(jié)構(gòu)和體系的結(jié)果，二者互為因果、螺旋上升。這一方面啟示我們，學(xué)會(huì)從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系、數(shù)量與圖形關(guān)系的眼光去發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)概念與命題，不僅是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要路徑。另一方面，從學(xué)科核心素養(yǎng)的視角進(jìn)一步印證了數(shù)學(xué)的眼光就是能夠用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、變化的觀點(diǎn)研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式，其本質(zhì)就是“建立聯(lián)系”的眼光，換言之，是基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系的整體觀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在總目標(biāo)中也強(qiáng)調(diào)：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力”，并且在教學(xué)建議中進(jìn)一步提出“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性”[2]。

無論《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)界定，還是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的課程目標(biāo)與教學(xué)要求，都充分表明數(shù)學(xué)眼光的本質(zhì)就是學(xué)會(huì)從數(shù)量與數(shù)量之間、圖形與圖形之間、數(shù)量與圖形之間的聯(lián)系去研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式，并以上述三個(gè)關(guān)系為關(guān)鍵路徑，發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析與解決問題，從中通過數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等思想方法再發(fā)現(xiàn)和再建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、原理等數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，發(fā)展數(shù)學(xué)的整體觀。

(三)基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的視角

數(shù)學(xué)作為研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，具體表現(xiàn)為由數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)命題組成的邏輯體系。邏輯就是要求講清楚因果關(guān)系、先后關(guān)系。具體而言，概念必須用前此概念定義，命題必須用已知證明為真的命題(即數(shù)學(xué)原理)證明。課堂教學(xué)中主要表現(xiàn)為基于問題發(fā)現(xiàn)的概念教學(xué)、原理教學(xué)和問題解決活動(dòng)的教學(xué)，其實(shí)質(zhì)是對(duì)于研究對(duì)象所蘊(yùn)含的數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間關(guān)系的揭示與抽象。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中必然要探究新概念與已有概念之間、新命題與已有原理之間的關(guān)系，從中幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)或者數(shù)學(xué)命題體系，進(jìn)而形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的整體觀。

從數(shù)學(xué)概念體系的形成與發(fā)展過程來看，“概念是知識(shí)組成的基本單位、是思維的載體”“數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，是對(duì)一類事物的概括和表征”[3]，其本質(zhì)是對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的分類。特別地，概念之間的關(guān)系在邏輯學(xué)上是指概念外延之間的關(guān)系，具體可以依據(jù)二者之間是否具有公共元素劃分為相容關(guān)系或不相容關(guān)系。其中，根據(jù)兩個(gè)概念外延集的重疊度，相容關(guān)系又分為同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系；根據(jù)兩個(gè)概念的外延集與其同一屬概念的外延集的重疊度，不相容關(guān)系又分為矛盾關(guān)系和反對(duì)關(guān)系。而概念之間“關(guān)系”的眼光最為重要的就是概念之間屬種關(guān)系的眼光。例如函數(shù)、奇偶函數(shù)是屬種關(guān)系，周期函數(shù)、奇偶函數(shù)是交叉關(guān)系，單調(diào)函數(shù)、周期函數(shù)是反對(duì)關(guān)系等等。

從數(shù)學(xué)命題的含義與結(jié)構(gòu)來說，命題是表示判斷的語句，其本質(zhì)是揭示不同數(shù)學(xué)對(duì)象即數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。例如對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形等等。特別地，命題構(gòu)造中根據(jù)不同邏輯連接詞把兩個(gè)或兩個(gè)以上簡(jiǎn)單命題組成負(fù)命題、合取命題、析取命題、蘊(yùn)涵命題和等價(jià)命題這五種基本復(fù)合命題。其中對(duì)于蘊(yùn)涵命題的條件和結(jié)論進(jìn)行換“位”或者換“質(zhì)”可獲得數(shù)學(xué)中最為基本的四種命題：原命題、逆命題、否命題和逆否命題。從命題的含義結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)命題的四種基本形式以及數(shù)學(xué)命題的證明都無一例外地表明，數(shù)學(xué)命題的教學(xué)從某種意義上說就是揭示新命題與已有原理(包括相關(guān)已有概念)之間是否存在等價(jià)或推出等關(guān)系。正如梅森(Mason)在第八屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究大會(huì)(ICME-8)上指出的“我們需要教會(huì)學(xué)生如何將自己所理解的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，并且能夠靈活運(yùn)用其中的關(guān)系”[4]。

以上清楚地表明，從數(shù)學(xué)教學(xué)來看，數(shù)學(xué)眼光就是應(yīng)用已知概念或已證為真的命題解決新問題、獲得新概念或者新原理，亦即揭示與建立新舊數(shù)學(xué)對(duì)象之間聯(lián)系的眼光。

三、核心素養(yǎng)視域下發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的教學(xué)策略

核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是讓學(xué)生獲得必要的知識(shí)和技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題。從數(shù)學(xué)的內(nèi)涵界定、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容三個(gè)維度對(duì)于數(shù)學(xué)概念和原理的邏輯性、結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性特點(diǎn)的分析啟示我們，數(shù)學(xué)新授課中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光需要構(gòu)建基于建立聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略。

(一)注重溫故復(fù)習(xí)、鋪設(shè)思維臺(tái)階，引領(lǐng)學(xué)生感悟已知知識(shí)和未知對(duì)象之間的聯(lián)系

孔子曰“溫故而知新，可以為師矣”，烏申斯基認(rèn)為“復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)之母”。奧蘇貝爾有意義學(xué)習(xí)理論則進(jìn)一步指出，當(dāng)學(xué)習(xí)者已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備了適當(dāng)?shù)挠^念，才足夠使新舊知識(shí)以非人為、實(shí)質(zhì)性方式聯(lián)系起來，才能更好地接納新知識(shí)，并指出“影響學(xué)習(xí)的唯一的、最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。要根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)教學(xué)”[5]。從方法論來看，不怕不識(shí)貨就怕貨比貨、有比較才有鑒別。前述教育學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)和方法論的視角殊途同歸都啟示我們，在概念和原理新授課教學(xué)設(shè)計(jì)中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力，首要任務(wù)和環(huán)節(jié)是要厘清和喚醒學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)，為辨析新舊對(duì)象的區(qū)別與聯(lián)系、建構(gòu)新知識(shí)，搭建好認(rèn)知的腳手架，鋪設(shè)好思維的臺(tái)階。而關(guān)于數(shù)學(xué)概念、命題形成與發(fā)展的規(guī)律闡述則表明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新概念、新命題具備的已有知識(shí)就是相關(guān)的前此概念和相關(guān)的已知原理。

例如，映射及其三要素和初中變量說意義下的函數(shù)概念是學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，在高中函數(shù)概念新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要溫故復(fù)習(xí)，初中學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)？函數(shù)涉及幾個(gè)變量？什么是映射？映射有哪些要素？y=1是函數(shù)嗎？旨在為理解基于變量說的初中函數(shù)概念的局限性和后續(xù)引入實(shí)數(shù)集上的映射的可行性搭建好認(rèn)知的腳手架和思維的臺(tái)階。又如空間線面垂直、面面垂直等概念，是有效組織空間線面垂直、面面垂直等性質(zhì)定理教學(xué)的必要前提。而空間線面垂直或面面垂直等判定定理則是通過探究相應(yīng)的性質(zhì)定理的逆命題而發(fā)現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)和喚醒諸如空間線面垂直或面面垂直等概念及其性質(zhì)，是有效組織空間線面垂直或面面垂直等判定定理教學(xué)的必要前提。實(shí)踐證明，通過溫故復(fù)習(xí)喚醒學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中學(xué)習(xí)新知識(shí)所需要的相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感悟已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識(shí)與新對(duì)象之間的區(qū)別與聯(lián)系，是建構(gòu)新概念、獲得新命題及拓展相應(yīng)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，發(fā)展學(xué)生學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)看問題，建立數(shù)學(xué)整體觀的優(yōu)質(zhì)而高效的教學(xué)策略，具有磨刀不誤砍柴工、事半功倍之效。

(二)創(chuàng)設(shè)問題情境、激發(fā)認(rèn)知需求，助力學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、與生活的聯(lián)系

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情景，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)……不斷引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值”[1]3。因此數(shù)學(xué)新授課在復(fù)習(xí)回顧之后，新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)要加強(qiáng)對(duì)問題提出的情景創(chuàng)設(shè)，加強(qiáng)對(duì)教科書編寫意圖的理解，注重應(yīng)用教科書中創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、與生活關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境導(dǎo)入問題，以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求，感知問題情境中蘊(yùn)含的新對(duì)象、新知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境、科學(xué)情境或?qū)W科背景等不同視角去發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生厘清新舊對(duì)象的區(qū)別，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析與解決實(shí)際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)。例如高中函數(shù)概念新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，在復(fù)習(xí)初中函數(shù)概念、映射及其三要素的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)入教科書中南極臭氧層空洞的面積近20年變化情況的曲線、恩格爾系數(shù)隨時(shí)間變化情況的表格、炮彈發(fā)射后的飛行高度隨時(shí)間變化規(guī)律的解析式，提出問題：他們是映射嗎？有哪些共同特征？以啟發(fā)學(xué)生用集合與映射的思想方法去觀察與描述集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)與概括其共同不變的本質(zhì)屬性，抽象出函數(shù)的概念及其三要素。由此引領(lǐng)學(xué)生感悟與體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活、函數(shù)與物理之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生學(xué)會(huì)用“聯(lián)系”的眼光觀察世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析與解決問題。

(三)問題驅(qū)動(dòng)、設(shè)問啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生比較辨析新舊知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是思維的起點(diǎn)，是孕育和產(chǎn)生數(shù)學(xué)新概念與數(shù)學(xué)新命題，培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的土壤。正如布魯納指出“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動(dòng)，思維永遠(yuǎn)是從問題開始的”[6]。但是，現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一言堂、滿堂灌，新知建構(gòu)一蹴而就、幾分鐘搞定，急于題海戰(zhàn)術(shù)、大運(yùn)動(dòng)量練習(xí)的傳統(tǒng)做法依然慣性很大，這既不利于課標(biāo)所強(qiáng)調(diào)的過程與方法目標(biāo)的達(dá)成，也不利于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界等核心素養(yǎng)的發(fā)展。事實(shí)上，數(shù)學(xué)新授課包含的知識(shí)點(diǎn)往往不唯一，而不同知識(shí)點(diǎn)之間的銜接過渡及其因果內(nèi)在邏輯關(guān)系常常是學(xué)生學(xué)習(xí)與理解的難點(diǎn)，這些難點(diǎn)在一言堂、滿堂灌的教學(xué)中往往被教師越俎代庖，甚至忽略跳過，學(xué)生不僅錯(cuò)失了學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析與解決問題的機(jī)會(huì)，而且缺失了與同伴互助、思維碰撞進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣。

因此，數(shù)學(xué)新授課中，尤其在概念建構(gòu)和原理發(fā)現(xiàn)教學(xué)環(huán)節(jié)，需要設(shè)計(jì)分層次、成系列的問題鏈，實(shí)施問題驅(qū)動(dòng)的啟發(fā)式教學(xué)，旨在引領(lǐng)學(xué)生探究并且厘清新舊知識(shí)以及不同新知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系、突破教學(xué)的難點(diǎn)。例如高中空間中直線與平面的位置關(guān)系課題，研究重點(diǎn)是平行與垂直的關(guān)系。而無論是直線與平面的平行或垂直等課題，都既包括概念建構(gòu)又包括性質(zhì)定理與判定定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并且最終都轉(zhuǎn)化為直線與所研究平面上的若干直線之間相應(yīng)的關(guān)系。以直線與平面的垂直關(guān)系課題為例，概念建構(gòu)、性質(zhì)定理與判定定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，普遍的教學(xué)難點(diǎn)是直線與平面垂直判定定理的教學(xué)。要突破這一難點(diǎn)，可通過設(shè)計(jì)分層次的問題串：如何判斷一條空間直線與已知平面垂直？依據(jù)概念能否判斷一條直線與已知平面垂直？確定平面的要素有哪些……并運(yùn)用實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、比較、歸納等思想方法，有序有效地引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)、探究發(fā)現(xiàn)：依據(jù)空間直線與平面垂直的概念進(jìn)行判斷，需要證明直線與平面上的所有直線即無窮多的直線都垂直，而這將陷入有限的人生面對(duì)無限多的直線的矛盾沖突與山重水復(fù)疑無路的抓狂狀態(tài)。但是追根溯源，依據(jù)兩條相交直線確定一個(gè)平面的原理，可以順藤摸瓜、驚喜發(fā)現(xiàn)證明直線與平面上的所有直線都垂直這一教學(xué)難點(diǎn)，竟然柳暗花明、一錘定音可以轉(zhuǎn)化為證明已知直線與同一平面上兩條相交直線垂直。亦即在有限的時(shí)間內(nèi)解決了直線與平面上的所有直線即無窮多的直線都垂直這一看似不可能完成的無限的任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生基于直線與平面垂直的概念、性質(zhì)定理和判定定理之間的聯(lián)系進(jìn)行整體把握、融會(huì)貫通，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法幫助我們化無限對(duì)象的復(fù)雜問題為有限對(duì)象的簡(jiǎn)單問題去解決，從中深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值。

(四)精選例習(xí)題、學(xué)以致用，發(fā)展學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題的能力

學(xué)以致用環(huán)節(jié)的例題與習(xí)題的教學(xué)目標(biāo)，旨在拓展學(xué)生對(duì)所獲得數(shù)學(xué)概念與原理的理解，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)以及新建構(gòu)的概念或者新獲得的原理去研究和解決具體問題中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，進(jìn)而發(fā)展分析與解決問題的能力。因此精心選擇例題與習(xí)題，力求舉例豐富、樣本全面，加強(qiáng)問題的針對(duì)性、層次性和系統(tǒng)性是關(guān)鍵。例如高中函數(shù)教學(xué)在建構(gòu)了概念后，可以分別從解析式、圖像等不同角度，通過形變質(zhì)不變讓學(xué)生辨別其是否為函數(shù)和是否為同一個(gè)函數(shù)。如設(shè)計(jì)問題“y=2x2,x∈R”與函數(shù)“x=2y2,y∈R”以及“n=2m2,m∈R”，它們表示同一個(gè)函數(shù)嗎？或者設(shè)置形同質(zhì)不同的問題(如定義域不同)，讓學(xué)生辨析是否為相同函數(shù)，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)以及要素、結(jié)構(gòu)的理解[7]。又如在偶函數(shù)的概念教學(xué)中，則可創(chuàng)設(shè)“f(x)=2(x-1)2，f(x)=2x2(x∈[-2,2))，f(x)=x3”是否為偶函數(shù)的問題，引領(lǐng)學(xué)生在判斷的過程中深化對(duì)偶函數(shù)概念本質(zhì)屬性“對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)”的認(rèn)識(shí)。后續(xù)奇偶函數(shù)課題的概念教學(xué)，則在概念建構(gòu)環(huán)節(jié)之后，可以設(shè)計(jì)以下包含四個(gè)不同樣本類型函數(shù)的例題教學(xué)，通過判斷它們的奇偶性，f(x)=x4,f(x)=x3,f(x)=x2(x∈[-10,9]),f(x)=0，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和對(duì)應(yīng)規(guī)律要求等兩個(gè)本質(zhì)屬性的異同點(diǎn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)還存在非奇非偶函數(shù)和既奇又偶的函數(shù)，從中感悟函數(shù)奇偶性概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，深化和拓展學(xué)生對(duì)于函數(shù)奇偶性概念的理解和掌握。

(五)注重歸納、突出方法，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和體系

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在實(shí)施建議中強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教師必須提升自己的‘四基’水平，自覺養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)思維分析和解決問題，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和交流問題的習(xí)慣……理解知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)”[1]97。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)具有嚴(yán)密的邏輯性和完備的系統(tǒng)性，為了幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)的眼光、建立數(shù)學(xué)的整體觀，教師在數(shù)學(xué)新授課的課堂小結(jié)環(huán)節(jié)要注重幫助學(xué)生梳理和建構(gòu)層次分明的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。教學(xué)中可以根據(jù)新舊概念之間的關(guān)系(如從屬、交叉、矛盾、反對(duì)等關(guān)系)和命題之間的關(guān)系(如逆否、等價(jià)關(guān)系等)，運(yùn)用列表法、邏輯框圖、思維導(dǎo)圖等形式強(qiáng)化知識(shí)之間聯(lián)系的理解和掌握，并引導(dǎo)學(xué)生注重歸納和凸顯建構(gòu)新知識(shí)的思想與方法，長(zhǎng)此以往、堅(jiān)持不懈，師生合作逐步建立起層次分明、因果清晰、縱橫聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，發(fā)展和建立數(shù)學(xué)的整體觀。

四、 結(jié)論與思考

以上從數(shù)學(xué)的內(nèi)涵界定、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)新授課教學(xué)內(nèi)容三個(gè)維度的研究表明，數(shù)學(xué)眼光是用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象獲得數(shù)學(xué)概念或原理，進(jìn)而學(xué)以致用分析與解決問題的眼光，其本質(zhì)是“建立聯(lián)系”的眼光。課堂教學(xué)中主要表現(xiàn)為基于問題提出的概念教學(xué)、原理教學(xué)和問題解決活動(dòng)的教學(xué)，其本質(zhì)是對(duì)于研究對(duì)象蘊(yùn)含的數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間關(guān)系的揭示與抽象。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，對(duì)教師而言，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)新授課教學(xué)設(shè)計(jì)中要精準(zhǔn)抓住數(shù)學(xué)新知建構(gòu)的 “生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，從而突破教學(xué)的難點(diǎn)，辨析和揭示新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，凸顯建構(gòu)新知識(shí)的思想與方法。對(duì)學(xué)生而言，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界則有助于厘清知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，提升對(duì)數(shù)學(xué)的整體把握和宏觀認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)新授課中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光需要基于建立聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略；通過發(fā)展教師的數(shù)學(xué)眼光來提升課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與組織的質(zhì)量和效益，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必由之路。