周春芝 徐花

【摘要】計(jì)算教學(xué)既要掌握算法，同時(shí)也要理解算理。算理是算法的基礎(chǔ)，只有明確了算理，才能有助于算法掌握，二者相輔相成，不可偏頗。而計(jì)算教學(xué)經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略來(lái)探究算理，以舊引新，引導(dǎo)學(xué)生自主探索算理和算法，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和技能，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，最終落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化策略? ?估算? ?數(shù)學(xué)推理

“小數(shù)乘小數(shù)”這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了小數(shù)乘整數(shù)，以及“小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律”的基礎(chǔ)上開(kāi)展教學(xué)的。在前面小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)習(xí)得利用轉(zhuǎn)化的策略，把小數(shù)乘整數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，最后根據(jù)乘數(shù)中小數(shù)的位數(shù)確定乘積中小數(shù)的位數(shù)?？梢哉f(shuō)學(xué)生已經(jīng)積累了一定轉(zhuǎn)化技能和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也體驗(yàn)了轉(zhuǎn)化策略的價(jià)值。這節(jié)課學(xué)生只要利用同化技能，把前面積累的經(jīng)驗(yàn)和方法遷移到這節(jié)課中，自主探究小數(shù)乘小數(shù)的算理和算法，就能掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。但這個(gè)過(guò)程應(yīng)該由學(xué)生自己“摸著石頭過(guò)河”，由此獲得經(jīng)驗(yàn)和感悟才是深刻的。這節(jié)課筆者先后觀摩過(guò)兩位教師的執(zhí)教過(guò)程，由于教學(xué)理念不同而帶來(lái)不同的教學(xué)效果，由此形成了強(qiáng)烈的對(duì)比，不由得引起了筆者的反思。

案例一：

1.復(fù)習(xí)

（1）口算（略）。

（2）列豎式計(jì)算：0.72×6。

（3）反饋交流：小數(shù)乘整數(shù)怎樣計(jì)算？

生：先把小數(shù)看作整數(shù)……

（4）揭示課題。

2.教學(xué)例題

出示例題（學(xué)生看圖，并收集信息）。

師：你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：①房間的面積是多少平方米？②陽(yáng)臺(tái)的面積是多少平方米？總面積是多少平方米？

師：我們來(lái)解決第一個(gè)問(wèn)題，你能列式嗎？

生：3.2×3.8。

師：你能估算一下房間的面積大約是多少平方米嗎？

生：3.2×3.8≈9（平方米），3.2×3.8≈12（平方米），3.2×3.8≈12.8（平方米），3.2×3.8≈11.4（平方米）。

師：通過(guò)估算發(fā)現(xiàn)這個(gè)房間的面積在9～12平方米之間，大約是12平方米左右。

師：準(zhǔn)確的結(jié)果是多少？還需要……

生：可以通過(guò)豎式進(jìn)行計(jì)算。

你打算用豎式來(lái)計(jì)算3.2×3.8時(shí)，把3.2和3.8可以看作多少來(lái)計(jì)算？

生：把3.2×3.8看成32×38。

師：那3.2→32乘數(shù)有什么變化？3.8→38呢？積又有什么變化？

生：3.2→32乘數(shù)擴(kuò)大10倍，3.8→38乘數(shù)擴(kuò)大10倍，積就擴(kuò)大了100倍。

師：要想得到原來(lái)的積怎么辦？

生：用得到的積除以100，也就是把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位。

以上教學(xué)片段中，整個(gè)教學(xué)過(guò)程流暢，學(xué)生似乎在老師的“牽引”下都能運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略計(jì)算小數(shù)乘小數(shù)，而且通過(guò)后面有針對(duì)性、有層次性、有比較性的鞏固練習(xí)，學(xué)生的計(jì)算技能、技巧都得到了鍛煉和提高，并且從當(dāng)場(chǎng)反饋的情況來(lái)看，學(xué)生的正確率較高。但實(shí)際這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程是被動(dòng)、機(jī)械、模仿式的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生的體驗(yàn)并不深刻，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想沒(méi)有得到有效的落實(shí)。

案例二：

師：3.2×3.8，看一看和之前學(xué)習(xí)的知識(shí)做比較，有什么不同？

生：之前學(xué)習(xí)的乘法中只有一個(gè)乘數(shù)是小數(shù)，另一個(gè)乘數(shù)是整數(shù)。

師：今天老師不講，由你們自己研究，能不能用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)新問(wèn)題。如果遇到困難可以尋求幫助，也可以共同研究解決，好嗎？

（生自主嘗試用豎式計(jì)算，2分鐘后匯報(bào)、交流）

師：說(shuō)一說(shuō)，你遇到了什么困難？

生：不知道小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該點(diǎn)在什么位置。

師：誰(shuí)有辦法來(lái)確定乘積中小數(shù)點(diǎn)的位置？

生：我是通過(guò)估算來(lái)確定小數(shù)點(diǎn)的位置的。因?yàn)?.2×3.8≈12，所以小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該在數(shù)字“2”和第二個(gè)數(shù)字“1”之間，積是12.16。

師：為什么不在其他位置點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)呢？

生：因?yàn)樵谄渌恢命c(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)后，得到的積與估算的結(jié)果相差太大了，所以不可能。

師：如果你能舉例說(shuō)一下就更好了。

生：如果在數(shù)字“1”和“6”之間點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，得數(shù)是121.6，而通過(guò)估算正確的乘積大約是12左右，所以不可能點(diǎn)在這個(gè)位置。如果點(diǎn)在其他的地方也是一樣的道理。

師：看來(lái)估算不僅能知道結(jié)果大約是多少，而且能夠幫助我們確定小數(shù)乘小數(shù)中積的小數(shù)點(diǎn)的位置，真是一舉多得。還有不同確定小數(shù)點(diǎn)位置的辦法嗎？

生：我把3.8米改寫(xiě)成38分米，3.2米改寫(xiě)成32分米，相乘得1216平方分米，改寫(xiě)成用平方米作單位，用1216÷100=12.16（平方米）。

師：以后在計(jì)算小數(shù)乘小數(shù)時(shí)，不能總帶上單位名稱(chēng)一起參與計(jì)算吧，況且有些單位名稱(chēng)之間的進(jìn)率不是10，比如，“小時(shí)”和“分”之間的進(jìn)率是60，再用這樣的方法就顯得比較麻煩，能不能尋找一種通用的、不依賴(lài)單位名稱(chēng)，并能確定小數(shù)點(diǎn)位置的方法？

（生沉思不語(yǔ)）

師：需不需要提示一下？

生：需要。

師：能不能從乘法中乘數(shù)的變化，引起積的變化規(guī)律中尋找方法呢？請(qǐng)同學(xué)們先小組討論。

（1分鐘后學(xué)生匯報(bào)交流）

生：把3.8看作38乘數(shù)擴(kuò)大10倍，3.2看作32乘數(shù)又?jǐn)U大10，那么算出的得數(shù)就擴(kuò)大100倍，要想得到原來(lái)的得數(shù)，就用1216除以100得出12.16。

師：我在下面看到有兩位同學(xué)是這樣豎式計(jì)算的，我們請(qǐng)這兩位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)自己的想法。

生1：把3.2看作32，先用2乘3.8得7.6，所以就在7和6之間點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。再用3乘3.8得11.4，所以就在數(shù)字4前面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：那上下兩個(gè)小數(shù)點(diǎn)不對(duì)齊怎么辦？

生1：我也不知道，剛才聽(tīng)同學(xué)說(shuō)大約是12，所以就在數(shù)字“2”和“1”之間點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

生2：我和他想的差不多，2乘3.8得7.6，3在十位上表示30，30乘3.8得114，所以小數(shù)點(diǎn)就在數(shù)字“4”的后面，開(kāi)始想在數(shù)字“1”和“6”之間點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，但是和估算的結(jié)果相差很多，所以就在數(shù)字“2”和“1”之間點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：誰(shuí)能幫一幫他們，解決他們心中的疑惑。

生3：我認(rèn)為兩次算乘法的時(shí)候不要點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，因?yàn)槲覀円呀?jīng)把這兩個(gè)小數(shù)看成整數(shù)來(lái)計(jì)算。其實(shí)就是算2×38和30×38，所以?xún)纱嗡愠龅牡脭?shù)也就沒(méi)有小數(shù)點(diǎn)。

師：那為什么相加后，要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)呢？

生4：因?yàn)橄嗉雍蟛皇窃瓉?lái)的積，而是32×38的積，要想得到原來(lái)的積必須要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：通過(guò)剛才這幾位同學(xué)的發(fā)言我們發(fā)現(xiàn)，每乘一次都考慮小數(shù)點(diǎn)的位置顯得很麻煩，而且到最后都無(wú)法說(shuō)清楚小數(shù)點(diǎn)的位置應(yīng)該在哪里，不如把兩個(gè)乘數(shù)都看成整數(shù)來(lái)計(jì)算，最后綜合來(lái)考慮小數(shù)點(diǎn)的位置。

師：通過(guò)前面同學(xué)的討論，發(fā)現(xiàn)乘法中積的變化規(guī)律和其中的每一個(gè)乘數(shù)都有關(guān)聯(lián)。那么積的小數(shù)位數(shù)和乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)有聯(lián)系嗎？如果有，又是什么聯(lián)系？

生：第一個(gè)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)是一位，第二個(gè)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)也是一位，積就是兩位小數(shù)，1加1等于2。

師：這只是一個(gè)猜測(cè)，我們?cè)賮?lái)看看其他小數(shù)乘小數(shù)是不是也有這樣的規(guī)律，我們來(lái)解決第二個(gè)問(wèn)題。

……

小數(shù)乘小數(shù)在“小數(shù)乘法和除法”這一單元中起著承前啟后的作用。它既是前面小數(shù)乘整數(shù)知識(shí)的延伸，又為后面除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算做好策略層面的鋪墊。其中隱性的轉(zhuǎn)化策略則是一條主線貫穿整個(gè)單元。而轉(zhuǎn)化的價(jià)值經(jīng)常表現(xiàn)為溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，化新為舊，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是有意義學(xué)習(xí)的表現(xiàn)。當(dāng)然轉(zhuǎn)化的方法學(xué)生可以通過(guò)模仿獲得，但更重要的是轉(zhuǎn)化思想需要學(xué)生自己感悟和體驗(yàn)。只有學(xué)生通過(guò)自主參與，深入研究，才能夠有效鍛煉自己的推理能力和邏輯思維能力。

一、估算是被動(dòng)行為嗎

新課標(biāo)指出：能在解決問(wèn)題的同時(shí)，選擇合適的估算方法，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和習(xí)慣?？梢钥闯觯浪阋庾R(shí)和習(xí)慣的養(yǎng)成需要教師在平時(shí)的教學(xué)中捕捉時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生自主、靈活選擇估算去解決問(wèn)題，從而感受估算的價(jià)值和便捷。所以說(shuō)估算不應(yīng)流于形式，不應(yīng)成為學(xué)生的被動(dòng)應(yīng)答行為。案例一中估算的要求是教師發(fā)出的一道“指令”，學(xué)生只是在執(zhí)行這道“指令”，而行為主體卻沒(méi)有主動(dòng)采用估算解決問(wèn)題的意識(shí);但案例二中估算是學(xué)生為了解決確定小數(shù)點(diǎn)的位置而產(chǎn)生一種實(shí)際內(nèi)需，這時(shí)的估算行為已經(jīng)上升為一種策略，顯然要比單純?yōu)楣蓝酪呙鞯枚?。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，如果單純地學(xué)習(xí)估算，那只是一種技能，技能可以通過(guò)一定量的訓(xùn)練得到鞏固和強(qiáng)化，但是“為什么要估算？何時(shí)采用估算？”這樣的意識(shí)問(wèn)題卻得不到最終的解決。如果讓學(xué)生帶著問(wèn)題去主動(dòng)運(yùn)用估算，這樣獲得的價(jià)值也許會(huì)更多。因?yàn)楣浪悴粌H可以發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力，而且可以發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中的預(yù)見(jiàn)能力和判斷能力。

二、例題僅是“敲門(mén)磚”嗎

教材不僅僅是個(gè)例子，它是師生共同對(duì)話的文本，所以教師在走進(jìn)課堂前首先要做的就是研究教材，深刻吃透教材的要義，然后最大限度地用足、用好教材，讓每個(gè)例題發(fā)揮它應(yīng)有的價(jià)值。然而案例一中的教師僅僅將教材的例題看作一塊“敲門(mén)磚”，在學(xué)生觀察收集數(shù)據(jù)并提出問(wèn)題后就束之高閣了。可是翻閱這一單元的教材，不管是前面的例題1（小數(shù)乘整數(shù)），還是后面的例題10（除數(shù)是小數(shù)的除法），其中例題已經(jīng)暗含了利用單位名稱(chēng)的改寫(xiě)來(lái)實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化的編寫(xiě)意圖，這是教師缺位的一種表現(xiàn)。案例二中，教師則充分相信學(xué)生的主觀能動(dòng)性和學(xué)生已經(jīng)積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用單位名稱(chēng)之間的改寫(xiě)來(lái)實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，化新為舊，從而求出房間的面積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化策略的多樣化，也為后面除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算再次作了策略和經(jīng)驗(yàn)層面的積累。通過(guò)兩個(gè)案例對(duì)比，再次驗(yàn)證了那句教育名言：教師既要備教材，也要備學(xué)生。教師要充分信賴(lài)學(xué)生的能力，讓學(xué)生自主尋找轉(zhuǎn)化的路徑，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)的能力。

三、學(xué)生的錯(cuò)誤可以忽視嗎

錯(cuò)與對(duì)是一對(duì)矛盾體，二者之間可以相互轉(zhuǎn)化。沒(méi)有“錯(cuò)”，哪來(lái)“對(duì)”。恩格斯說(shuō)過(guò)：最好的學(xué)習(xí)是從差錯(cuò)中學(xué)習(xí)。案例一中學(xué)生的探究活動(dòng)是在教師的“牽引”下亦步亦趨的學(xué)習(xí)活動(dòng)，這樣的探究活動(dòng)學(xué)生不需要作出克服困難的意志努力，探究的味道自然不濃;案例二中學(xué)生真實(shí)探究后產(chǎn)生不同的錯(cuò)誤計(jì)算方法，教師沒(méi)有視而不見(jiàn)，而是直面學(xué)生的錯(cuò)誤，并不惜時(shí)間讓學(xué)生自己說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。同時(shí)通過(guò)辨析，學(xué)生也明確解決問(wèn)題的方向，就是最后一次性來(lái)考慮積的小數(shù)點(diǎn)的位置，中途不需要考慮小數(shù)點(diǎn)的位置。雖然這樣的探究過(guò)程比較曲折、費(fèi)時(shí)，但卻能最大限度地暴露學(xué)生最真實(shí)的思維狀態(tài)，學(xué)生也能從錯(cuò)例中汲取經(jīng)驗(yàn)，不斷修正自己的思維方向，從而找到解決問(wèn)題的最佳路徑。

四、運(yùn)算推理的過(guò)程可以替代嗎

陳省身院士曾說(shuō)過(guò)：“經(jīng)驗(yàn)不可替代，過(guò)程無(wú)法超越?！北竟?jié)課從思維形式上進(jìn)行講述，轉(zhuǎn)化過(guò)程也就是推理過(guò)程，但這個(gè)過(guò)程是別人無(wú)法替代的，需要學(xué)生自己運(yùn)用已有的知識(shí)去實(shí)現(xiàn)自主推理，把小數(shù)乘小數(shù)的算理弄明白。而在這個(gè)過(guò)程中，教師只能起到引領(lǐng)者、組織者和對(duì)話者的角色。案例一中教師通過(guò)一問(wèn)一答的形式讓學(xué)生完成推理的過(guò)程，這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)教師“調(diào)控”太多，沒(méi)有充分考慮學(xué)生已經(jīng)積累了一定的基礎(chǔ)知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。案例二中教師則放手讓學(xué)生利用乘法中乘數(shù)變化引起積的變化規(guī)律自主去完成推理過(guò)程，并且通過(guò)觀察兩個(gè)乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)之間的聯(lián)系作出大膽猜測(cè)，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，使學(xué)生保持高昂的情緒繼續(xù)投入下面的探究活動(dòng)中去。