吳秀吉，張和平

（1.凱里學(xué)院附屬中學(xué)，貴州凱里 556000；2.凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

侗族是中國南方眾多少數(shù)民族中人口較多的農(nóng)耕民族，主要分布在黔、湘、桂三省毗鄰區(qū)及鄂西南地區(qū).不同的地域環(huán)境導(dǎo)致侗族人民生活習(xí)慣、人文甚至人的性格、思想觀念等都會(huì)帶有地理環(huán)境的烙印，同時(shí)也產(chǎn)生了與地理環(huán)境相應(yīng)的建筑技藝［1］.侗族居住在氣候溫和、多雨濕潤的山區(qū)，加上侗族人民長期積淀的傳統(tǒng)文化習(xí)俗、生活智慧和農(nóng)耕生產(chǎn)創(chuàng)造，造就了獨(dú)具特色的侗族民居、鼓樓等建筑文化體系，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，侗族建筑的裝飾、結(jié)構(gòu)及建造技藝蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)元素資源.

圖1 民居建筑

1 侗族建筑中的幾何變換

1.1 平移變換

簡化后的魚兒菱形和波形紋在侗族傳統(tǒng)民居建筑中較為常見，由于侗族傳統(tǒng)民居建筑所具有的實(shí)用功能占主導(dǎo)位置的特性，一些裝飾性的圖形圖像就常與民居建筑上的結(jié)構(gòu)性、功用性構(gòu)件結(jié)合在一起［2］.（圖1）中的民居建筑是將魚兒簡化成菱形、波紋形與窗飾結(jié)合起來的，這些點(diǎn)綴看似平淡無奇，但能使建筑立面圖形變得豐富起來.圖1 中的窗格共三層，每一層花格都是由“V”形木條左右平移而得到的.

1.2 對(duì)稱變換

侗族傳統(tǒng)民居用椽子垂直安放在檁條上，上面蓋有小青瓦，椽子起到支承瓦面的作用.而屋脊基本上都是小青瓦堆疊的清水脊，中間位置用小青瓦堆砌成軸對(duì)稱圖形.如圖2 所示，小青瓦堆砌千姿百態(tài)造型萬千，有錢幣造型的，也有花朵造型的，但不管這些青瓦堆砌數(shù)量的多少，排列的方式是圓還是方，其屋頂從立面上看，整體圖像都是呈縱向軸線對(duì)稱的布局方式［2］.

圖2 小青瓦堆砌造型

圖3

1.3 旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)一個(gè)60o或60o的整數(shù)倍角都一定和原圖形重合.即圖中的正六邊形ABCDEF是通過點(diǎn)E在變換矩陣C=的5次作用下實(shí)現(xiàn)的.通過基本旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)的多面體狀筒形的鼓樓建筑，達(dá)到減少受力面積，形成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，是鼓樓建筑平衡的優(yōu)化設(shè)計(jì)［3］.

圖4

2 侗族建筑中的初等幾何

侗族鼓樓很大一部分都修建得很高大，非常雄偉、壯觀，從建造技藝來看，可算得上是侗族木構(gòu)建筑之最.如此高大的建筑物層與層之間是用木制樓梯（圖4）連通的.進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)在黔東南州境內(nèi)的榕江、黎平、從江有部分建筑師用比例的方法去制作連接層與層之間的相應(yīng)樓梯，其過程如下：

圖5

圖6

首先，在（圖4）中測(cè)量出A′B′=a,B′C′=b;其次，在（圖5）中的長方形ADPM（木枋）中取AB=CD=PQ=NM，用墨線分別連接BN、CQ,由AB:BA1=a:b便可確定A1的位置，過A1作A1E⊥CQ垂足為E，再由A1E:EB1=a:b便可確定B1的位置，過A1、B1作直線A1B1與木枋的邊緣分別交于A、U，過B1作A2B1⊥A1B1交BN于A2，并連接A2B1，用同樣的方法作出Ai+1Bi⊥AiBi,Bi+1Ai+1⊥Ai+1Bi垂足分別為Bi,Ai+1(i=1,2,3,…)(如圖4);最后，沿AiBi、Ai+1Bi、Ai+1Bi+1(i=1,2,3,…)鑿開木槽，按同樣的方法把另一塊木枋做好后，安裝上相應(yīng)木板便可得到樓梯（圖6）（引自文獻(xiàn)［2］）.

圖7

圖8

圖9

侗族建筑師在裝修過程中通常在封頭板上制作五角星、銅貫錢等圖案（如圖7）［4］.侗族師傅在制作五角星（圖8）時(shí)，首先是通過制作正五邊形，然后再連接其對(duì)角線去實(shí)現(xiàn)的，其過程如下：

首先，作線段AL（AL的長度小于封頭板的寬度），取AL的中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，過O作BD⊥AL垂足為O，取AO1=OO1，連接O1B，并取O1O2=O1B，以B為圓心，BO2為半徑畫弧分別與圓O交于F,E，再分別以F,E為圓心BO2為半徑畫弧，分別與圓O交于G,H，依次連接B,F,G,H,E即可得到正五邊開形.

其次，分別連接BG,BH,FE,FH,GE使BG?EF=B′,BG?FH=C′，BH?EF=A′,BH?EG=E′,FH?EG=D′。

最后，用尖尾鋸沿BB′FC′GD′HE′EA′B鋸開即可以得到一個(gè)五角星.

在圖9 中，首先，取線段A′C′（A′C′的長度小于封頭板的寬），取A′C′的中點(diǎn)O，過O作B′D′⊥A′C′垂足為O，使C′O=A′O以O(shè)為圓心，OA′為半徑畫圓.其次，分別以O(shè)A′,OB′為鄰邊作正方形AOB′B.用同樣的方法作出正方形C′OB′C,C′OD′D,A′OD′A。再次，分別以A,B,C,D為圓心,AA′,BB′,CC′,DD′為半徑畫弧最后，用尖尾鋸沿弧和圓O的圓周鋸開，即可得到“銅貫錢”花形.

圖10 卯榫

圖11

圖12

圖10是侗族民居裝修卯榫部分結(jié)構(gòu)圖.木匠師傅在木枋CBED的CD邊上取點(diǎn)A（其中AC≤C′F′），連接AB.并在木枋C′D′E′F′的C′D′和C′F′上分別取A′、B′使得A′C′=BC、C′B′=AC（圖11）.然后把RTΔABC做成相應(yīng)的榫，把RTΔA′B′C′做成相應(yīng)的卯口.最后，把木枋C′D′E′F′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o平移與木枋CBED結(jié)合成（圖12）.

圖13 牡丹花窗

圖14

侗族民居建筑中的牡丹花窗（圖13）是由正方形和八邊形（雖然不是正八邊形，但它的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓周上）兩種幾何圖形鑲嵌成的一個(gè)平面，所不同的是，此正方形的邊長和八邊形長邊的邊長相等是短邊邊長倍［4］.這為研究當(dāng)正方形的邊長與八邊形長邊的邊長相等是短邊邊長的倍，能鑲嵌成一個(gè)平面（圖14）提供了現(xiàn)實(shí)模型.

以上足以看出，侗族人民對(duì)初等幾何的應(yīng)用達(dá)到較高的水平.

3 侗族建筑中的相關(guān)計(jì)算

3.1 等差數(shù)列的應(yīng)用

侗族建筑水步的計(jì)算一般是以前后（進(jìn)深）縱向的尺寸為依據(jù)，這也是一種統(tǒng)一的規(guī)定［6］.假設(shè)一幢建筑從前檐柱到后檐柱的縱向進(jìn)深為2.76丈，依照東家的要求要建五柱八瓜的木房，即前后都為6 步水，中間有12 個(gè)空位，再拿12 去均分2.76丈，每個(gè)空間的距離就是2.3 尺.在此基礎(chǔ)上，還要考慮前后檐伸挑出去的一步水，應(yīng)同樣為2.3尺.其實(shí)這2.3 尺就是每相鄰兩根檁條的平行距離，這與每步水規(guī)定在2尺至2.5尺相吻合.

有了步水的距離尺寸，就可以很方便地計(jì)算頂層坡面的傾斜度.通常用五分水到底的“人”字形的水面，即5分水就是從脊梁到檐口都是5分水到底，以2.3 尺為例，其每一步水降1.15 尺距離.也就是說，從脊梁到第一瓜應(yīng)降1.15 尺的高度，按這一尺寸一直降到檐口.即伸挑出去的挑檐枋比檐柱矮1.15 尺，以此類推，前后如此，從脊梁直至檐口.把第一步水應(yīng)降的距離不妨令為a1=1.15，相鄰兩步水下降的距離為d=1.15，則步水的計(jì)算滿足下列公式：

一般的侗族建筑從脊梁到檐口的距離是遞增的，從而侗族民居建筑從脊梁到檐口的距離構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列.

綜上所述，因?yàn)榻ㄖ熢诮ㄔ於弊迕窬咏ㄖr(shí)，因地基的大小不同，所制作的“人”形架的大小也各不相同，但建筑師根據(jù)這樣的推算，便很快確定需要材料的多少，避免不必要浪費(fèi)［5］.

3.2 正八邊形的相關(guān)計(jì)算

修建八角形鼓樓時(shí)，涉及正八邊形半徑R與邊長a的相關(guān)計(jì)算.今天可以用公式a=2Rsin22.5o表示.而22.5o不是特殊角，計(jì)算結(jié)果只能取其近似值.但古代侗族對(duì)角度的概念的認(rèn)識(shí)并不是很清晰，進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)與黔東南州黎平縣毗鄰的通道縣境內(nèi)有部分鼓樓建筑師用以下計(jì)算公式：

正八邊形邊長=正八邊形的半徑×0.78.

以這個(gè)公式為依據(jù)，通過擴(kuò)大或縮小可以算出正八邊形邊長的實(shí)際長度.如果我們按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)的方法來求，則有：由于正八邊形的同圓心角為45o，過圓心作邊的垂線，則平分邊長和圓心角，取正八邊形的半徑為R=1，從而邊長a=2×1×sin22.5o≈0.765，由 |0.78-0.765 |=0.015，取這個(gè)值與理論值相差很小，又由于在實(shí)際測(cè)量時(shí)也存在誤差，鼓樓建筑師選用這個(gè)公式是有道理的且符合實(shí)際，它顯然是一個(gè)較好的近似計(jì)算公式，這是侗族鼓樓建筑師在長期的實(shí)踐中總結(jié)得到的結(jié)果.

4 侗族建筑中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

4.1 民居建筑的笛卡兒積思想

侗族傳統(tǒng)民居建筑前后左右的定位應(yīng)以中堂太師壁神龕上的“天地君親師位”的“師”為定點(diǎn)，面朝的方向不前，背靠太師壁為后，左右自然分清.若要建一幢五柱三開間的干欄式民居，應(yīng)有四排柱子的組合如（圖15）.以中堂為準(zhǔn)界線，便有左右各兩排柱子，又以中柱為準(zhǔn)界線，便又有前2 柱、前檐柱、后2 柱、后檐柱之分.這樣，這幢民居建筑便有：左1 排中柱、左1 排前2 柱、左1排前檐柱，左1 排后2 柱、左1 排后檐柱；左2 排中柱、左2 排前2 柱、左2 排前檐柱，左2 排后2 柱、左2 排后檐柱.右1 排中柱、右1 排前2 柱、右1 排前檐柱，右1 排后2 柱、右1 排后檐柱；右2 排 中柱、右2 排前2 柱、右2 排前檐柱，右2 排后2 柱、右2 排后檐柱［6］.這樣標(biāo)記的目的，是為了方便人們?cè)诹⒎孔訒r(shí)能夠準(zhǔn)確地找到相應(yīng)的柱子和木枋，防止出錯(cuò).

圖15

根據(jù)圖15，把每根柱子所在位置標(biāo)記如下：

C1:左1 排中柱，B1:左1 排前2 柱，A1:左1 排前檐柱，D1:左1排后2柱，E1:左1排后檐柱；

C2:左2 排中柱，B2:左2 排前2 柱，A2:左2 排前檐柱，D2:左2排后2柱，E2:左2排后檐柱.

C4:右1 排中柱，B4:右1 排前2 柱，A4:右1 排前檐柱，D4:右1排后2柱，E4:右1排后檐柱；

C3:右2 排中柱，B3:右2 排前2 柱，A3:右2 排前檐柱，D3:右2排后2柱，E3:右2排后檐柱.

如果我們用兩個(gè)集合中的元素來表示上面的排和列，設(shè)X={a1,b1,c1,d1} ；Y={a2,b2,c2,d2,e2} ；其中a1,b1,c1,d1分別表示“左1”，“左2”，“右2”，“右1”，a2,b2,c2,d2,e2分別表示“前檐柱”，“前2柱”，“中柱”，“后2柱”，“后檐柱”，民居建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)件方位則為：

圖16

在平面直角坐標(biāo)系上描述這些點(diǎn)，即可以得到圖16.這說明侗族傳統(tǒng)建筑結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含有笛卡兒積思想.同時(shí)也說明侗族人民對(duì)平面笛卡兒積思想有了較好的理解，并在現(xiàn)實(shí)生活中得到較好地運(yùn)用.

4.2 鼓樓中的墨線分割思想

修建六角鼓樓時(shí)，需要制作正六邊形.在修建過程中，侗族建筑師通常將圓進(jìn)行分割，使其平均分成六等分.然后利用平移的方法分別在柱頭上進(jìn)行分割（分割時(shí)以中墨為基準(zhǔn)），并通過分割下來的點(diǎn)作出墨線，然后利用鼓樓對(duì)稱的性質(zhì)和空間中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系作出其他墨線，這些墨線與墨點(diǎn)在鼓樓上存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系［4］.例如將一個(gè)圓木六等分時(shí)，其具體制作方法如下：

圖17

圖18

首先，在準(zhǔn)備好的呈圓柱（實(shí)際上是不規(guī)則）的原木，兩頭（橫截面（如圖17））吊垂線A D(或A′D′)，分 別 連 接A A′、DD′.取A D(或A′D′)的 中 點(diǎn)O(或O′)，在OA(或O′A′)上 取 點(diǎn)（其 中O A1＜O A(或＜O′A′)），以O(shè)(或O′)為 圓 心，O A1(或)為半徑作⊙O(或⊙O′)，與O D(或O′D′)交于其次，分別以為圓心，以、為半徑畫弧與⊙O(或⊙O′)分別交于、，連 接、C1F1(或)延長線與橫截面的邊緣分別交于B(或B′)、E(或E′)、C(或C′)、F(或F′).最后，用墨線分別連接AA′、B B′、CC′、DD′、EE′、F F′,然后在兩條相鄰的墨線分別任取一點(diǎn)沿著垂直于O O′打孔（或鑿柱眼），這兩個(gè)孔（或柱眼）所確定的方向角成60o，從而實(shí)現(xiàn)了六等分圓（圖18）.

綜上所述，侗族鼓樓及民居的建造涉及比例、等差數(shù)列、平面鑲嵌、平移、對(duì)稱及位似變換等數(shù)學(xué)知識(shí).她展現(xiàn)侗族建筑藝術(shù)千百年來所形成的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和特征以及對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)有了較好的理解和應(yīng)用，同時(shí)充分展示了侗族人民的數(shù)學(xué)智慧.