質(zhì)點(diǎn)沿半球面下滑問題研究

李開瑋

(廣東理工學(xué)院工業(yè)自動(dòng)化系 廣東 肇慶 526100)

在文獻(xiàn)[1]中，作者探討了斜面不固定時(shí)，滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在斜面問題中，斜面的傾角始終不變，本文將研究質(zhì)點(diǎn)沿半球面下滑的問題.

1 問題來源

如圖1所示，質(zhì)量為M，半徑為R的光滑半球固定在水平面上，一質(zhì)點(diǎn)m由球面頂點(diǎn)從靜止開始下滑，求質(zhì)點(diǎn)與球面分離時(shí)的位置、速度．

圖1 問題示意圖

分析：如圖2所示，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v，質(zhì)點(diǎn)與球心連線與豎直方向夾角為θ，球面對(duì)質(zhì)點(diǎn)支持力為N.

圖2 質(zhì)點(diǎn)受力分析

對(duì)質(zhì)點(diǎn)根據(jù)受力分析有

(1)

由式(1)得

(2)

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)與球面分離時(shí)N=0，這時(shí)有

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)可得，質(zhì)點(diǎn)與球面分離時(shí)

當(dāng)半球面不固定，水平面光滑時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將在什么位置與半球面分離？

2 問題擴(kuò)展與討論

如圖3所示，當(dāng)半球面不固定時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿半球面下滑，半球面必然沿水平面向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)與球心連線與豎直方向夾角為β，m相對(duì)于球面線速度為v1，相對(duì)于地面水平速度為v3x，豎直速度為v3y，M相對(duì)于地面速度為v2，則根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系有

v3x=v1cosβ-v2

(4)

v3y=v1sinβ

(5)

圖3 球面不固定時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)示意圖

對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)功能原理有

mgR(1-cosβ)=

(6)

由于水平面光滑，根據(jù)動(dòng)量守恒有

mv3x=Mv2

(7)

(8)

(9)

當(dāng)m與M分離時(shí)，m對(duì)M壓力為零，此時(shí)M水平方向不受任何外力，受力平衡，因此這個(gè)瞬間，半球面為慣性參考系，此時(shí)對(duì)m，以半球面為參考系，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

(10)

聯(lián)立式(8)、(10)可得

cos3β-3(k+1)cosβ+2(k+1)=0

(11)

由式(11)可知β與半球面跟質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量之比k有關(guān)，當(dāng)k=1時(shí)，式(11)變?yōu)?/p>

cos3β-6cosβ+4=0

(12)

解式(12)得

3 結(jié)束語