試論整體思想在“解一次方程組”中的運用

盧理芳

【摘要】在初中數(shù)學教學中，方程是重要的教學內容。在方程組解答的過程中，“消元”是基本的解題思路，學生通過消元消除方程組中的一個未知數(shù)，能將其化作一元方程，然后根據相應的求解方式完成方程組的解答。但是，面對一些一次方程組，消元并非最好的方式，我們需要根據題目中的要求，分析題目的形式和特征，有效利用整體思想，完成題目解答，從而更加快速、有效地解決方程組問題?；诖?，本文結合一次方程組解題，提出整體思想在“解一次方程組”中的應用策略。

【關鍵詞】初中數(shù)學;一次方程組;整體思想;應用策略

面對初中數(shù)學中一次方程組的解題時，我們通常采用消元的方法，將未知數(shù)消除一個后，再進行求解。其中，代入消元和加減消元是兩種有效的消元方式。同時，在解題時，我們可以根據已知方程組的具體特點，選擇適當?shù)慕忸}方法，靈活運用“整體思想”，整體代入，整體加減。這樣，不僅可以化難為易、化繁為簡，達到事半功倍的奇效，還有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和探索求新的學習習慣。在整體思想的應用中，教師需要將其中的數(shù)或者量作為整體，借助整體思想分析問題，達到相應的解題效果，提高學生的解題速度與能力。

一、代入消元中應用整體思想

1.直接整體代入消元

在解一次方程組時，代入消元是一種有效的解題方法。我們可以根據題目的結構和形式，采取整體代入的方法，對方程組進行消元，完成方程組求解。

例題1：解方程組。在解題的過程中，教師應引導學生分析方程組中的系數(shù)，讓學生通過觀察和分析，得出其中的倍數(shù)關系。由此，將其中的方程式轉化成 5y=21-3x，并將其代入另一個方程式中，得出 4x+3（21-3x）=53，根據方程式求解得出 x 的值。然后將 x 的值代入方程式中，求解出 y 的值。

在解答此題的過程中，我們要將方程式中相同的系數(shù)，用另外未知數(shù)代替的方式，然后將整體代入方程式中，完成解題的目的，同時保證運算的速度和解題的準確性。因此，在解題的過程中，教師應注重引導學生對方程組的觀察和分析，讓學生了解其中的系數(shù)關系，然后進行相應的方程求解。

2.通過變形之后整體代入

有一些一元方程組，需要對其中的方程式進行變形后才能整體代入。在變形之前，學生需要仔細觀察和分析，根據方程組中兩個方程式的關系進行相應的變形，再根據整體代入的思想完成方程求解。

例題2：。在解題的過程中，通過對兩個方程式進行分析，學生發(fā)現(xiàn)可以將方程式 4x+5y=2 轉變成 4x=2-5y，將 6x+7y=8 轉變成 2x+4x+7y=8。之后將 4x 整體代入，通過化解得出 x=3-y，然后將其代入 4x+5y=2 中，通過求解得出方程組的解。

在解答一次方程組時，學生需要根據方程式之間的關系，對其進行轉化，然后充分利用整體思想進行整體代入，完成方程組的解答。

二、加減消元中應用整體思想

加減消元法是方程組解答中的另一種消元方式，在加減消元的過程中，學生需要將未知數(shù)中的其中一個系數(shù)轉變成相同系數(shù)，通過加減的方式進行消元，完成方程組的解答。在加減消元的過程中，學生需要對未知數(shù)的系數(shù)進行分析，靈活地轉化系數(shù)，快速有效地完成方程求解。

1.直接整體加減消元

例題3：求解方程組。此方程組的數(shù)字都比較大，利用代入消元法和加減消元法都有一定的難度，并且計算比較復雜，很容易計算錯誤。通過分析未知數(shù)的系數(shù)，學生發(fā)現(xiàn)兩個方程式中未知數(shù)的系數(shù)正好相互調換，所以可以采用整體相加減的方法，將系數(shù)絕對值變得最小，形成新的方程，再進行求解。在具體的解題過程中，學生將兩個方程式相加得出 58x+58y=638，簡化得出 x+y=11，將方程式相減得出16x-16y=-16，化簡得 x-y=-1，將兩個新方程式相加求解得出 x 的值;將兩個新方程式相減求解得出 y 的值。

面對方程組中未知數(shù)的系數(shù)比較大時，學生需要觀察方程組的特點，對方程組進行相應的轉化，根據整體思想進行求解，避免盲目利用加減或者代入消元法，使解題變得更加復雜。

例題4：已知有A、B、C三種玩具，如果買A玩具5個、B玩具2個、C玩具4個一共需要花費80元錢;如果買A玩具3個、B玩具6個、C玩具4個一共需要花費144元。那么，如果買A、B、C三種玩具各一個，需要花費多少元？

在解答此題的過程中，學生需要根據題意列出三元一次方程組，但是題目中的條件只有兩種等量關系，不可能通過一一求解的方式解題。因此，學生需要有效利用整體代入思想，完成方程組求解。根據題意，假設購買三種玩具分別需要 x、y、z 元，根據題目意思列出方程組，通過對方程組未知數(shù)的系數(shù)進行分析，可以將兩個方程式相加，得出8x+8y+8z=224，求解得出 x+y+z=28。

2.通過變形之后進行整體加減

學生面對一元方程組的問題，有效利用整體思想，可以明確解題思路，快速完成題目解答。在實際的整體思想應用中，學生需要對方程組進行變形，然后借助整體加減完成解題;在變形時，需要對方程式進行觀察和分析，通過巧妙的變形，有效地解答方程組。

例題5：已知方程組，求解 x+y 的值。在解答此題的過程中，學生可以通過代入法或者加減法求解出 x、y 的值，然后代入求解 x+y 的值。但是，教師可以讓學生進行觀察和分析，之后學生發(fā)現(xiàn)，方程式 2x+y=6 乘以2之后，與方程式 6x+8y=33 相加，正好可以得出 10x+10y=45，通過整體代入的方式，完成 x+y 值的求解。因此，在解題的過程中，面對一些復雜的方程組求解，學生需要對方程組進行整體分析，結合方程式的變形，借助整體思想進行加減，完成題目的解答。

例題6：已知 x、y 滿足方程組，并且x+y=1，求解 m 的值。在解答此題的過程中，學生可以根據已知內容計算出 x 和 y 的值，然后將其代入方程式中，得出 m 的值。但是，如果對方程組進行仔細觀察，學生可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù) x、y 系數(shù)之間的關系，可以將方程組的兩個方程式相加，得出5x+5y=2m+1，再進行相應的轉化，得到5（x+y）=2m+1，再對已知部分進行整體代入，求解出 m 的值。

在初中數(shù)學教學中，方程是重要的教學內容，一次方程組是學生學習過程的難點之一，也是學生最容易出錯的知識點。整體思想是方程組解題的有效方式，學生利用整體思想實現(xiàn)方程組的消元，能有效簡化方程組，明確方程組解題過程。在消元中主要有代入消元和加減消元兩種方式，通過觀察和分析方程組，學生可以選擇相應的消元方式，并有效利用整體思想解答方程組，鍛煉方程組解題能力。

【參考文獻】

華昭琴.整體思想在解方程組問題中的應用[J].中學生數(shù)理化（七年級數(shù)學），2017（07）：128-129.