李雪琴 袁智強 戴颯英

摘要：基于STEM教育理念，以學(xué)生熟悉的折紙為研究載體，創(chuàng)設(shè)以航天為背景的現(xiàn)實情境，整合我國航天發(fā)展歷程、平頂點折紙規(guī)律和“三浦折疊”的制作等內(nèi)容，設(shè)計和實施《飛翔的數(shù)學(xué)》一課。由此得到數(shù)學(xué)“綜合與實踐”教學(xué)的啟示：要關(guān)注生活與科學(xué)情境，選好研究的切入點;滲透數(shù)學(xué)知識與方法，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值;融入工程與技術(shù)元素，提升學(xué)生的課堂參與度。

關(guān)鍵詞：STEM教育 綜合與實踐 折紙 三浦折疊 “6E”教學(xué)模式

數(shù)學(xué)“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動，是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的四大內(nèi)容之一。在數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動過程中，學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，綜合運用各領(lǐng)域的知識和方法，分析和解決生活中的問題。因此，數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的教學(xué)具有學(xué)科性、綜合性、實踐性、主體性、過程性等特點。

STEM教育是一種以項目學(xué)習(xí)和問題解決為導(dǎo)向的課程組織方式。STEM教育具有跨學(xué)科性、情境性、體驗性、趣味性等多個特征，其中，跨學(xué)科整合是STEM教育最核心的特征。STEM教育理念與數(shù)學(xué)“綜合與實踐”教學(xué)理念有相似之處。兩者都強調(diào)要聯(lián)系生活，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，以問題為驅(qū)動，鼓勵學(xué)生積極主動參與到教學(xué)活動中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。不同之處在于，數(shù)學(xué)“綜合與實踐”教學(xué)主要關(guān)注數(shù)學(xué)與生活以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，而STEM教育跨學(xué)科整合的范圍更廣。所以，STEM教育理念可以作為初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”課程設(shè)計與實施的理論指導(dǎo)，為課程增添更豐富的跨學(xué)科元素。

基于以上想法，我們以STEM教育理念為指導(dǎo)思想，以學(xué)生熟悉的折紙為研究載體，創(chuàng)設(shè)以航天為背景的現(xiàn)實情境，整合我國航天發(fā)展歷程、平頂點折紙規(guī)律和“三浦折疊”的制作等內(nèi)容，設(shè)計和實施了《飛翔的數(shù)學(xué)》一課，引導(dǎo)學(xué)生從線段的數(shù)量關(guān)系和平行線、平行四邊形等幾何圖形的角度認(rèn)識、探究折紙，培養(yǎng)數(shù)感、符號意識、幾何直觀能力和模型思想，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

一、教學(xué)設(shè)計

本課例基于“6E”教學(xué)模式，采用基于問題的學(xué)習(xí)方法。教學(xué)過程主要包括6個環(huán)節(jié)：情境引入（Engage）、折紙?zhí)骄浚‥xplore）、折紙解釋（Explain）、模型制作（Engineer）、模型精致（Elaborate）和總結(jié)評價（Evaluate）。在教學(xué)過程中，創(chuàng)設(shè)以問題驅(qū)動的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，并以小組合作的形式分析、解決問題。

第一步，了解我國航天事業(yè)的發(fā)展歷。通過講述我國成功發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”的故事，讓學(xué)生充分融入情境，認(rèn)識到航天是集科學(xué)、數(shù)學(xué)、技術(shù)、工程于一體的高科技領(lǐng)域之一，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

第二步，探索衛(wèi)星太陽能電池帆板易于收縮與展開的折疊方式，總結(jié)太陽能電池帆板的設(shè)計特點。從數(shù)學(xué)的角度探究太陽能電池帆板的折疊原理——平頂點折紙規(guī)律，經(jīng)歷從具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，發(fā)展數(shù)感、符號意識，建立模型思想。

第三步，觀察“三浦折疊”折痕展開圖，用“線段平行”“平行四邊形”“全等”“對稱”等數(shù)學(xué)語言描述展開圖的特征，培養(yǎng)幾何直觀能力。總結(jié)特征，設(shè)計“三浦折疊”的制作方案。

第四步，按照設(shè)計方案制作“三浦折疊”。發(fā)現(xiàn)折疊過程中出現(xiàn)的問題，分析問題，完成“三浦折疊”的制作，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

第五步，從大小、收縮形狀等方面，在組內(nèi)或組間比較制作的“三浦折疊”模型。分析問題產(chǎn)生的原因，設(shè)計并實施解決方案，優(yōu)化“三浦折疊”模型。

第六步，回顧課程，進行總結(jié)性評價。分享學(xué)習(xí)感悟，鞏固知識，提升思維。

二、教學(xué)流程

（一）情境引入：融入科學(xué)情境，了解航天發(fā)展

1.以2020年“中國航天日”主題宣傳片引入，與學(xué)生分享“萬戶飛天”、中國航天第一個里程碑“東方紅一號”衛(wèi)星發(fā)射的故事，使用GeoGebra軟件模擬演示“東方紅一號”繞地飛行的示意圖（如圖1）。

2.科普衛(wèi)星在生活中的應(yīng)用，如電話通信、防控新冠肺炎疫情、馳援森林火災(zāi)、環(huán)境監(jiān)測和氣象監(jiān)測等。

（二）折紙?zhí)骄浚禾岢龉こ虇栴}，探索折紙規(guī)律

1.提出工程問題，激發(fā)學(xué)生思考：衛(wèi)星的太陽能電池帆板以何種方式折疊能方便地打開？學(xué)生自發(fā)折疊、展開正方形紙張，模擬太陽能電池帆板的折疊與展開。之后，學(xué)生分享自己的折疊方式，根據(jù)收縮后的面積小、易于展開等標(biāo)準(zhǔn)評價學(xué)生的折疊方式。

2.學(xué)生了解依據(jù)折疊原理設(shè)計的衛(wèi)星太陽能電池帆板的兩種常見折疊方式：手風(fēng)琴式（如圖2）、旋轉(zhuǎn)折疊式（如圖3）。

3.學(xué)生小組合作，從折痕的數(shù)量關(guān)系入手，探索折紙規(guī)律，并進行實際操作。具體步驟如下：（1）在正方形紙張中任意畫一個點A（如下頁圖4）;（2）經(jīng)過點A將正方形紙張進行折疊，分別折疊1次、2次、3次、4次、5次、6次、7次……（3）以點A為起點，依折痕畫射線，峰線（M）用實線表示，谷線（V）用虛線表示（如下頁圖5）;（4）填寫表格并總結(jié)規(guī)律。

4.學(xué)生展示實驗結(jié)果，并總結(jié)平頂點折紙規(guī)律。

師請每個小組派一位代表上臺展示你們組的實驗結(jié)果。

生（投影出示圖6）我們發(fā)現(xiàn)實線數(shù)與虛線數(shù)的差為2，即M-V=2。我們還得出了各種線數(shù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系，表格中的n代表折疊次數(shù)，折疊n次，射線總數(shù)為2n，實線數(shù)為2n2+1，虛線數(shù)為2n2-1。當(dāng)折疊次數(shù)多于一次的時候，實線數(shù)和虛線數(shù)都為奇數(shù)。

師很好！你們從填寫的表格中總結(jié)了3條規(guī)律，并且通過具體的折疊次數(shù)推測出折紙的一般規(guī)律。

生（投影出示圖7）我們組的射線總數(shù)是折疊次數(shù)的兩倍，實線數(shù)和虛線數(shù)既有奇數(shù)，也有偶數(shù)，并按照自然數(shù)順序排列。

生我們組折疊4次時，射線總數(shù)是12;折疊5次時，射線總數(shù)是16;折疊6次時，射線總數(shù)是20……從第2次以后，每折疊一次，射線總數(shù)增加4。

師這幾組同學(xué)都得出了實線數(shù)與虛線數(shù)之差為2的結(jié)論，但射線的總數(shù)卻各不相同。為什么會出現(xiàn)這么多種答案呢？到底誰的正確呢？請這幾組同學(xué)分別介紹一下你們是如何得到這些結(jié)果的。

生我們組每次折疊都是經(jīng)過點A對折，所以射線總數(shù)都比前一次增加一倍。

生我們組從第三次折疊開始，沒有將每層紙全部翻折，經(jīng)過點A，每次翻折共折痕的兩層，（出示圖8）所以每折疊一次，射線總數(shù)增加2。

生我們組從第3次開始，經(jīng)過點A，每次折疊連續(xù)的四層，（出示圖9）所以每次折疊，射線總數(shù)增加4。

生所以射線總數(shù)不同的原因是折疊的方法不同。雖然每次增加的折痕數(shù)不同，但都是偶數(shù)。

師經(jīng)過折紙可以發(fā)現(xiàn)，每次折疊的折痕數(shù)最少增加2，最多增加2n（n為折疊次數(shù)）。所以，我們的結(jié)果都是正確的。實線數(shù)與虛線數(shù)有可能是奇數(shù)，也有可能是偶數(shù)。但經(jīng)過點A，不管怎么折，射線總數(shù)始終為偶數(shù)。

生峰線的數(shù)量一定比谷線多嗎？

生不一定！當(dāng)頂點朝上的時候，峰線比谷線多;當(dāng)頂點朝下的時候，原來的峰線變成了谷線，谷線變成了峰線，這時谷線比峰線多。

師在折紙中，沒有絕對的峰線和谷線，而是取決于你觀察的角度。

生經(jīng)過點A，第一次折疊時，只有一條折痕，不滿足M-V=2，所以這個結(jié)論是不是當(dāng)折疊次數(shù)大于或等于2時才成立？

師很好的問題！事實上，我們可以將第一次折疊的折痕看作在同一條直線上的兩條短折痕，即共端點反向的兩條射線。所以，第一次折疊時，這個規(guī)律仍成立。（稍停）所以，我們可以從折痕的數(shù)量特征得到折紙的兩個規(guī)律：在平頂點折疊中，實線數(shù)與虛線數(shù)的差為2，即峰線與谷線的數(shù)量差為2，|M-V|=2，這就是著名的折紙定理——前川定理;射線總數(shù)為偶數(shù)，即折痕總數(shù)為偶數(shù)，這是折紙中的均勻度定理。上述定理成立的前提是頂點在紙張內(nèi)部。

5.分享折紙在生活中的妙用，如太空望遠鏡、折疊玩具、折疊機器人、安全氣囊、心臟支架等。

（三）折紙解釋：分析折疊特點，設(shè)計制作方案

播放“三浦折疊”制作視頻，讓學(xué)生觀察“三浦折疊”的動態(tài)圖和折痕圖，通過折痕以及折痕形成的圖形特征，分析并總結(jié)“三浦折疊”的特點，依據(jù)特點分析并設(shè)計“三浦折疊”的制作步驟。

師“三浦折疊”的展開有什么特點？

生沿紙張的對角線一次性展開。

師（出示圖10）“三浦折疊”的折痕展開圖有什么特點？

生除兩端的邊界外，由折痕形成的小格子是全等的平行四邊形。

生“三浦折疊”展開的時候，由折痕形成的小格子形狀、大小不變，是剛性折疊。

生每一個頂點處的折痕總數(shù)都為4，有的頂點有3條谷線和1條峰線，有的頂點有3條峰線和1條谷線，它們的差為2，滿足前川定理，是平頂點折疊。

生橫向折痕呈“直線形”，縱向折痕呈“波浪形”，橫向折痕與縱向折痕都是峰線與谷線交替出現(xiàn)。

生“三浦折疊”是兩個手風(fēng)琴式折疊一橫一縱的疊加。

師那如何制作“三浦折疊”呢？

生（出示圖11）先把A4紙的寬平均分成5份，折疊成手風(fēng)琴狀。

師那縱向的波浪線折痕怎么折疊呢？

生用鉛筆畫出每一條波浪形折痕，用實線表示峰線，用虛線表示谷線。

師如果紙張再大一些，有更多的波浪形折痕，怎么辦？大家再仔細(xì)觀察一下，每相鄰兩行平行四邊形的位置關(guān)系有何特點？

生每相鄰兩行的平行四邊形關(guān)于橫向折痕對稱。

生所以，我們可以得出“三浦折疊”的制作方案：（1）將A4紙折成手風(fēng)琴狀，并收縮成細(xì)長條狀;（2）將細(xì)長條的長平均分成7等分，在每個等分點上畫虛實交替的等距平行線（如下頁圖12）;（3）將實線折成峰線，將虛線折成谷線（如下頁圖13）。

（四）模型制作：實施選定方案，制作“三浦折疊”

讓學(xué)生小組分工合作，按照選定的方案制作“三浦折疊”，發(fā)現(xiàn)折紙不能一次性展開。讓學(xué)生比較圖13展開的折痕圖與圖10的折痕圖，分析折痕的相同點與不同點，完成折紙。

師請大家打開手中的折紙，觀察是否可以一次性將折紙展開？

生不能，展開的時候需要兩步：先將折紙展開成細(xì)長條，再將手風(fēng)琴式折紙展開。

師這說明我們的折紙還沒有完成。請大家比較“三浦折疊”和自己手中折紙的折痕展開圖，有什么相同點和不同點？

生這兩種折痕展開圖橫向的折痕相同，但我們手中的同一條波浪形折痕不全是峰線或谷線，而是有一小段是峰線，有一小段是谷線。

師怎么將同一條波浪形折痕變?yōu)椤叭寰€”或“全谷線”呢？變的過程中要注意什么？

生將第一條波浪形折痕上的谷線折痕全變成峰線，第二條波浪形折痕上的峰線全變成谷線，以此類推。但波浪形折痕的峰線和谷線要交替出現(xiàn)。

師很好！折痕變化完成后，將紙張兩端往中間推壓，并重新將折痕壓實，便得到了我們需要的“三浦折疊”。

（五）模型精致：分析問題成因，精致折紙模型

1.每個小組的成員相互比較制作的成品，分析制作成功與失敗的原因。

師大家觀察一下失敗成品的折痕展開圖，與成功成品的折痕展開圖有什么不同？

生失敗成品的折痕展開圖中，由折痕形成的小格子是正方形，不是平行四邊形。

生（出示圖14）原本應(yīng)該在等分點處畫傾斜的平行線，但實際上畫了與細(xì)長條的長垂直的線段。

2.學(xué)生組內(nèi)或組間相互比較制作成品收縮后的形狀和大小，分析形狀和大小不一致的原因，并根據(jù)具體的原因完善折紙模型，使制作的“三浦折疊”收縮后的面積小、易于展開。

師把自己制作的“三浦折疊”與其他同學(xué)的比較一下，看收縮以后的形狀和大小是否一致？

生（出示圖15）我們組有的同學(xué)制作的“三浦折疊”收縮以后，峰線和谷線分別在同一條直線上，（出示圖16）也有的同學(xué)制作的“三浦折疊”不在同一條直線上。

師這是什么原因呢？

生我們組的是因為畫的平行線不平行。

生我們組的是在折疊時，畫的實線和虛線沒有與折痕完全重合。

師所以，在折疊時必須滿足等距以及平行線與折痕重合兩個條件。

生我們組折疊的大小不一樣，通過對比發(fā)現(xiàn)，“三浦折疊”收縮以后的大小與平行線傾斜的角度有關(guān)。平行線與細(xì)長條的長傾斜的角度越大，收縮后的面積越小;傾斜的角度越小，收縮后的面積越大。

師影響“三浦折疊”收縮后的面積的主要因素就是平行線傾斜角的大小。三浦公亮經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，要滿足易于收縮、展開以及收縮后面積最小這兩個條件時，傾斜角為83°最適宜。

3.完善模型和完成評價后，用GeoGebra軟件模擬“三浦折疊”型的太陽能電池帆板在太空中的折疊與展開。

（六）總結(jié)評價：反思探究過程，促進思維提升

引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程以及課堂表現(xiàn)，進一步鞏固知識、提升思維。依據(jù)學(xué)生在課堂中提出問題、解決問題、小組合作等方面的表現(xiàn)進行客觀評價。

三、總結(jié)與啟示

（一）關(guān)注生活與科學(xué)情境，選好研究的切入點

本課選擇“三浦折疊”作為探究的切入點，理由有三：（1）“三浦折疊”是一種簡單但又具有挑戰(zhàn)性的折紙方式;（2）“三浦折疊”同時蘊含了簡單和復(fù)雜的數(shù)學(xué)原理，可以選擇難度適宜的數(shù)學(xué)知識進行教學(xué);（3）“三浦折疊”應(yīng)用于衛(wèi)星太陽能電池板的折疊設(shè)計，能為課程提供豐富的科學(xué)情境和生活情境?？梢?，在選擇數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的課題時，應(yīng)該打破數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的邊界，積極尋找數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的交匯點，作為研究的切入點。

（二）滲透數(shù)學(xué)知識與方法，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

本課中，通過講述“東方紅一號”衛(wèi)星解決“抓得住”的技術(shù)問題，讓學(xué)生知道測量衛(wèi)星到地面的距離可以抽象為一個數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象的思想方法，同時體會數(shù)學(xué)在航天中的應(yīng)用價值。平頂點折紙規(guī)律的探索，則讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的過程。因此，數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的課程內(nèi)容，應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)知識、思想與方法，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

（三）融入工程與技術(shù)元素，提升學(xué)生的課堂參與度

工程實踐環(huán)節(jié)需要學(xué)生依據(jù)設(shè)計方案動手操作，可以讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，完成作品制作。教師引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)手段解決問題，將問題變得更加可視化，從而更為深入地理解知識，體會科學(xué)技術(shù)給生活和學(xué)習(xí)帶來的便利。比如，學(xué)生制作“三浦折疊”的過程——總結(jié)“三浦折疊”的特點、設(shè)計制作方案、動手實踐，充分調(diào)動了學(xué)生參與的積極性。因此，在數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的教學(xué)中，融入工程與技術(shù)的實踐環(huán)節(jié)，是提升學(xué)生課堂參與度的有效措施。

*本文系教育部人文社會科學(xué)研究青年基金項目“創(chuàng)新型STEM教師培養(yǎng)的探索性研究”（批準(zhǔn)號：18YJC880115）的階段性研究成果。本刊曾在2019年第3期、第8期和2020年第4期呈現(xiàn)其系列研究成果。

參考文獻：

[1] 張偉俊.數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動的有效設(shè)計研究[J].上海教育科研，2018（10）.

[2] 蔡慶有.數(shù)學(xué)“綜合與實踐”內(nèi)容的課程分析[J].教學(xué)與管理，2017（1）.

[3] 相春艷.初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”課程實施現(xiàn)狀的調(diào)查研究[D].揚州：揚州大學(xué)，2014.

[4] 余勝泉，胡翔.STEM教育理念與跨學(xué)科整合模式[J].開放教育研究，2015（4）.

[5] 梅浩，袁智強，鄭柯.基于數(shù)學(xué)實驗的STEM教育——以“探究金屬的冷卻模型”為例[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（3）.

[6] 托馬斯·赫爾.折紙設(shè)計的秘密——折紙模型中的數(shù)學(xué)世界[M].張文娟，葉雅玲，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2017.