曹健

摘要：高等數(shù)學(xué)是大學(xué)各理工專業(yè)學(xué)習(xí)的一門必修基礎(chǔ)課，也是決定專業(yè)課掌握程度的關(guān)鍵課程，具有舉重輕重的作用。然而教師如何教，學(xué)生如何學(xué)，一直是困擾高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的難題。筆者曾同時(shí)講授《數(shù)學(xué)與人類文明》[1]與《高等數(shù)學(xué)》課程，從數(shù)學(xué)文明視角淺談《高等數(shù)學(xué)》與課程思政融合教學(xué)的幾點(diǎn)心得體會(huì)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)文明視角;思政;融合

李克強(qiáng)2016年4月15日考察北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院說數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇冠，是其他科學(xué)研究的主要工具，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究在我國(guó)是薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)許多領(lǐng)域形成瓶頸制約，需要一批人靜下心來(lái)把冷板凳坐熱。任正非曾在接受采訪時(shí)說：“這30年，其實(shí)我們真正的突破是數(shù)學(xué)，手機(jī)、系統(tǒng)設(shè)備是以數(shù)學(xué)為中心。”從2G到3G的崛起，從4G到5G的突破引領(lǐng)，華為的成長(zhǎng)都離不開“數(shù)學(xué)”。華為在全球設(shè)有26個(gè)研究所，擁有700多名在職數(shù)學(xué)家。航空發(fā)動(dòng)機(jī)、光刻機(jī)等卡脖子核心科技本質(zhì)上都與數(shù)學(xué)相關(guān)。

2020年7月2日，馬云在第二屆阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽頒獎(jiǎng)典禮上說：“數(shù)學(xué)的用處是無(wú)用之用，數(shù)學(xué)學(xué)的是不同之同，數(shù)學(xué)與哲學(xué)一樣，是所有科學(xué)的基礎(chǔ)，是推動(dòng)整個(gè)社會(huì)進(jìn)步的基礎(chǔ)，沒有那些偉大的數(shù)學(xué)家，就不會(huì)有計(jì)算機(jī)，也不會(huì)有我們現(xiàn)在的互聯(lián)網(wǎng)，不敢想象今天的疫情下，沒有計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)，我們會(huì)如何生存。”

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的第一門課，也是必修基礎(chǔ)課?！皬那坝幸豢脴浣懈邤?shù)，上面掛了很多人”，這是一句玩笑話，大多數(shù)學(xué)生都聽過，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的真實(shí)寫照。高等數(shù)學(xué)概念比較嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算側(cè)重方法，證明講究邏輯。通常授課時(shí)間緊張，內(nèi)容豐富，很多大一新生疲于應(yīng)付，死記硬背，無(wú)法融入，甚至內(nèi)心恐懼。因此教師如何教，學(xué)生如何學(xué)，一直是困擾高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的難題，也成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂日益嚴(yán)重的問題，亟待解決。究其原因，部分原因是忽略了數(shù)學(xué)的文化特性，忽視了高等數(shù)學(xué)人文思想的傳播，數(shù)學(xué)文明視角是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有益補(bǔ)充[2-7]。

2016年12月8日，習(xí)近平總書記在全國(guó)高校政治思想工作會(huì)議上做了重要講話，習(xí)總書記站在實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的全局和戰(zhàn)略高度，科學(xué)地回答了高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰(shuí)培養(yǎng)人這一根本問題，為做好新形勢(shì)下高校思想政治工作、發(fā)展高等教育事業(yè)指明了行動(dòng)方向。他特別強(qiáng)調(diào)：“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人”“要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)?！?/p>

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)與改革聯(lián)動(dòng)著高校數(shù)學(xué)課程“十四五”規(guī)劃，關(guān)聯(lián)著實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)，而高等數(shù)學(xué)是理工農(nóng)醫(yī)類等“為誰(shuí)培養(yǎng)人”的第一門課，因此該課程必須突顯思政理念[8]。此外高等數(shù)學(xué)教學(xué)不僅傳授知識(shí)，還應(yīng)滲透數(shù)學(xué)文明，體現(xiàn)人文精神，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)科學(xué)和了解數(shù)學(xué)文明，進(jìn)而融會(huì)貫通，養(yǎng)成求真務(wù)實(shí)、批判質(zhì)疑等理性思維習(xí)慣和精確嚴(yán)密的科學(xué)精神，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)[9]。

高等數(shù)學(xué)改革探索的腳步從未停止，筆者近期同時(shí)開設(shè)《高等數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)與人類文明》課程，由于疫情采用在線直播方式授課。其中60人班級(jí)，給學(xué)生分組，每6個(gè)人一組，分為十組，同時(shí)每次課前系統(tǒng)布置好本次課作業(yè)，另外課堂上設(shè)置學(xué)生分享環(huán)節(jié)。

然而在高等數(shù)學(xué)具體教學(xué)過程中，由于其自身的理論特色，授課以板書為主，同時(shí)內(nèi)容相對(duì)較多，在有限的時(shí)間內(nèi)，如何在課堂上把理論知識(shí)有效輸入到學(xué)生的大腦里，逐漸成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中面臨的主要矛盾。因此，在教學(xué)過程中如何有效的化解矛盾，是我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)課程教學(xué)中值得重點(diǎn)探討的問題。作者在該課程的教學(xué)探索中有如下體會(huì)：

一、結(jié)合數(shù)學(xué)文明實(shí)例，促進(jìn)學(xué)習(xí)樂趣

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）[10]。

學(xué)生對(duì)拉氏定理的理解和應(yīng)用卻很困難，因此培養(yǎng)對(duì)這門課的興趣和良好的學(xué)習(xí)態(tài)度是極其重要的，從數(shù)學(xué)文明和課程思政視角拓展數(shù)學(xué)家拉格朗日經(jīng)歷將有助于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)樂趣。

人們對(duì)拉格朗日中值定理的認(rèn)識(shí)可以上溯到公元前古希臘時(shí)代。古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中得到如下結(jié)論：“過拋物線弓形的頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線弓形的底”。作為拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積。

拿破侖稱拉格朗日是數(shù)學(xué)科學(xué)高聳的金字塔，源于他在極短的時(shí)間通過自學(xué)掌握了那個(gè)時(shí)代的全部分析知識(shí)。據(jù)說拉格朗日19歲時(shí)就被任命為都靈炮兵學(xué)院的數(shù)學(xué)教授，到25歲時(shí)，他已經(jīng)步入世界上最偉大的數(shù)學(xué)家行列。然而拉格朗日成長(zhǎng)卻歷經(jīng)坎坷，1736年1月25日出生于意大利的都靈，小拉格朗日在全家十一個(gè)孩子中是最小的，前面的十個(gè)孩子降生不久全部夭折。拉格朗日最喜愛古代語(yǔ)言，數(shù)學(xué)家雷維里在學(xué)校里指導(dǎo)他學(xué)幾何學(xué)，激發(fā)了他的數(shù)學(xué)天賦。他開始閱讀歐幾里得和阿基米德的數(shù)學(xué)著作。古希臘數(shù)學(xué)家的巧妙構(gòu)思，嚴(yán)謹(jǐn)立論和孜孜不倦的精神，贏得了拉格朗日的深深敬仰[1]。

除了事業(yè)有成之外，拉格朗日還是個(gè)癡情的好男人。受邀來(lái)到柏林時(shí)的拉格朗日，三十出頭，正值平步青云的時(shí)候，念念不忘自己的青梅竹馬都靈的小表妹孔蒂。他把小表妹接到柏林，與她完婚。結(jié)婚后，拉格朗日變成了一個(gè)模范的丈夫。妻子體弱多病，他常常一天二十四小時(shí)守護(hù)在妻子身邊。后來(lái)，妻子病重逝世，拉格朗日思念妻子心切，患上了憂郁癥[1]。

通過枯燥的拉格朗日中值定理，數(shù)學(xué)文明視角透視背后偉大的數(shù)學(xué)家的勤奮和癡情等特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)樂趣。

二、分析數(shù)學(xué)文明問題，提升學(xué)習(xí)思維

牛頓-萊布尼茨公式，通常也被稱為微積分基本定理，它揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系，給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，使人們找到了解決曲線的長(zhǎng)度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科[10]。

學(xué)生對(duì)牛頓-萊布尼茨公式的認(rèn)識(shí)和使用卻很局限，因此提升學(xué)習(xí)思維是學(xué)好本課程的關(guān)鍵，從數(shù)學(xué)文明和課程思政視角拓展數(shù)學(xué)家萊布尼茲經(jīng)歷將有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)思維。

萊布尼茨是歷史上少見的通才，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。他本人是一名律師，經(jīng)常往返于各大城鎮(zhèn)，他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的。他在數(shù)學(xué)史和哲學(xué)史上都占有重要地位。在數(shù)學(xué)上，他和牛頓先后獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分，而且他所使用的微積分的數(shù)學(xué)符號(hào)被更廣泛的使用，萊布尼茨所發(fā)明的符號(hào)被普遍認(rèn)為更綜合，適用范圍更加廣泛[1]。

1672年，巴黎科學(xué)院的執(zhí)掌者惠更斯迎來(lái)了雄心勃勃的年輕政治家，萊布尼茨是德意志人，此次來(lái)巴黎，本是承擔(dān)外交任務(wù)，卻結(jié)識(shí)了惠更斯，走上科學(xué)坦途。萊布尼茨開始在惠更斯的指導(dǎo)下，開始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，大師指導(dǎo)之下，數(shù)學(xué)功力更見提高。此后他遍訪名師，與當(dāng)時(shí)一流的科學(xué)家交流學(xué)習(xí)[1]。

通過對(duì)微積分基本定理的理解，數(shù)學(xué)文明視角透視背后數(shù)學(xué)家萊布尼茲的鉆研和謙遜的特征，提升學(xué)生學(xué)習(xí)思維。

三、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文明精神，鍛煉學(xué)習(xí)意志

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜的函數(shù)逼近近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，泰勒公式這種化

繁為簡(jiǎn)的功能，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具利用泰勒公式可以將非線性問題化為線性問題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。泰勒公式可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計(jì)算、不等式證明等方面[10]。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級(jí)數(shù);同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒于書中還討論了微積分對(duì)一系列物理問題之應(yīng)用，他透過求解方程導(dǎo)出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦振問題之先河。此外，他還有其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等[1]。

作為高等數(shù)學(xué)教師，通常面臨學(xué)時(shí)緊、人數(shù)多、工作量大，然而教學(xué)不能只是照本宣科或播放PPT，也不能一味發(fā)表與該課程無(wú)關(guān)的高見，而要通過數(shù)學(xué)文明內(nèi)容使學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過程中不斷滲透數(shù)學(xué)文明及課程思政內(nèi)容，注重培養(yǎng)學(xué)生的樂趣和主動(dòng)，為學(xué)生今后持續(xù)創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

同時(shí)當(dāng)前學(xué)科發(fā)展迅速，學(xué)科交叉融合加深，不同專業(yè)、不同學(xué)生之間的基礎(chǔ)和接受能力個(gè)體差異也較大，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不局限于通過考試，更重要提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以在教學(xué)中遵循興趣、能力、實(shí)踐等共同提高的原則。

綜上所述，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過現(xiàn)實(shí)生活中具體實(shí)例出發(fā)，分析背后的數(shù)學(xué)文明故事，聯(lián)系高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用歸納總結(jié)解決具體問題，并進(jìn)一步回歸到實(shí)際生活中，促進(jìn)興趣，提升思維并鍛煉意志，進(jìn)而形成良性循環(huán)。筆者在教學(xué)高等數(shù)學(xué)課程中深有體會(huì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受偉大數(shù)學(xué)家的歷程并尋找探索的好奇，學(xué)生就會(huì)體會(huì)數(shù)學(xué)的思想和獲得鉆研的樂趣。

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[10]百度百科