基于APOS理論下“弧度制”的教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要：數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要表現(xiàn)，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位。APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)提出的理論。本文結(jié)合APOS理論，以必修4弧度制的概念教學(xué)為例，探討在實(shí)際教學(xué)中如何凸顯概念的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育，提高高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞：APOS理論;概念教學(xué);弧度制;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、APOS理論概述

上世紀(jì)60年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家杜賓斯基等人提出了APOS理論，該理論是對(duì)皮亞杰“自反性抽象”的延伸和拓展。杜賓斯基認(rèn)為，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，如果個(gè)體經(jīng)過(guò)思維的操作、過(guò)程和對(duì)象等幾個(gè)階段后，一般就能在建構(gòu)和反思的基礎(chǔ)上，把它們組織成用以解決問(wèn)題情境的圖式結(jié)構(gòu)[1]。APOS理論主要包括Action（活動(dòng)）、Process（過(guò)程）、Object（對(duì)象）和Scheme（圖式）四個(gè)過(guò)程。

1、第一階段——活動(dòng)（Action）階段

“活動(dòng)”階段是指學(xué)習(xí)者通過(guò)一系列的操作活動(dòng)初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象。教師利用學(xué)生熟悉的生活實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過(guò)觀察、運(yùn)算、實(shí)驗(yàn)、類比、猜想、判斷等一系列活動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。這一階段為數(shù)學(xué)概念的初步形成打好基礎(chǔ)，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)，是完善數(shù)學(xué)概念的前提基礎(chǔ)。

2、第二階段——過(guò)程（Process）階段

“過(guò)程”階段是概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，是學(xué)習(xí)者對(duì)前面活動(dòng)的進(jìn)一步思考，是對(duì)“活動(dòng)”階段的抽象概括。在外在的實(shí)際活動(dòng)和內(nèi)在的思維操作之后，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并對(duì)概念進(jìn)行一般化的概括，是確立數(shù)學(xué)概念的必要準(zhǔn)備，也是學(xué)生概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段。

3、第三階段——對(duì)象（Object）階段

“對(duì)象”階段是指學(xué)習(xí)者對(duì)前面兩個(gè)階段的活動(dòng)進(jìn)行深入地思考，歸納和概括出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，用相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖终Z(yǔ)言描述這一屬性[2]，并進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)化表示，成為一個(gè)具體的對(duì)象，并能夠?qū)⑵渥鳛樾碌臄?shù)學(xué)對(duì)象參與到其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究過(guò)程。

4、第四階段——圖式（Schema）階段

經(jīng)過(guò)前三個(gè)階段，概念此時(shí)作為數(shù)學(xué)對(duì)象，與之相關(guān)的其他數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整合形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，就是“圖式”階段。這一階段是對(duì)概念進(jìn)行綜合的心理加工和整合，在概念間形成實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)逐漸深化，在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐漸體現(xiàn)。

二、基于APOS理論的弧度制概念教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)分析

弧度制的概念是三角函數(shù)的重要概念之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)。由必修一中函數(shù)的定義可知，函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)。而在初中所學(xué)的三角函數(shù)自變量是角，這與學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)產(chǎn)生了矛盾，而弧度制的定義方式則是完美的實(shí)現(xiàn)了角和實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，有效的解決了這一認(rèn)知沖突。然而，教材中對(duì)于弧度制的介紹卻十分簡(jiǎn)單，只是通過(guò)類比引出弧度制，給出1弧度的定義。教師在教學(xué)時(shí)也只是將弧度制作為工具性知識(shí)，一筆帶過(guò)，這都是造成學(xué)生對(duì)弧度制概念理解有困難的原因。基于此，利用杜賓斯基的APOS理論對(duì)弧度制的教學(xué)做如下設(shè)計(jì)。

教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷弧度制概念的形成過(guò)程，理解弧度的意義，并能正確進(jìn)行弧度與角度的換算;

（2）了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;

（3）從初中角度制的弧長(zhǎng)與扇形的面積公式，推算出弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形的面積公式，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

教學(xué)重點(diǎn)：弧度制的定義，弧度制與角度制的換算

教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)習(xí)弧度制的必要性，正確理解弧度制的意義

（二）教學(xué)過(guò)程

1、活動(dòng)階段——情景引入，形成直觀認(rèn)識(shí)

在扳手?jǐn)Q緊螺帽的過(guò)程中，扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)與螺帽的轉(zhuǎn)動(dòng)之間有什么聯(lián)系？

教師提示：將實(shí)際生活情景抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，螺帽從A1轉(zhuǎn)到到B1，扳手的另一端從點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)B，在這個(gè)過(guò)程中，幾何數(shù)量之間具有哪些相等和不等關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：因?yàn)榘馐洲D(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)更大，所以點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)與點(diǎn)A1轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)不相等，兩弧所在圓的半徑也不相等，但點(diǎn)A和點(diǎn)A1轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相等。

設(shè)計(jì)意圖利用學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景引入，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。扳手?jǐn)Q緊螺帽是學(xué)生熟悉的生活體驗(yàn)，但其中蘊(yùn)含的“弧長(zhǎng)與半徑比值為定值”的數(shù)學(xué)元素，是陌生的、抽象的，該階段主要讓學(xué)生初步感受到弧度制度量角的合理性。

2、過(guò)程階段——提問(wèn)設(shè)疑，抽象概念本質(zhì)

問(wèn)題1上圖中扇形A1OB1與扇形AOB相似，即你能證明嗎？

學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)初中學(xué)過(guò)的弧長(zhǎng)公式（其中n是圓心角的角度數(shù)）。在扇形A1OB1中，;在扇形AOB中，，所以。

教師活動(dòng)：在上述證明中，我們不僅可以得到，還發(fā)現(xiàn)，即只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角α確定，也是唯一確定的。

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于弧度制這節(jié)課，大多數(shù)是通過(guò)其他單位制中，例如長(zhǎng)度可以用“厘米”“米”“千米”來(lái)度量，進(jìn)而引入角的新的度量方式——弧度制。這樣的引入并不能使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到弧度制的作用，只是簡(jiǎn)單的將其看做是角的另一種度量形式，就是數(shù)學(xué)中的一種規(guī)定。上述教學(xué)設(shè)計(jì)則是依托具體數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、猜想、求證等過(guò)程，認(rèn)識(shí)到為什么要這樣規(guī)定，以及這么規(guī)定的合理性，讓學(xué)生理解弧度制的本質(zhì)。

3、對(duì)象階段——探究反思，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

問(wèn)題2用α=度量角，角的單位是什么？

問(wèn)題3角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算？分組探究并完成下表

問(wèn)題4任意角都可以用l與r的比值表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)上述幾個(gè)問(wèn)題的探究，學(xué)生在實(shí)際操作中理解兩種度量方式是相通的，進(jìn)而掌握弧度制與角度制之間的互換。并且，角的符號(hào)表示旋轉(zhuǎn)方向，正角、零角、負(fù)角分別用正數(shù)、零、負(fù)數(shù)表示，建立弧度制下角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4、圖式階段——練習(xí)鞏固，建立心理圖式

例4已知扇形的周長(zhǎng)為10，圓心角為3rad，求該扇形的面積

問(wèn)題5通過(guò)本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生經(jīng)過(guò)前面三個(gè)階段的學(xué)習(xí)后，基本建立了如下的心理圖示：弧度制是用弧長(zhǎng)和半徑來(lái)度量角的一種方式，弧度制與角度制之間可以互相轉(zhuǎn)換，弧度制實(shí)現(xiàn)了實(shí)數(shù)與角之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系等。通過(guò)上述例題，鞏固學(xué)生對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí)，正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，掌握弧度制下的弧長(zhǎng)和扇形面積公式，利用弧度制解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。最后由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，并與原有的圖式進(jìn)行整合，建立起綜合的心理圖式。

三、結(jié)束語(yǔ)

APOS教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)需要學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，在“操作階段”感知數(shù)學(xué)、在“過(guò)程階段”抽象數(shù)學(xué)概念、在“對(duì)象階段”歸納數(shù)學(xué)本質(zhì)、在“圖式階段”建構(gòu)知識(shí)體系。這四個(gè)階段也與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密切相關(guān)：弧度制概念的建立，經(jīng)歷了從實(shí)際生活抽象出研究對(duì)象的過(guò)程，以問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生主觀思考與推理，其中也有一些直觀思維的參與，這都吻合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象。

總之，APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有很好的指導(dǎo)意義，要實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)從“灌輸”到“建構(gòu)”的轉(zhuǎn)變，需要教師更多的設(shè)計(jì)與探究，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

參考文獻(xiàn)

[1]周繼云.基于APOS理論的初中函數(shù)教學(xué)研究[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2010.

[2]李琛.基于APOS理論下的對(duì)數(shù)概念教學(xué)現(xiàn)狀探究[D].西安：陜西師范大學(xué)，2018

作者簡(jiǎn)介：李若璕（1993年2月，女，籍貫江西撫州，福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，中學(xué)二級(jí)，華中師范大學(xué)，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)，碩士學(xué)位，研究方向數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)）