摘? 要:以一道高考試題為例,討論運(yùn)算素養(yǎng)涉及的算理,立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,依靠數(shù)學(xué)思想方法,設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算推理路徑. 提高運(yùn)算素養(yǎng)需要在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.“元化”是運(yùn)算素養(yǎng)的思維的起點(diǎn)和手段,一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力,可以從整體上提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力.
關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算;高考試題;基本不等式;函數(shù)與方程
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出,數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段,數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種演繹推理,是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)運(yùn)算的主要表現(xiàn)形式有四個(gè)方面:理解數(shù)和式的有關(guān)算理;能夠根據(jù)法則準(zhǔn)確地進(jìn)行運(yùn)算、變形;能夠根據(jù)條件,尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;能夠通過(guò)運(yùn)算,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推理和探求. 下面結(jié)合2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷理科第23題和數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,筆者談?wù)剬?duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的幾點(diǎn)體會(huì).
題目? 設(shè)[a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.]
(1)證明:[ab+bc+ca<0;]
(2)用[maxa,b,c]表示[a,b,c]的最大值,證明:[maxa,b,c≥43.]
一、理解數(shù)與式,依據(jù)算理解讀其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義
題目條件中給出的是兩個(gè)方程,[a+b+c=0,abc=1,] 其中的三個(gè)變量[a,b,c]在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值,根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則,從3個(gè)數(shù)的和為0、積為1出發(fā),可知其中兩個(gè)數(shù)必須小于0,一個(gè)數(shù)大于0. 由于這三個(gè)量有了范圍,自然可以出現(xiàn)[ab+bc+ca<0]這樣的問(wèn)題. 由于三個(gè)量滿足兩個(gè)關(guān)系,根據(jù)解方程的基本思想得知,其中的兩個(gè)量可以用另外一個(gè)量來(lái)表示,因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成只考慮一個(gè)量為主元的情境,因此第(2)小題要求證[a,b,c]的最大值大于等于[43]也就容易理解了.
二、立足數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,依靠數(shù)學(xué)思想方法設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算推理路徑
1. 對(duì)第(1)小題進(jìn)行討論
思路1:由于[a+b+c=0,abc=1,ab+bc+ca]都是熟悉的輪換對(duì)稱式,如何從已知單項(xiàng)的和構(gòu)建出交叉乘積的和成為解題的關(guān)鍵,聯(lián)想到代數(shù)式的乘積(完全平方)運(yùn)算可以產(chǎn)生交叉乘積項(xiàng),從而解決問(wèn)題.
解法1:因?yàn)閇a+b+c=0,]
所以[a+b+c2=0,]
即[a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0.]
所以[ab+bc+ca=-12a2+b2+c2≤0.]
因?yàn)閇abc=1,]
所以[a≠0,b≠0,c≠0.]
所以上式等號(hào)不成立.
故[ab+bc+ca<0.]
思路2:減少變?cè)?jiǎn)代數(shù)式,根據(jù)式子特征,通過(guò)配方,利用平方的非負(fù)性解決問(wèn)題.
解法2:因?yàn)閇a+b+c=0,]
所以[a+b=-c.]
所以[ab+bc+ca]
[=ab+a+bc]
[=ab-a+b2]
[=-a2+ab+b2]
[=-a+b22-34b2]
[≤0.]
因?yàn)閇abc=1,]
所以[a≠0,b≠0,c≠0.]
所以上式等號(hào)不成立.
故[ab+bc+ca<0.]
思路3:減少變?cè)?jiǎn)代數(shù)式,利用函數(shù)思想,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的問(wèn)題求解.
解法3:因?yàn)閇a+b+c=0,]
所以[a+b=-c.]
所以[ab+bc+ca]
[=ab+a+bc]
[=ab-a+b2]
[=-a2+ab+b2.]
令[fa=-a2+ab+b2.]
顯然關(guān)于a的二次函數(shù)開(kāi)口向下,
判別式[Δ=b2-4b2=-3b2<0,] 即對(duì)應(yīng)的二次方程[fa=-a2+ab+b2=0]無(wú)根.
所以二次函數(shù)[fa=-a2+ab+b2]的最大值小于0.
所以[ab+bc+ca<0.]
思路4:減少變?cè)?jiǎn)成一元函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
解法4:因?yàn)閇a+b+c=0,abc=1,]
所以不妨設(shè)[c>0.]
則[fc=ab+bc+ca=1c+ca+b=1c-c2.]
當(dāng)[c>0]時(shí),顯然關(guān)于c的函數(shù)是減函數(shù),
所以當(dāng)[c≥43]時(shí),[fc≤143-163=-3223<0.](這里先用第(2)小題的結(jié)論.)
所以[ab+bc+ca<0.]
2. 對(duì)第(2)小題進(jìn)行討論
思路1:減少變?cè)?,保留最大的變量,由于條件中的兩個(gè)等式,一個(gè)是三個(gè)數(shù)的和,一個(gè)是三個(gè)數(shù)的積,聯(lián)想到兩個(gè)變量的和與乘積的不等關(guān)系,可以實(shí)現(xiàn)和積互化,從而達(dá)到消去變量的目的. 可以是和向積轉(zhuǎn)換,也可以是積向和轉(zhuǎn)換,進(jìn)而有如下兩種解法.
解法1:因?yàn)閇a+b+c=0,abc=1,]
不妨設(shè)[c>0,b<0,a<0,]
所以[c=-a-b≥2-a-b=2ab=2c,] 當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào).
所以[c3≥4,] 即[c≥43.]
則[maxa,b,c≥43.]
解法2:因?yàn)閇a+b+c=0,abc=1,]
不妨設(shè)[c>0,b<0,a<0.]
所以[1c=ab=4-a-b4≤2-a-b+-a2+-b24=c24.]
當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào).
所以[c3≥4,] 即[c≥43.]
則[maxa,b,c≥43.]
思路2:消去一個(gè)變量,整理方程后發(fā)現(xiàn)方程左邊是二次三項(xiàng)式,將a看為主元,構(gòu)成一個(gè)一元二次方程,利用方程的有解性求解.
解法3:因?yàn)閇a+b+c=0,abc=1,]
不妨設(shè)[c>0,b<0,a<0.]
所以[a+1ac+c=0.]
化簡(jiǎn)得[ca2+c2a+1=0.]
顯然關(guān)于a的一元二次方程[ca2+c2a+1=0]有負(fù)根.
因?yàn)榉匠痰某?shù)項(xiàng)為1,二次項(xiàng)系數(shù)[c>0,]
所以如果有根兩根一定小于0.
所以[Δ=c4-4c≥0.]
因?yàn)閇c>0,]
所以[c3≥4,] 即[c≥43.]
則[maxa,b,c≥43.]
思路3:由于最大的一個(gè)量可以用另外兩個(gè)的和與積來(lái)表示,聯(lián)想到二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,從而構(gòu)造二次方程求解問(wèn)題.
解法4:因?yàn)閇a+b+c=0,abc=1,]
不妨設(shè)[c>0,b<0,a<0,]
所以[a+b=-c,ab=1c.]
所以[a,b]是一元二次方程[x2+cx+1c=0c>0]的兩個(gè)負(fù)根.
所以[Δ=c2-4c≥0.]
所以[c3≥4,] 即[c≥43.]
則[maxa,b,c≥43.]
思路4:從反面分析問(wèn)題,利用反證法求解問(wèn)題.
解法5:因?yàn)閇a+b+c=0,abc=1,]
不妨設(shè)[c>0,b<0,a<0.]
假設(shè)[c<43],
則[c=-a-b≥2-a-b=2ab=2c>243=43.]
與假設(shè)矛盾.
所以[c≥43,]
即[maxa,b,c≥43.]
三、反思和啟示
1. 落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的根基
運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為基礎(chǔ),數(shù)學(xué)運(yùn)算中涉及的一些運(yùn)算概念、法則、定律,以及成立的條件等都是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,在日常教學(xué)中應(yīng)該得到強(qiáng)化. 如果沒(méi)有必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的積累,學(xué)生在解題過(guò)程中就很難進(jìn)行分析與綜合、歸納與演繹、類比與遷移等數(shù)學(xué)思維活動(dòng). 章建躍博士認(rèn)為,數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法為數(shù)學(xué)中深層的基礎(chǔ)知識(shí),為解決問(wèn)題時(shí)的思維策略.
例如,此題中涉及的配方法,要能夠?qū)⒍稳?xiàng)式合理拆分,配成非負(fù)數(shù)之和,要熟悉二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系,能夠通過(guò)它構(gòu)造出二次方程,要清楚一元二次方程的根存在的條件. 再如,對(duì)于基本不等式,[a,b∈][R*,a+b≥2ab,] 當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào),學(xué)生必須清楚其中蘊(yùn)含的三個(gè)方面的內(nèi)涵:一是不等式成立的條件為a,b都是正實(shí)數(shù),因此,要將題目中的量轉(zhuǎn)換成正數(shù)[-a,-b∈R*]才能使用此不等式;二是不等式[a+b≥2ab]的結(jié)構(gòu)形式非常重要,能夠?qū)崿F(xiàn)和與積的轉(zhuǎn)換,但是是不等的轉(zhuǎn)換;三是等號(hào)成立的條件,只有能夠取到等號(hào),結(jié)論才能是[maxa,b,c≥43.]
2. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是培養(yǎng)其運(yùn)算素養(yǎng)的保障
數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)思維和方式觀察、分析世界. 邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式,是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程,有效、有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的基本思想;數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范,與它類比而發(fā)現(xiàn)需要研究的問(wèn)題和方法,是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式. 可見(jiàn),數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的重要性,故培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的保障.
數(shù)學(xué)對(duì)象M稱為n元數(shù)學(xué)對(duì)象, 是因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象M由n個(gè)元完全確定,并且減少這n個(gè)元中的任何一個(gè),數(shù)學(xué)對(duì)象M就不確定. 由此可見(jiàn),數(shù)學(xué)對(duì)象的元及元數(shù)與數(shù)學(xué)對(duì)象的“確定性”之間的關(guān)系,這是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的元及元數(shù)的重要標(biāo)準(zhǔn). 在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象中的元及其之間的關(guān)系和數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn),以及“元化”是解決問(wèn)題的重要手段. 此題的對(duì)象[ab+bc+ca]中有三個(gè)變量,但是這三個(gè)變量由兩個(gè)關(guān)系來(lái)限制,還缺一個(gè)關(guān)系就能確定,“元數(shù)”是1,因此可以化歸到只有一個(gè)可變的主元來(lái)求解,在解法中消去一個(gè)元后,將a看作主元,b看作參數(shù),就自然地形成了關(guān)于a的二次函數(shù)[fa=-a2+ab+b2,] 進(jìn)而用二次函數(shù)求最值的方法解決了問(wèn)題. 對(duì)于第(2)小題同樣將方程[ca2+c2a+1=0]中的a看成主元,就能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)換成一元二次方程有根的問(wèn)題進(jìn)行求解. 正是由于進(jìn)行“元化”處理,才會(huì)有后面利用函數(shù)方程的思想來(lái)解決問(wèn)題,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性.
教學(xué)中要注重利用一題多解的教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力. 周春荔教授指出,一題多解,表明學(xué)生的思路廣闊,使思維的發(fā)散性提高到了一個(gè)更高的層次或理論適用的各種問(wèn)題,要擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍. 羅增儒教授指出,一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,只有在得出兩個(gè)或多個(gè)解法之后,才會(huì)對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)有真正的了解,才能體會(huì)不同的思維所引起的不同運(yùn)算方式,學(xué)生的運(yùn)算能力在不同的思維中得以比較,能夠提升學(xué)生對(duì)常規(guī)習(xí)題的運(yùn)算能力. 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題或?qū)ο髲亩喾矫婵紤]、多角度觀察,將多個(gè)對(duì)象相互聯(lián)系進(jìn)行思考,類比歸納、抽象概括等,從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征和特殊條件,進(jìn)而找到解決問(wèn)題的突破口. 由于學(xué)生的思維品質(zhì)是不同的,一題多解擴(kuò)展了學(xué)生的思維空間,進(jìn)而提升了整體的教學(xué)效果. 就上述題目來(lái)講,題干中給出的是三個(gè)變量,只有兩個(gè)確定的關(guān)系,可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于某個(gè)主元的問(wèn)題求解,這就是問(wèn)題的本質(zhì),消去一個(gè)元或者兩個(gè)元后,可以用函數(shù)方程的思想方法求解. 同時(shí),發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系一個(gè)是和、一個(gè)是積,這是兩個(gè)特殊條件,正好對(duì)應(yīng)于基本不等式中出現(xiàn)的和與積的這種結(jié)構(gòu),進(jìn)而通過(guò)聯(lián)系類比找到新的解法. 從思維的層面來(lái)看,還可以逆向思維,從反面考慮發(fā)現(xiàn)可以利用反證法解決問(wèn)題.
參考文獻(xiàn):
[1]章建躍. 數(shù)學(xué)思維方法[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2015(4):封底.
[2]郭慧清. 元在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2006,45(5):26-29.
[3]周春荔. 數(shù)學(xué)思維概論[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
[4]羅增儒. 解題分析——人人都能做解法的改進(jìn)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1998(7):29-30.
收稿日期:2020-09-19
作者簡(jiǎn)介:汪衛(wèi)先(1972— ),男,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.
中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)2020年12期