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      重視結構不良新題型 培養(yǎng)數(shù)學思維靈活性

      2020-09-10 11:55:22于鶯彬
      中國數(shù)學教育(高中版) 2020年12期
      關鍵詞:新高考數(shù)學思維高中數(shù)學

      摘? 要:結構不良型試題是2020年高考數(shù)學全國新高考試卷中出現(xiàn)的新題型. 對一道結構不良型試題進行分析與反思,提出針對高考復習的合理建議.

      關鍵詞:結構不良;數(shù)學思維;新高考;高中數(shù)學

      2020年山東省高考數(shù)學是第一次以不分文、理科的形式出現(xiàn),試卷堅持對數(shù)學學科基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的高考考查要求,作為第一年文理合卷,貫徹了“低起點,多層次,高落差”的調控策略,發(fā)揮了高考數(shù)學的選拔功能和良好的導向作用. 筆者就全國新高考Ⅰ卷(Ⅱ卷)第17題進行分析,談談自己的體會與反思.

      一、試題分析

      題目? 在①[ac=3],②[csinA=][3],③[c=3b]這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求[c]的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.

      問題:是否存在[△ABC],它的內角[A,B,C]的對邊分別為[a,??b,c],且[sinA=3sinB],[C=π6],??? ?

      注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

      命題立意分析:該題為解答題,分值[10]分,命題立足于正弦定理和余弦定理等必備知識,考查學生的數(shù)學理解能力和數(shù)學探究能力. 此題在題型上進行了調整,設計了開放性的結構不良型的新考試題型. 它的引入既能增強試題條件的開放性,又能引導學生更加注重思維的靈活性及策略的選擇,體現(xiàn)了對學生理性思維、數(shù)學探究能力等的考查.

      該題設計了三個開放性的可選擇條件,并且問題的結論同樣是開放的. 學生容易初步確定問題解決方案,題目中所給的條件涉及正弦函數(shù)值,要考慮正弦定理,將角的關系轉化為邊的關系,代入余弦定理表達式中,得到邊的關系[b=c],再結合所選條件進行求解. 選條件①,將所得到的邊的關系進行聯(lián)立,解方程,就可以確定各邊長;選條件②,根據邊的關系,確定[∠A=2π3],求出[sinA],進而確定各邊長;選條件③,求出三邊或者三角,與條件矛盾,得出結論.

      解:由[C=π6]和余弦定理,得[a2+b2-c22ab=32].

      由[sinA=3sinB]及正弦定理,得[a=3b].

      所以[3b2+b2-c223b2=32]. 所以[b=c].

      選條件①時,

      由[ac=3],得[a=3,b=c=1.]

      因此,選條件①時,問題中的三角形存在,此時[c=1.]

      選條件②時,

      由[b=c],得[B=C=π6],[A=2π3].

      由[csinA=3],得[c=b=23,a=6.]

      因此,選條件②時,問題中的三角形存在,此時[c=23.]

      選條件③時,

      因為[c=3b]與[b=c]矛盾.

      所以,選條件③時,問題中的三角形不存在.

      由以上分析可以看出解答該題有三個關鍵點:由已知條件[sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b];由選擇的方案結合正余弦定理得到一個正確結論;繼續(xù)求出[c]值或者分析出矛盾.

      二、學生答題情況

      考后對班級學生進行調研,從學生的反饋來看,55%的學生思路清晰,能夠由[sinA=][3sinB]及正弦定理得出[a=3b],選擇正弦定理或者余弦定理來解決問題,求出三邊或者三角,根據“兩邊之和大于第三邊”“三角形內角和等于[180°]”“大邊對大角,大角對大邊”判斷是否存在矛盾;或者求出邊、角后研究與已知條件是否存在矛盾,從而判斷問題中的三角形是否存在. 綜觀學生反饋的答題情況,除了因為不重視規(guī)范性答題造成失分以外,筆者認為主要的失誤有以下三個方面.

      其一,沒有掌握正弦定理和余弦定理,不會根據條件恰當選擇正弦定理或余弦定理,實現(xiàn)邊角互化,達到解三角形的目的.

      其二,記錯、記混特殊角的三角函數(shù)值,導致“會而不對”.

      其三,邏輯思維不完整,不知道從哪些角度判斷三角形的存在性,導致“對而不全”.

      三、教學啟示

      2019年12月,教育部考試中心正式發(fā)布了“一核”“四層”“四翼”的高考評價體系,在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基礎上提出了理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探究和數(shù)學文化. 2020年高考是山東、海南實行綜合改革后的第一年高考,數(shù)學不分文理科,2021年又將有八個省實行高考綜合改革,使用新高考試卷. 該題的考查很好地詮釋了試題注重基礎性,通過開放性的題目設置,增強了學生的選擇決策能力和數(shù)學探究能力,突出了理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探究的引領作用,堅持了素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則,體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔和育人導向,落實了立德樹人的根本目標. 根據該題的分析及學生的調研反饋,筆者提出兩點建議.

      1. 應對新題型的建議

      (1)教師要建立對結構不良新題型的認知.

      綜觀數(shù)學教學現(xiàn)狀,在教學中涉及的問題大多是結構良好的. 這些問題條件清晰、目標明確,運用特定的數(shù)學模型就能解決. 在教學中,教師運用大量結構良好的題型進行題海戰(zhàn)術,注重總結問題的規(guī)律. 對定理和概念進行熟練應用,掌握解題的一般模式,學生就可以取得不錯的成績. 但是實際生活中的問題比較復雜、情境化強,往往條件不清晰,目標比較模糊,結構不夠明朗,解決問題的途徑多樣,問題的答案不唯一,這其實就是我們所說的結構不良型問題. 教師應該重視結構不良型問題在教學中的應用,將學生從被動的信息加工者變成主動的問題提出者和解決者.

      (2)提高學生解決結構不良新題型能力的教學策略.

      教師應該在教學中多設計結構不良型問題. 筆者認為應該主要從以下三個方面來設計. 一是結合真實的問題情境,以項目問題的形式,引導學生成為探索者、研究者、學習者,這種項目化教學可以激發(fā)學生的學習熱情,使學生在解決真實問題的過程中學會與他人合作、交流,涉及的知識也不局限于數(shù)學學科知識,促進知識遷移和學科融合,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素質和實踐能力,真正實現(xiàn)“用數(shù)學眼光觀察世界,用數(shù)學思維思考世界,用數(shù)學語言表達世界”. 二是多設計開放性的課堂問題. 例如,在新課講授的過程中,不直接推導定理或者給出問題,而是給出開放性的問題,引導學生思考、探究,讓學生找出新舊知識的內在聯(lián)系,在探究中內化知識,最終轉化為數(shù)學素養(yǎng)和能力. 三是在單元復習中多運用結構不良型問題進行系統(tǒng)、科學的復習. 例如,結合全國Ⅰ卷中的問題,重新構造結構不良型開放題.

      (全國Ⅰ卷·文18)[△ABC]的內角[A,B,C]的對邊分別為[a,b,c]. 已知[B=150°].

      (1)若[a=3c],[b=27],求[△ABC]的面積;

      (2)若[sinA+][3sinC=22],求[C].

      可以嘗試將該題的第(2)小題改編為:在①[ab=][6+2],②[csinA=3],③[c=3a]這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求[c]的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.

      問題:是否存在[△ABC],它的內角[A,B,C]的對邊分別為[a,b,c].[sinA+3sinC=22],且[B=5π6,]????????? ?

      2. 在教學中應該堅持三個注重

      (1)重基礎,規(guī)范解題過程.

      2020年的高考數(shù)學試題盡管形式靈活多變,但是都以基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗為基礎. 因此,在教學中,要以《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)為基礎,圍繞教材,對重點內容強化復習,夯實基礎知識,同時訓練學生規(guī)范解題過程,盡量避免因步驟不全、審題不細、計算失誤造成的失分.

      (2)重教材,挖掘數(shù)學本源.

      教材既是《標準》具體實施的基礎,也是高考命題的源頭活水,高三復習應立足教材、善用教材,對教材實施二次開發(fā). 首先,要重視教材上一些基礎知識的形成過程. 例如,借助單位圓建立一般三角函數(shù)概念形成的過程,體會引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性(對稱性)、單調性和最值等性質;探索和研究三角函數(shù)之間的恒等關系;利用三角函數(shù)模型構建數(shù)學模型,解決實際問題;借助外接圓和向量證明正弦定理和余弦定理等. 高考中的??碱}型都源于這些知識的形成過程. 其次,要加強對教材例題、習題的研究與創(chuàng)新. 通過改編、重組、變式、拓展等方式充分挖掘教材上的典型例題、習題,做到一題多變、一題多解,注重對學生舉一反三能力的培養(yǎng). 最后,要充分挖掘中國文化、生活材料與數(shù)學知識的聯(lián)系. 近年來,高考命題通過與文化背景的結合,增大了試題的閱讀量,體現(xiàn)了對數(shù)學文化的重視.

      (3)重思想,提高數(shù)學能力.

      在對解三角形知識的考查中,我們也看到了對學生數(shù)學思想方法和能力的考查,這部分重點考查轉化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結合等思想,考查學生運算求解的能力和靈活變換的意識. 因此,在教學和復習過程中,教師不僅要重知識傳授,更要重思想滲透和能力發(fā)展,切忌隨意拔高、盲目拓展,要讓學生綜合解決問題的能力在自我感悟中逐漸提高.

      參考文獻:

      [1]于涵. 新時代的高考定位與內容改革實施路徑[J]. 中國考試,2019(1):1-9.

      [2]任子朝. 從能力立意到素養(yǎng)導向[J]. 中學數(shù)學教學參考(上旬),2018(13):1.

      收稿日期:2020-08-01

      作者簡介:于鶯彬(1979— ),女,中學一級教師,青島市教學能手,青島市中小學學科帶頭人,青島市名師,青島市優(yōu)秀教師,主要從事高中數(shù)學教學與實踐研究.

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