黃小龍，陳陽(yáng)舟

(北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部，北京 100124)

領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題是指系統(tǒng)中有一個(gè)(或幾個(gè))智能體充當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者，而其余個(gè)體都為跟隨者智能體，其中領(lǐng)導(dǎo)者具有期望的狀態(tài)軌線且其動(dòng)態(tài)行為不受其他節(jié)點(diǎn)信息的影響.控制目標(biāo)是為跟隨者智能體設(shè)計(jì)基于鄰居信息的分布式協(xié)議，使得所有智能體都能夠漸近跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)態(tài)行為.領(lǐng)導(dǎo)者跟隨結(jié)構(gòu)是在許多生物系統(tǒng)中均存在的節(jié)能機(jī)制，并且其能夠加強(qiáng)群體的通信和導(dǎo)向[1].所以，有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)也受到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注.

文獻(xiàn)[1-2]針對(duì)一類滿足Lipschitz條件的高階非線性多智能體系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的魯棒控制，解決多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)合圍控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[3]研究有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)預(yù)見(jiàn)跟蹤問(wèn)題.文獻(xiàn)[4]在具有輸入時(shí)滯條件下，設(shè)計(jì)了一類滑模觀測(cè)器，能夠在有限時(shí)間內(nèi)為跟隨者發(fā)送領(lǐng)導(dǎo)者的信息.文獻(xiàn)[5]研究了一類含有外部干擾和未建模動(dòng)態(tài)的高階非線性多智能體系統(tǒng)的分布式模糊自適應(yīng)控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者跟隨混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題進(jìn)行了更為詳盡的研究.文獻(xiàn)[7]針對(duì)線性系統(tǒng)，提出了領(lǐng)導(dǎo)者跟隨網(wǎng)絡(luò)中異質(zhì)多智能體系統(tǒng)達(dá)到輸出一致的解決方案，當(dāng)狀態(tài)信息不易直接測(cè)量時(shí)，設(shè)計(jì)了一種基于狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)器來(lái)重構(gòu)狀態(tài).文獻(xiàn)[8]針對(duì)二階非線性系統(tǒng)，采用滑?？刂扑惴?，提出了一個(gè)有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間之內(nèi)達(dá)到狀態(tài)一致性.文獻(xiàn)[9]針對(duì)二階非線性系統(tǒng)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬(wàn)能逼近功能對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行在線估計(jì)和逼近，獲得一個(gè)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)協(xié)議.

本文研究了高階非線性系統(tǒng)的協(xié)同跟蹤控制問(wèn)題.研究基于以下2個(gè)方面：

第一，現(xiàn)有的多智能體系統(tǒng)研究多集中于一階和二階系統(tǒng)，然而，在實(shí)際工程中，單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械手、機(jī)器人編隊(duì)合作和同步發(fā)電機(jī)協(xié)調(diào)工作等是以高階動(dòng)力學(xué)建模的.以協(xié)調(diào)作戰(zhàn)的無(wú)人機(jī)組為例，迫于環(huán)境變化突然改變運(yùn)動(dòng)方向，此時(shí)不但要求位置和速度一致，而且要求加速度協(xié)調(diào)統(tǒng)一.因此，研究此類高階非線性系統(tǒng)不僅具有極為重要的理論價(jià)值，而且也有較強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值[10].

第二，由于外界環(huán)境的干擾及自身系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，導(dǎo)致研究對(duì)象往往具有未知且復(fù)雜的非線性動(dòng)態(tài)，從而很難獲得控制對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，這種非線性動(dòng)態(tài)的存在，系統(tǒng)可能由同構(gòu)向異構(gòu)轉(zhuǎn)變，為非線性系統(tǒng)的協(xié)同控制帶來(lái)困難[11].

針對(duì)上述問(wèn)題，本文針對(duì)Brunovsky型高階非線性多智能體協(xié)同跟蹤控制進(jìn)行了研究.該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)是每個(gè)追隨者節(jié)點(diǎn)都通過(guò)一個(gè)高階積分器耦合未知非線性動(dòng)力學(xué)和未知外部干擾，每個(gè)節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)可以完全不同[12].領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)是一個(gè)高階非自治非線性系統(tǒng)，所有跟隨節(jié)點(diǎn)對(duì)其動(dòng)態(tài)都是未知的.本文提出分布式自適應(yīng)徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，確保神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行在線逼近，以及消除持續(xù)有界擾動(dòng)等不確定項(xiàng)對(duì)穩(wěn)定性的影響，并設(shè)計(jì)出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律，從而最終獲得一個(gè)基于自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)協(xié)議，該方法能夠解決高階非線性不確定多智能體系統(tǒng)的有領(lǐng)導(dǎo)者一致性追蹤問(wèn)題，保證最終有界跟蹤誤差.

本文給出了一種在弱連通的條件下，有領(lǐng)導(dǎo)者的高階非線性不確定多智能體網(wǎng)絡(luò)的一致性協(xié)議，并給出了相應(yīng)的理論論證，通過(guò)例子和數(shù)值仿真都驗(yàn)證了本文提出方法的正確性和有效性.

1 預(yù)備知識(shí)和問(wèn)題描述

1.1 圖論基礎(chǔ)和記號(hào)說(shuō)明

1.2 問(wèn)題描述

考慮由N+1個(gè)智能體組成的系統(tǒng)，其中第i個(gè)智能體具有如下的Brunovsky非線性動(dòng)態(tài)模型：

(1)

系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)者0的動(dòng)力學(xué)行為可描述為

(2)

1){0}?Ωm；

2)?δm(t0)?Ωm；

3)存在上確界Δm和時(shí)間Tm，在?t≥t0+Tm時(shí)，有‖δm‖≤Δm.

對(duì)于智能體i，在t≥t0+Tm時(shí)，如果跟隨誤差是協(xié)同一致最終有界的，則跟隨者狀態(tài)xi,m(t)收斂到領(lǐng)導(dǎo)者x0,m(t)的鄰域內(nèi).

第i個(gè)智能體局部鄰域誤差定義為

(3)

引理1[11，15]定義

q=[q1,q2,…,qN]T=(L+B)-11N

P=diag{pi}=diag{1/qi}

Q=P(L+B)+(L+B)TP

可知P和Q為正定矩陣.

證明：根據(jù)式(3)，進(jìn)一步地，定義多智能體系統(tǒng)全局誤差向量

(4)

根據(jù)假設(shè)1，矩陣L+B是非奇異的.在式(4)中，em=-(L+B)δm，由此可得

δm=-(L+B)-1em

所以

2 自適應(yīng)協(xié)同跟蹤控制器設(shè)計(jì)

對(duì)存在不確定性的領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，采用離線訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)顯然是不合適的.為解決此類問(wèn)題，本節(jié)設(shè)計(jì)了分布式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，采用在線自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣的自適應(yīng)調(diào)整，以解決領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題.

2.1 滑模面函數(shù)設(shè)計(jì)

采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，主要是因?yàn)樵摽刂扑惴ㄔ诒ＷC系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)，還具有快速響應(yīng)的特性.

選取智能體i(i∈N)的滑模面函數(shù)為

ri=α1ei,1+α2ei,2+…+αM-1ei,M-1+ei,M

(5)

系數(shù)α1,α2, …,αM-1滿足以s為自變量的多項(xiàng)式sM-1+αM-1sM-2+…+α1是Hurwitz的.那么如果ri是有界的，則ei也為有界的.進(jìn)一步，隨著ri→0，有ei→0.

定義滑模全局誤差向量為r=[r1,r2,…,rN]T，那么，r=α1e1+…+αM-1eM-1+eM.

(6)

則有

E2=E1ΛT+rlT

(7)

由于Λ是Hurwitz矩陣,給出任何正數(shù)β,存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P1>0，使得李雅普諾夫方程成立，即

ΛTP1+P1Λ=-βIN

(8)

動(dòng)態(tài)滑模誤差r的導(dǎo)數(shù)為

下面引理3表明了ri(i∈N)的最終有界性，則ei也是有界性的.

引理3對(duì)于智能體i(i=1,2,…,N)，假設(shè)

|ri(t)|≤ψi，?t≥t0

|ri(t)|≤ξi，?t≥Tξi

時(shí)間Tξi>t0，上確界ψi>0，ξi>0.存在時(shí)間TΘi>t0，上確界Ψi>0，Θi>0，使得

‖ei(t)‖≤Ψi，?t≥t0

‖ei(t)‖≤Θi，?t≥TΘi

(9)

式(9)的通解為

式中t0為初始時(shí)刻.

由于Λ是Hurwitz矩陣,存在φ>0和λ>0，使得

‖eΛ(t-t0)‖≤φe-λ(t-t0)

成立.進(jìn)一步，結(jié)合‖l‖=1可得

‖ei(t)‖≤φe-λ(t-t0)‖ei(t0)‖+

(10)

從式(10)可以看出，如果ri(t)有界，則‖ei(t)‖<∞，從而得到ei,m(t)對(duì)于所有的m=1,2,…,M都是有界的.因而由方程(5)可得

ei,M(t)=ri-α1ei,1(t)-α2ei,2(t)-…-αM-1ei,M-1(t)

也為有界的.因此，如果ri(t)<∞，那么‖ei(t)‖<∞，即‖ei(t)‖有界.

成立.由εe和εr的任意性可知，當(dāng)t→∞時(shí)，有‖ei(t)‖→0成立，由此得到ei,m(t)→0對(duì)于所有m=1, 2，…，M-1成立.因而由方程(5)可得ei,M(t)=ri-α1ei,1(t)-α2ei,2(t)-…-αM-1·ei,M-1(t)→0.綜上，當(dāng)ri(t)→0時(shí)有ei(t)→0成立.引理得證.

注1從式(10)可以看出：較大的λ值會(huì)導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)xi以較快的速率收斂到零.注意到λ的值取決于式(6)中的系統(tǒng)矩陣Λ，而Λ又與ri系數(shù)相關(guān).因此，可以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)南禂?shù)α1,α2,…,αM-1, 得到令人滿意的系統(tǒng)收斂速率.

2.2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近未知函數(shù)f(·)

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近未知函數(shù)f(·)，隱含層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出為

式中：j=1,2,…,vi，vi為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；j為方差.

網(wǎng)絡(luò)的輸出由加權(quán)函數(shù)

對(duì)未知函數(shù)fi(t,xi)進(jìn)行逼近，采用系統(tǒng)狀態(tài)xi,1(t)，xi,2(t)，…，xi,M(t)作為網(wǎng)絡(luò)的輸入，網(wǎng)絡(luò)輸出為

式中第i個(gè)智能體的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)權(quán)值為i(t)∈vi.

定義最優(yōu)權(quán)值矩W=blkdiag{W1,W2,…,WN},估計(jì)權(quán)值=blkdiag{1,2,…,N},逼近誤差ε=[ε1,ε2,…,εN]T,徑向基函數(shù)向量可得全局非線性函數(shù)f(·)具有如下的形式:

f(x)=WTφ(x)+ε

(11)

f(x)的估計(jì)值為

(x)=Tφ(x)

(12)

2.3 分布式控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)每個(gè)智能體i分布式控制律ui和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值自適應(yīng)律做如下假設(shè).

2.3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值自適應(yīng)律

設(shè)計(jì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值自適應(yīng)律為

(13)

可寫成如下的簡(jiǎn)潔向量形式：

(14)

2.3.2 多智能體系統(tǒng)分布式控制協(xié)議

較大的外界擾動(dòng)需要較大的切換增益，引起系統(tǒng)的抖振，控制協(xié)議采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)滑模控制進(jìn)行補(bǔ)償，為解決這一問(wèn)題提供了有效的途徑.

根據(jù)2.2節(jié)介紹，每個(gè)智能體i使用隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為vi，設(shè)計(jì)每個(gè)智能體i分布式控制協(xié)議

i(xi)+kri

(15)

分布式控制協(xié)議可等價(jià)地寫成簡(jiǎn)潔向量形式

u=-(D+B)-1ρ-(x)+kr

(16)

控制增益滿足

(17)

當(dāng)m=1，2時(shí)，多智能體網(wǎng)絡(luò)退化成2種特殊情形：一階系統(tǒng)和雙積分系統(tǒng).

特別注意的是，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值自適應(yīng)律式(13)和分布式控制協(xié)議式(15)適用于第i個(gè)智能體.

2.4 自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1考慮N個(gè)跟隨者式(1)和一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者0式(2)組成多智能體系統(tǒng)，假設(shè)1～4皆成立，使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值自適應(yīng)律式(13)和分布式控制協(xié)議式(15)，得到如下結(jié)果:

2)所有狀態(tài)xi(t)是有界的.

證明：構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(18)

首先對(duì)V1(t)求導(dǎo)數(shù)，有

rTP[ρ-(L+B)(f+d+u-f01N)]

(19)

將式(16)代入式(19)，并考慮式(11)(12)和L=D-A，得

+kr-f01N)]=

rTPρ-rTP(L+B)(ε+d-f01N)-krTP(L+B)r-

-rTP(L+B)(ε+d-f01N)-

rTPA(D+B)-1ρ

對(duì)V3(t)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得

(20)

將式(7)代入式(20)，并考慮式(8)，得

因此

(21)

根據(jù)2.3.2節(jié)對(duì)γ、h和g的定義，式(21)可化為

(22)

系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定的條件是Vz(z)為正定函數(shù)，即滿足下面2個(gè)條件：

1)矩陣Ξ是正定的；

為了檢驗(yàn)矩陣Ξ的正定性，可對(duì)各順序主子行列式校驗(yàn)其是否大于0，即

β>0

βκ>0

解上述不等式，可得式(17)的條件.

易知‖ω‖1>‖ω‖，如果‖z‖≥Bd，上述條件2成立，可求得

因此，條件1和2皆滿足，最終得到

Vz(z)是連續(xù)正定函數(shù).

根據(jù)二次正定函數(shù)(18)，可以得到不等式

(23)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]定理4.10，存在有限時(shí)間T0，得到‖z(t)‖是有界的，滿足關(guān)系

3 數(shù)值仿真

3.1 同構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性

4個(gè)跟隨者具有如下的三階不確定非線性多智能體系統(tǒng)：

假設(shè)非線性函數(shù)fi的數(shù)學(xué)表達(dá)式與領(lǐng)導(dǎo)者相同，即

f(t,xi(t))=

-sinxi1-0.25xi2+1.5cos(2.5t)

領(lǐng)導(dǎo)者具有式(2)的動(dòng)力學(xué)方程，其中，f0=-sinx01-0.25x02+1.5cos(2.5t).

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)G中第i個(gè)智能體，假設(shè)其包含外界擾動(dòng)和傳感器噪聲等不確定性項(xiàng)統(tǒng)一建模為0.01sint.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為7個(gè)，網(wǎng)絡(luò)的初始值為0，高斯函數(shù)參數(shù)設(shè)置為

多智能體系統(tǒng)初始狀態(tài)信息為

三階系統(tǒng)的所有智能體的各階狀態(tài)軌跡如圖2～4所示，4個(gè)同構(gòu)跟隨者的位置狀態(tài)都漸漸逼近領(lǐng)導(dǎo)者0的位置狀態(tài)，即實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性.

3.2 異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性

為了說(shuō)明所提協(xié)議能夠應(yīng)用于異構(gòu)多智能體系統(tǒng)，考慮如下4個(gè)智能體：

假設(shè)非線性函數(shù)fi的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

f1(t,x1(t))=-sinx11-0.2x12+2cos(2.5t)；f2(t,x2(t))=-1.2sinx21-0.25x22；f3(t,x3(t))=-0.8sinx31-0.25x32+cos(3t)；f4(t,x4(t))=x41-0.25sinx42

控制器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的初始狀態(tài)、不確定項(xiàng)di(t)、領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)模型皆與3.1節(jié)相同.三階系統(tǒng)所有智能體的各階狀態(tài)軌跡如圖5～7所示，4個(gè)異構(gòu)跟隨者的位置狀態(tài)都漸漸逼近領(lǐng)導(dǎo)者0的位置狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)的一致性.

上述仿真結(jié)果表明，在設(shè)計(jì)控制協(xié)議作用下，系統(tǒng)跟隨者狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換流形，從而所有智能體的各階狀態(tài)都能相應(yīng)地收斂到一起,即

從而驗(yàn)證了定理的正確性.通過(guò)同質(zhì)和異質(zhì)多智能體系統(tǒng)仿真比較，驗(yàn)證了所提出的自適應(yīng)一致性協(xié)議不僅適用于同質(zhì)多智能體系統(tǒng)，也可應(yīng)用于異質(zhì)多智能體系統(tǒng).

另外，從狀態(tài)軌跡圖可知，在不改變領(lǐng)導(dǎo)智能體的初始條件下，利用牽制控制技術(shù)，將領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)信息傳遞給跟隨者，而異質(zhì)跟隨智能體通過(guò)控制輸入，能夠逼近同質(zhì)跟隨智能體的狀態(tài).

注3針對(duì)系統(tǒng)中存在外界擾動(dòng)和不確定項(xiàng)問(wèn)題，目前主要有魯棒控制方法和狀態(tài)觀測(cè)器方法.采用魯棒控制對(duì)外界擾動(dòng)有一定抑制作用，但不能有效地消除外界擾動(dòng)對(duì)一致性的影響，如文獻(xiàn)[19].目前較為常用的方法是采用狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)多智能系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)來(lái)補(bǔ)償未知項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)多智能體的一致性，而且設(shè)計(jì)的是針對(duì)線性系統(tǒng)[20].本文針對(duì)高階非線性不確定多智能體系統(tǒng)展開(kāi)研究，對(duì)系統(tǒng)中非線性部分采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近，設(shè)計(jì)滑?？刂破鲗?duì)外界擾動(dòng)進(jìn)行了補(bǔ)償，使多智能體實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定，從而實(shí)現(xiàn)了領(lǐng)導(dǎo)者跟隨者一致性問(wèn)題.

4 結(jié)論

1)為克服文獻(xiàn)[8]需要已知非線性項(xiàng)和不確定項(xiàng)上界，本文引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行逼近，同時(shí)抑制系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)的魯棒性能.

2)理論結(jié)果表明，Brunovsky型高階非線性智能體系統(tǒng)達(dá)到一致性所需要的有限時(shí)間不僅取決于所設(shè)計(jì)算法的相關(guān)控制參數(shù)和信息拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而且取決于多智能體的初始狀態(tài).

3)仿真結(jié)果證明了所提出的分布式RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的自適應(yīng)滑?？刂扑惴ú粌H可以有效處理未知甚至異構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)，而且具有良好的抗干擾能力，保證了系統(tǒng)跟蹤誤差收斂.

4)在弱連通的條件下，使用牽制控制技術(shù)來(lái)定位網(wǎng)絡(luò)G中的相關(guān)節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)智能體和跟隨智能體之間信息交互，有效地解決了Brunovsky型高階非線性智能體系統(tǒng)的協(xié)同跟蹤控制問(wèn)題.