“另類” 的裂項(xiàng)相消法

洪汪寶

(安徽省安慶市第一中學(xué) 246004)

在近幾年的一些考試中，除了考查上述常見的裂項(xiàng)相消，還出現(xiàn)了不少“另類”的裂項(xiàng)相消，體現(xiàn)了命題老師的一種創(chuàng)新.而對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，創(chuàng)新制造了不小的麻煩，對(duì)學(xué)生的思維能力和應(yīng)變能力要求較高.實(shí)際上在利用裂項(xiàng)相消法時(shí)，關(guān)鍵要抓住通過(guò)裂項(xiàng)達(dá)到相消求和的目的.下面舉例說(shuō)明，以期拋磚引玉.

分析將分母由兩個(gè)因式改為三個(gè)因式，但裂項(xiàng)時(shí)仍然將一項(xiàng)裂開為兩項(xiàng)，注意正負(fù)號(hào)和系數(shù)，達(dá)到相互抵消的目的.

解由分析知

于是當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

變式求數(shù)列{n·n!}的前n項(xiàng)和Sn.

解由n·n!=(n+1)!-n!得

Sn=1×1!+2×2!+3×3!+…+n·n!=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.

分析分母的次數(shù)升高了，但仍然將n2(n+2)2看成兩個(gè)因式n2與(n+2)2相乘，形式相同，考慮裂項(xiàng)，要注意系數(shù).

例5 求數(shù)列{tann·tan(n+1)}的前n項(xiàng)和Sn.

A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {1,2} D. {0,2}