員相偉

摘要：從古希臘時(shí)期開(kāi)始，數(shù)學(xué)就被賦予了濃郁的邏輯和理性色彩。隨著柏拉圖主義與基督教的結(jié)合，在西方文化中，數(shù)學(xué)知識(shí)便成為了絕對(duì)性、確定性和永恒性的真理的典范，是形而上學(xué)哲學(xué)的堅(jiān)實(shí)根基之一。但自十九世紀(jì)以來(lái)，因?yàn)閿?shù)學(xué)自身的發(fā)展，數(shù)學(xué)作為神性化形而上學(xué)的真理性知識(shí)的地位逐漸開(kāi)始瓦解，一場(chǎng)深刻持久的數(shù)學(xué)真理觀(guān)念變革拉開(kāi)了序幕。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)理性地位的研究，使人認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程也是自我革新的過(guò)程。數(shù)學(xué)的這種自我革新的能力也是人類(lèi)不斷加深自身認(rèn)識(shí)的必要途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);真理觀(guān)

數(shù)學(xué)依賴(lài)一種特殊的方法去達(dá)到它驚人而有力的結(jié)果。即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理。它的實(shí)質(zhì)是，若公理為真，則可以保證由其演繹出來(lái)的結(jié)論必然為真。通過(guò)應(yīng)用這些看起來(lái)清晰、真確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出毋庸置疑、無(wú)可辯駁的結(jié)論。正是通過(guò)將數(shù)學(xué)的這套邏輯推理體系與恰當(dāng)?shù)睦碚撃Ｐ徒Y(jié)合了起來(lái)，才使得建立在對(duì)現(xiàn)象的歸納基礎(chǔ)上的科學(xué)理論取得了確定性的推理能力。簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是因?yàn)閿?shù)學(xué)的作用，讓所謂的自然定律看起來(lái)似乎與數(shù)學(xué)真理一樣絕對(duì)可信。因此，在經(jīng)典物理學(xué)的時(shí)代，人們開(kāi)始普遍的相信數(shù)學(xué)能夠牢固的把握宇宙的所作所為，能夠瓦解玄妙并代之以秩序和規(guī)律。人們開(kāi)始自信的宣稱(chēng)自己已經(jīng)掌握了宇宙的許多秘密（實(shí)際上只是一系列的數(shù)學(xué)定理）。

但到了十九世紀(jì)，一系列數(shù)學(xué)知識(shí)的新進(jìn)展，諸如極限論和實(shí)數(shù)理論，非歐幾何，哈密爾頓的四元數(shù)和伽羅瓦的群論等數(shù)學(xué)新知識(shí)的出現(xiàn)，以及羅素悖論、康托爾悖論等一系列關(guān)乎集合論的完備性和邏輯一致性的悖論的接踵而至，都開(kāi)始從整體上動(dòng)搖以形而上學(xué)為基調(diào)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)真理觀(guān)念和思想體系。就在以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派和以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派試圖克服上述的種種困難，以期將數(shù)學(xué)的新發(fā)展和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系相融合，重新建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí)，誕生了在數(shù)學(xué)史和邏輯學(xué)史上具有里程碑意義的“哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ怼?。該定理表明被?shù)學(xué)家們所倚重的公理化和形式化有其內(nèi)在的局限性。不可能一勞永逸地構(gòu)建一套公理化系統(tǒng)來(lái)重建數(shù)學(xué)的確定性基礎(chǔ)。這意味著對(duì)于公理有了選擇的可能，數(shù)學(xué)家們?cè)谌绾慰创胬砑爸R(shí)的可靠性方面已不再有完全一致的見(jiàn)解。

以幾何學(xué)為例。對(duì)于經(jīng)典的歐幾里得幾何學(xué)，其核心的五條公理在很長(zhǎng)的時(shí)間里還沒(méi)有人懷疑過(guò)它們的物理真實(shí)性，它們被認(rèn)為是明顯的真實(shí)和有效的。但到了19世紀(jì)的時(shí)候，還是有人對(duì)這五條公理的真理性提出了質(zhì)疑，尤其是其中的第五條公理，即著名的平行線(xiàn)公理。這條公理是這樣的：“給一條直線(xiàn)和線(xiàn)外的一點(diǎn)，在由該給定直線(xiàn)和點(diǎn)所決定的平面上有而且僅有一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)而與給定直線(xiàn)不相交”。很多的人開(kāi)始反對(duì)將這個(gè)事實(shí)作為一條公理引入，因?yàn)樗瓷先ゲ幌褚粭l公理應(yīng)當(dāng)具有的那樣不證自明的特性，為了避免引入這條公理，有人采用了一種巧妙的方法，即將這條公理改為兩種與之相反的形式，即，一、過(guò)定點(diǎn)可作多一條直線(xiàn)與給定直線(xiàn)不相交;二、過(guò)定點(diǎn)不能做出直線(xiàn)與給定直線(xiàn)不相交。并且將這兩條公理之一代替歐幾里得幾何學(xué)中的平行線(xiàn)公理，去聯(lián)同其余的四條公里去推導(dǎo)定理。這些人期望這樣肯定會(huì)得到大量相互矛盾的定理，而這將會(huì)進(jìn)一步的證明代換進(jìn)去的公理是錯(cuò)誤的。這樣最后一步的推理就是，如果僅有的兩個(gè)可能的不同說(shuō)法都導(dǎo)致了矛盾，則歐幾里得的命題必然是正確無(wú)誤的（盡管看起來(lái)并不是那么自明）。

但不幸的是采用的這兩個(gè)不同的公理并沒(méi)有到處任何的矛盾，這也就意味著我們得到了兩種全新的幾何學(xué)，并且這兩種幾何學(xué)有著和經(jīng)典的歐式幾何學(xué)一樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。這是有人可能要說(shuō)，這種建立純粹的數(shù)學(xué)演算基礎(chǔ)上的幾何學(xué)怎么看都像是一種數(shù)學(xué)游戲，它們?cè)趯?shí)際的應(yīng)用中是否能和久經(jīng)考驗(yàn)的歐幾里得幾何學(xué)相媲美？答案是，若把這些新的幾何學(xué)應(yīng)用于自然界，在當(dāng)時(shí)的測(cè)量所能確定的精度下，其結(jié)構(gòu)是同歐式幾何學(xué)一樣精確的（這是高斯在大地測(cè)量學(xué)中的偉大貢獻(xiàn)）。

就這樣數(shù)學(xué)家們被迫面對(duì)這樣一個(gè)問(wèn)題，“這些幾何學(xué)，歐式的和非歐式的，究竟哪個(gè)是自然界的真理？沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)可以指明哪一個(gè)比另一個(gè)更合適?？墒呛脦讉€(gè)互相根本不同的幾何學(xué)不可能都是真實(shí)的，這是不符合邏輯的。數(shù)學(xué)家們慢慢地勉強(qiáng)領(lǐng)悟了其中的真諦，即哪一種幾何學(xué)都沒(méi)有理由使人相信是真實(shí)的。

就這樣，如果作為數(shù)學(xué)的基本分支之一的歐幾里得幾何學(xué)都不必須是真實(shí)的，數(shù)學(xué)家們應(yīng)當(dāng)重新考慮他們對(duì)所有數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解是不是有問(wèn)題。他們?cè)?jīng)相信自己是從自然界中顯現(xiàn)的真理出發(fā)，并運(yùn)用推理演繹出有關(guān)自然界進(jìn)一步的真理。然而非歐幾何的教訓(xùn)在于：人們過(guò)去膚淺的挑選了有關(guān)自然界的一些似乎是正確的事實(shí)作為公理并演繹出一批結(jié)論，而這些結(jié)論又碰巧可以被應(yīng)用。確實(shí)可能從完全不同于原先的歐幾里得的斷言出發(fā)而仍然獲得有用的結(jié)果。這對(duì)于根植于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中的理性主義是一個(gè)強(qiáng)烈的打擊。顯然數(shù)學(xué)是人的創(chuàng)造，它是人工的。無(wú)論其公理或由次推出的定理那都是由人寫(xiě)進(jìn)宇宙的 。數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性已經(jīng)開(kāi)始喪失。

如果說(shuō)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)摧毀了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的神秘主義堡壘，那么從十九世紀(jì)中葉以來(lái)所發(fā)生的數(shù)學(xué)革命所摧毀的是整個(gè)西方近代科學(xué)哲學(xué)所依賴(lài)的形而上學(xué)思想體系。這意味著西方自古希臘、文藝復(fù)興和近代科學(xué)誕生以來(lái)所取得的巨大的精神財(cái)富和思想成就面臨著被重新估計(jì)、重新審視的境地。面對(duì)出人意料的成就和令人焦躁不安的危機(jī)，那些固守傳統(tǒng)信念的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，尤其是在柏拉圖主義者和概念實(shí)在論者那里，產(chǎn)生了西方文化史上最嚴(yán)重的理性主義信仰危機(jī)。在表明其最終哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)的《我的哲學(xué)發(fā)展》一書(shū)中，羅素清楚地表明其對(duì)數(shù)學(xué)的悲觀(guān)看法：“一直以來(lái)，我希望在數(shù)學(xué)中找到的絕對(duì)的確定性消失在一個(gè)令人迷惑的迷宮中了……它卻是一個(gè)復(fù)雜的概念的迷宮?！钡珎鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)家的沮喪并不意味著數(shù)學(xué)知識(shí)失去了其認(rèn)識(shí)自然和描述自然的有效性。事實(shí)恰恰相反，近現(xiàn)代以來(lái)幾乎每一次的科學(xué)革命，都與數(shù)學(xué)的發(fā)展和革新緊密相關(guān)，例如廣義相對(duì)論之于非歐幾何，四維空間理論之于漢密爾頓四元數(shù)，量子力學(xué)理論之于伽羅瓦群論。

參考文獻(xiàn)

[1] Morris Kline主編：《現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué)》，齊友民等譯，上海教育出版社，2004年。

[2] M·克萊因：《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》，李宏魁譯，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2001年。

[3] Ivar Ekeland：《最佳可能性世界——數(shù)學(xué)與命運(yùn)》，馮國(guó)蘋(píng)、張端智譯，科學(xué)出版社，2012年。