基于鞍點逼近的投資組合極端風險貢獻度測度

范 琪， 秦學志， 王 麟， 宋 宇

(大連理工大學 經(jīng)濟管理學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

投資組合風險管理意在通過對資產(chǎn)的配置以及對風險的預警和防范，減少投資組合的潛在損失。在過去幾年我國金融市場資產(chǎn)價格高波動的背景下，有必要探析投資組合風險波動不定的深層次原因。

風險價值VaR(value at risk)、條件風險價值CVaR(conditional value at risk) 或期望損失ES(expected shortfall)等是目前廣泛使用的風險度量指標。VaR能提供某個置信度下的可能風險，CVaR或ES能表征超出某個置信度的可能風險。若需要度量投資組合中每種資產(chǎn)對組合總風險的貢獻度，則需要對它們進一步改進和完善。即通過對風險指標分解，來度量各資產(chǎn)、組合對總風險的貢獻，藉此用于風險預警、防范和資產(chǎn)配置等。

將投資組合中每種資產(chǎn)對總風險的貢獻稱為風險貢獻度。其中常見的定義是資產(chǎn)配置的微小變化對投資組合總體風險的敏感性(如，Litterman[1], Tasche[2],和Hallerbach[3],。Litterman揭示了風險貢獻度的優(yōu)點并繪制了整體風險來源的幾何形態(tài)，不過他沒進一步對風險貢獻度進行分解；Lee和Lam[4],等提出風險貢獻度和風險貢獻比的概念，并實際應用于風險管理和風險預算以及資產(chǎn)分配與投資組合管理領域；Menchero和Hu[5],提出將風險貢獻度分解為波動性和相關性，但沒進一步研究波動性和相關性，也沒將風險貢獻度付諸應用；Nil[6],研究了基于風險價值()的歷史數(shù)據(jù)法表征風險貢獻度，方法雖簡便，但應用于實際測算時存在諸多問題。

值得關注的是，Martin等[7],通過鞍點估計測算了每種資產(chǎn)對組合的風險貢獻度，并進行了實證研究；在Martin研究基礎上，Muromachi[8],通過假設投資組合中各資產(chǎn)條件獨立，提出了一個新的風險評估框架，但所計算出的風險貢獻度準確性尚不夠高。鑒于上述研究現(xiàn)狀和不足，本文進一步優(yōu)化了基于鞍點逼近的風險貢獻度模型。為了驗證新方法的有效性，分別采用了鞍點逼近模型和歷史數(shù)據(jù)法對投資組合的風險貢獻度進行了建模和實證分析。

本文結(jié)構(gòu)如下：首先對研究現(xiàn)狀進行梳理。第一部分對風險貢獻度的含義進行刻畫。第二部分構(gòu)建了基于鞍點逼近的風險貢獻度模型。第三部分采用我國股票市場股票數(shù)據(jù)，分別基于鞍點逼近模型和歷史數(shù)據(jù)法進行了實證研究，據(jù)此度量了我國股市的風險。最后得出結(jié)論。

1 風險貢獻度的基本測度模型

記X為在時刻T投資組合收益率的隨機變量，以FX(x)表示其分布函數(shù)，fx(x)表示其密度函數(shù)。本文中，X的100α分位數(shù)表示為Qx(α),0<α<1, 則

QX(α)=inf{x|Fx(x)≥α}

(1)

如果FX(x)是關于x的嚴格遞增函數(shù)，則QX(α)=x,其中滿足Fx(x)=α。

記c是參考值，如c為投資組合t時刻的平均收益率，則VaR在置信水平α下可定義為

VaRX(α)=c-QX(1-α)

(2)

以RCj表示資產(chǎn)j在投資組合中的風險貢獻度，定義如下：投資組合總風險Rp相對于aj的微小變化的敏感性?RP/?aj，再乘以aj，即

(3)

其中，RP可以是標準差、VaR或CVaR等。

(4)

Tasche對采用來表征風險貢獻度的必要條件進行了推證，即，如果資產(chǎn)j在置信度α下的VaR風險貢獻度存在，可表示如下:

(5)

遺憾的是，式(5)很難給出解析解，為此現(xiàn)有研究廣泛采用歷史數(shù)據(jù)法: 假設未來的收益分布依賴過去時期的收益分布，即通過歷史收益來估計組合的未來潛在收益分布及風險大小，進而求出相應的風險貢獻度。

上述方法存在一定的局限。歷史數(shù)據(jù)法主要適用于存在數(shù)據(jù)量較大且持有期較短的情況，但是即使持有期短、觀測數(shù)據(jù)很多，對風險價值和極端情況下的風險貢獻度的估計仍由處于分布尾部相對少量的觀測值決定，因此估計的準確性仍難以保證。

2 鞍點逼近模型

2.1 對一般分布函數(shù)和密度函數(shù)的估計

假設投資組合中單個資產(chǎn)的收益率服從獨立同分布。對于資產(chǎn)j的收益率采用鞍點逼近方法，得到投資組合收益率的密度函數(shù)和分布函數(shù)近似表示。

Xj(t)的矩母函數(shù)MXj(s)可表示為

(6)

投資組合收益率X(T)的矩母函數(shù)可表示為

(7)

根據(jù)定義，投資組合收益率X(T)的生成函數(shù)為

KX(s)=logMX(s)

(8)

通過Fourier逆變換，投資組合密度函數(shù)可表示為

(9)

其中γ為一個趨于無窮小的實數(shù)。因此，為了便于計算，本文使用鞍點逼近方法。通過鞍點估計[11]，可得

(10)

通過使用Edgeworth展開公式漸進展開，得到關于投資組合收益率的分布函數(shù)估計[12]:

(11)

2.2 對投資組合風險貢獻度的表示

若FX(x)對aj可微的，則

(12)

進而得到：

(13)

c是參考值，如果c對aj可微的，根據(jù)式(13)可以得到投資組合中資產(chǎn)j風險貢獻度表達式：

(14)

3 實證研究

3.1 投資組合VaR及風險貢獻度的計算

2012年8月，為反映房地產(chǎn)行業(yè)股票的收益表現(xiàn)，向市場提供細分的行業(yè)投資標的，國證房地產(chǎn)指數(shù)以巨潮行業(yè)分類標準為基礎，選取A股市場上歸屬于房地產(chǎn)行業(yè)的規(guī)模和流動性突出的50只股票作為樣本股。查詢從2014年1月至2016年3月國證房地產(chǎn)指數(shù)數(shù)據(jù)，萬科A(15.684%)、保利地產(chǎn)(7.719%)和招商蛇口(4.956%)三支股票在國證房地產(chǎn)指數(shù)中一直占很高權重。從國證房地產(chǎn)指數(shù)選取權重可知，這三支股票對房地產(chǎn)行業(yè)具有一定的代表性。

因此，本文選擇上述三支股票，使用鞍點逼近模型和歷史數(shù)據(jù)法測算投資組合的和對應的風險貢獻度，并與實際結(jié)果比較。

假設所選三支股票組成一個投資組合，組合中三支股票所占比例與單只股票市值有關，即為單支股票的年均市值。招商地產(chǎn)在2015年4月3日因宣布“籌劃重大事項”而停牌，同時萬科A股在2015年12月份因被惡意收購而停牌。所以本文選擇對2015年4月2日的數(shù)據(jù)進行估計。同時，因股票一年的交易日是250天，所以本文使用2014年3月25日至2015年4月1日共250個數(shù)據(jù)作為分析基礎。使用鞍點逼近模型和歷史數(shù)據(jù)法測算2015年4月2日三支股票所組成投資組合所對應的及風險貢獻度，并與2015年4月2日三支股票所組成投資組合的對應結(jié)果進行比較，得出最適用模型。

表1列出了2015年4月2日兩種方法三種置信度下所測算投資組合的VaR和對應風險貢獻度的結(jié)果，從中可以看出，所有模型測算的VaR都大于真實值，可知所有模型都不會低估風險。所以，如果歷史數(shù)據(jù)缺乏，可使用鞍點逼近模型計算投資組合風險價值VaR，這對極端風險的識別與謹慎規(guī)避具有重要意義。表2列出了兩種方法三種置信度下每種資產(chǎn)的風險貢獻度測算情況與實際情形比較(偏差)，并計算了整個投資組合偏差。由表2可知：除外α=95%，鞍點逼近法的精度大于歷史數(shù)據(jù)法的精度，若進一步考慮歷史數(shù)據(jù)缺乏或很難獲取情況下鞍點逼近模型的優(yōu)異表現(xiàn)，可以認為鞍點逼近模型測算結(jié)果具有較強的代表性。同時比較α三種取值下投資組合VaR值和投資組合風險貢獻度偏差可知，當α=95%時，無論是鞍點逼近法或者歷史數(shù)據(jù)法，所得結(jié)果都最可靠。

表1 2015年4月2日風險貢獻度和VaR的估計值

表2 估計結(jié)果與實際值的精度比較

3.2 基于歷史情景法的壓力測試

上述實證分析日期為2015年4月2日，當日上證綜指的漲跌幅是0.41%，國證房地產(chǎn)指數(shù)的漲跌幅是-0.45%，屬輕微震蕩。但是，20多年來我國股市歷經(jīng)多次大震蕩大調(diào)整。特別是2015年，滬指暴跌42.7%，各方損失慘重。因此對極端情況下鞍點逼近模型可靠性分析極為重要。本文測試了上證綜指和國證房地產(chǎn)指數(shù)出現(xiàn)極端暴跌情況下投資組合的VaR和風險貢獻度。

對漲跌幅的選擇：分別收集上證綜指和國證房地產(chǎn)指數(shù)2012年8月至2015年12月漲跌幅數(shù)據(jù)進行排序分析，考慮投資組合三類資產(chǎn)數(shù)據(jù)的有效性，選擇此時間段內(nèi)上證綜指最大跌幅8.49%和國證房地產(chǎn)最大跌幅8.75%為極端情景,進行壓力測試。

表3列出了在上證綜指和國證房地產(chǎn)指數(shù)出現(xiàn)極端跌幅下投資組合的實際損失值和風險貢獻度以及鞍點逼近模型在三種α置信水平下所測算出投資組合的VaR和風險貢獻度。比較投資組合VaR值可知，即使在極端情況下，模型所測出的VaR也不會出現(xiàn)低估情況。表4列出鞍點逼近模型三種置信度下每種資產(chǎn)風險貢獻度測算情況與實際情形的偏差，并計算了投資組合的偏差。通過投資組合偏差可知：當上證綜指和國證地產(chǎn)指數(shù)出現(xiàn)劇烈震蕩時，鞍點逼近模型所計算結(jié)果偏差小于10%，應屬合理誤差范圍內(nèi)。且當置信度α=95%時，所得結(jié)果相對實際值偏差最小。同時，投資組合偏差程度隨α置信度增加而增加。所以，在極端情況下鞍點逼近模型也能較好地測算投資組合風險貢獻度。

表3 鞍點逼近模型在上證指數(shù)和國證指數(shù)極端跌幅下的測算結(jié)果

表4 極端情景下上證指數(shù)和國證指數(shù)鞍點逼近模型測算精度

4 結(jié)論

決策者若能對所擁有的投資組合風險貢獻度進行定量分析，就有望得到具有前瞻性的風險貢獻度信息，這有助于決策者在負面結(jié)果出現(xiàn)之前，通過及時調(diào)整投資組合等策略，減少未預期風險帶來的損害，因為風險貢獻度度量了個體資產(chǎn)的風險對整個組合資產(chǎn)風險的貢獻，是投資組合管理者藉此做出科學資產(chǎn)配置的重要依據(jù)之一。

本文給出基于鞍點逼近模型計算投資組合風險貢獻度的方法。通過鞍點逼近模型，能估計出簡潔的投資組合密度函數(shù)和分布函數(shù)。同時，實證研究結(jié)果表明，鞍點逼近模型所計算出的結(jié)果在多數(shù)情況下其精度高于歷史數(shù)據(jù)法，若進一步考慮歷史數(shù)據(jù)缺失(例如股票停牌等)頻繁出現(xiàn)的現(xiàn)實背景，采用鞍點逼近法測算投資組合風險貢獻度的實用性將更加凸顯，壓力測試分析也支持了在極端情況下鞍點逼近模型的適用性。

最后，需要指出的是，因本身的局限性，所計算的風險貢獻度精度仍有通過其他度量方法進一步提高的可能，這有待進一步研究。