培養(yǎng)山區(qū)農(nóng)村初中生幾何解題能力的教學(xué)嘗試

覃鎬生

摘?要：教師在教學(xué)中培養(yǎng)山區(qū)農(nóng)村初中學(xué)生幾何解題能力，幫助學(xué)生建立完整的解題體系。解題步驟：第一步，教育學(xué)生學(xué)會(huì)審題。第二步，教育學(xué)生重新畫(huà)圖。第三步，教育學(xué)生在重新畫(huà)的圖形上標(biāo)出已知的數(shù)據(jù)。第四步，教育學(xué)生采用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q幾何問(wèn)題。1. 教育學(xué)生用順推證法解題。2.教育學(xué)生用逆推法解題。3.教育學(xué)生用兩邊齊頭并進(jìn)法解題。通過(guò)多次反復(fù)訓(xùn)練和培養(yǎng)，就一定能養(yǎng)成良好的幾何解題能力的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：培養(yǎng)?幾何解題能力?教學(xué)嘗試

新課程標(biāo)準(zhǔn)的課程總目標(biāo)中提出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”一線數(shù)學(xué)教師在幾何課堂教學(xué)時(shí)是否落實(shí)這個(gè)目標(biāo)，成為評(píng)價(jià)一節(jié)課成功與否的標(biāo)準(zhǔn)之一。這里的基本技能在平面幾何教學(xué)中包括解題技能。培養(yǎng)山區(qū)農(nóng)村初中學(xué)生幾何解題能力，幫助學(xué)生建立完整的解題體系，成為每個(gè)教師都必須努力的方向。

目前，本人工作的地方處于山區(qū)農(nóng)村地區(qū)，山區(qū)農(nóng)村初中學(xué)生普遍存在這些情況：面對(duì)幾何題目不愛(ài)動(dòng)手，不愛(ài)動(dòng)口，不會(huì)思考，給教師的教學(xué)工作造成了很大障礙。本人從培養(yǎng)山區(qū)農(nóng)村初中生幾何解題能力的教學(xué)嘗試和大家探討。

第一步，教育學(xué)生學(xué)會(huì)審題。相信很多山區(qū)農(nóng)村教師都會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：山區(qū)農(nóng)村初中生理解能力和閱讀能力非常低下，學(xué)生讀題花了很多時(shí)間，造成課堂教學(xué)效率不高。造成這種情況的原因是學(xué)生不會(huì)審題。審題即是根據(jù)題目，弄清哪些是已知條件和題目所要求證的是什么。審題是正確理解題目的前提。審題是閱讀能力和理解能力的綜合。在課堂教學(xué)時(shí)，教師可以通過(guò)讓學(xué)生集體讀題或者個(gè)別學(xué)生讀題，再由學(xué)生討論題目，討論的內(nèi)容包括已知的是什么，從已知條件可以得到哪些結(jié)論，題目涉及哪些知識(shí)點(diǎn)，最后得到解答題目的方法。

第二步，教育學(xué)生重新畫(huà)圖。教師要求學(xué)生在草稿紙上把題目中的圖形重新畫(huà)出來(lái)，這個(gè)過(guò)程中教師要求學(xué)生要把圖形畫(huà)得越標(biāo)準(zhǔn)越好。它的主要作用是通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作畫(huà)圖，把題目中的已知條件經(jīng)過(guò)大腦再次呈現(xiàn)出來(lái)，有利于學(xué)生綜合運(yùn)用已知條件解答題目。

第三步，教育學(xué)生在重新畫(huà)的圖形上標(biāo)出已知的數(shù)據(jù)。把數(shù)據(jù)既形象又直觀地展示出來(lái)。這里分兩種情況：

①當(dāng)已知條件中的量不相等時(shí)，在畫(huà)出來(lái)的圖形中把已知數(shù)據(jù)標(biāo)出來(lái)。如圖，小明家在A處，門(mén)前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路。 現(xiàn)新修一條路AC到公路l.小明測(cè)量出∠ACD=30?，∠ABD=45?，BC=50m。請(qǐng)你幫小明計(jì)算他家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度。

圖形標(biāo)上數(shù)據(jù)后，對(duì)于學(xué)困生來(lái)說(shuō)就很容易看出來(lái)哪些是已知的與哪些是需要求解的，還可以推導(dǎo)∠DAB=45與∠DAC=60，從而得到AD=BD。

②當(dāng)已知條件中有相等的量時(shí)，用相同的符號(hào)把表示相等的量標(biāo)出來(lái)。如2019年四川省成都市中考數(shù)學(xué)試卷第12題，如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)____。

圖形標(biāo)上數(shù)據(jù)后，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就很容易看出來(lái)AB和AC是相等的，∠BAD和∠CAE是相等的，通過(guò)推導(dǎo)得到∠B=∠C，從而得到△ABD與△ACE全等，得出BD=CE=9。

第四步，教育學(xué)生采用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q幾何問(wèn)題。波利亞曾說(shuō)過(guò)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了辨別哪一條思路正確，哪一個(gè)方向可接近它，就要試探各種方向和思路?！苯鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法多種多樣，對(duì)于山區(qū)農(nóng)村初中學(xué)生來(lái)說(shuō)能解決問(wèn)題的方法就是最好的。

1.教育學(xué)生用順推證法解題。對(duì)于初中階段的很多幾何題目，都可以用順推證法解決問(wèn)題。一般，利用題目中的已知條件（包括隱藏著的條件）或者是某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫作綜合法。綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā薄Ｈ鐖D，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE。（1）求證：△ADE≌△CED。

分析：要想證明△ADE≌△CED，結(jié)合題目給出的條件，由于四邊形ABCD是矩形，所以得到AB等于CD，BC等于AD，再由折疊的性質(zhì)可以得到AB等于AE，BC等于CE，綜合上面兩個(gè)結(jié)論得到AE等于CD，AD等于CE，得到兩條邊相等的情況下，根據(jù)全等三角形的判定條件，再找一條邊或這兩條邊的夾角相等就可以證明這兩個(gè)三角形全等。從題目的圖形不難找到DE是公共邊這一條件，證明的過(guò)程是遵循著分析的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)的，從而解決了問(wèn)題。

2.教育學(xué)生用逆推法解題。逆向思維是一種從問(wèn)題的相反方向思考的思維方式。這種運(yùn)用逆向思維的方式來(lái)解決問(wèn)題的方法就是逆推法。逆推法是一種更容易體現(xiàn)學(xué)生思考和解決問(wèn)題過(guò)程的方法。逆推法解決問(wèn)題的目的性更強(qiáng)，對(duì)于山區(qū)農(nóng)村初中生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路更清晰，書(shū)寫(xiě)解題的步驟更有條理。例題再現(xiàn)：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接PF。（1）若∠POC=60，AC=12，求劣弧PC的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）;（2）求證：OD=OE。

分析：要想證明OD=OE，也就是證明兩條線段相等，可以通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等得到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即證明△AOD≌△POE。那么如何證明△AOD≌△POE呢？從題目的圖形可以得到兩個(gè)條件：①因?yàn)镺A和OP都是圓的半徑，所以O(shè)A=OP，②∠POE和∠AOD是對(duì)頂角，所以∠POE=∠AOD。再?gòu)念}目中給出OD⊥AB，PE⊥AC，可以得到第三個(gè)條件∠ADO和∠PEO都是直角，即∠ADO=∠PEO=90。那么證明△AOD≌△POE的問(wèn)題就解決了。證明的過(guò)程與分析的過(guò)程剛好相反，解決問(wèn)題的目的性更強(qiáng)。

3.教育學(xué)生根據(jù)題目的已知條件和求證聯(lián)想學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，再把這些結(jié)論串聯(lián)起來(lái)。當(dāng)遇到一些難度比較大的題目時(shí)適合運(yùn)用這種方法，也就是當(dāng)看到這道題時(shí)，一時(shí)間沒(méi)有什么頭緒，運(yùn)用前面的幾種方法都難以解決時(shí)，就從已知條件出發(fā)，用學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)可以推出哪些結(jié)論，再由結(jié)論聯(lián)想用哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)才能推出這個(gè)結(jié)論，看能否串聯(lián)起來(lái)。我把它稱為兩邊齊頭并進(jìn)法。例題再現(xiàn)：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F。求證：AE=EF。

分析：首先從已知條件出發(fā)，四邊形ABCD是正方形，可以得到AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D，再?gòu)狞c(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，可以得到BE=EC，從圖形和∠AEF=90°的位置關(guān)系可以推導(dǎo)出∠BAE=∠FEC，但依然沒(méi)有辦法推導(dǎo)出AE=EF。另一個(gè)方面我們從結(jié)論出發(fā)，要證明兩條線段AE和EF相等，嘗試證明兩個(gè)三角形全等，但這里沒(méi)有符合條件的兩個(gè)三角形，只能通過(guò)構(gòu)造出來(lái)。①過(guò)F作FG垂直BC，再證△ABE≌△EGF全等，顯然是行不通，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形中沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊相等。②取AB的中點(diǎn)G，連接EG，證△AGE≌△ECF。這里可以推導(dǎo)出AG=EC=BG=BE，得到∠BGE=∠GEB=45，推導(dǎo)出∠AGE=135，從EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F可以得到∠EGF=135，故∠EGF=∠AGE=135。再聯(lián)合前面得到的∠BAE=∠FEC，AG=EC，從而得到△AGE≌△ECF，推出AE=EF。我們對(duì)于一時(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題，就要思考從兩邊入手，把推導(dǎo)的結(jié)果串聯(lián)起來(lái)，眼前的問(wèn)題會(huì)迎刃而解。

學(xué)生的幾何解題習(xí)慣是通過(guò)多次反復(fù)訓(xùn)練和培養(yǎng)出來(lái)的，只要教師在教學(xué)中不斷提醒，堅(jiān)持不懈地努力奮斗，就一定能提高學(xué)生的幾何解題能力，也會(huì)提高我們的數(shù)學(xué)教學(xué)的效果和質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

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