數(shù)學錯解分類探析，提升學生解題能力

周文清

[摘? 要] 數(shù)學解題中，錯誤是學生真實學習情況的反映，也是一種具有活力的可生成性資源，更是提高學生解題能力的最佳時機. 文章認為，需從思維定式、概念模糊、審題不清、忽視隱含條件等問題入手，深入挖掘鑄錯原因，對學生進行思路分析和思維品質(zhì)的訓練，方能提升解題能力.

[關鍵詞] 錯誤;思維定式;概念模糊;審題不清;忽視隱含條件;解題能力

一些教師一味地追求課堂完美，為了追趕教學進度或其他原因，常常無視或不愿正視學生的錯誤，以至于錯過了糾正錯誤的最佳時機，導致做錯的題目一再犯錯. 事實上，錯誤是正確的基石，更是通往成功的階梯，學生的錯誤是有魅力的，是最樸實思想的暴露，而學生犯錯的過程也是嘗試的過程，更是創(chuàng)新的過程. 因此，我們需要采取主動應對的理念，充分利用錯誤，深入挖掘致錯根源，并在錯誤上“大做文章”，由此可變“廢”為“寶”，提升學生的解題能力.

從“思維定式”著手，在質(zhì)疑中獲得解題思路

思維定式是心理學領域的概念，也就是人們思考問題的一種思維慣性. 往往學生在運用某種思維方式解題獲得成功后，易形成一個定式，面對新情境和新問題時，易忽視問題的特殊性，自然而然地習慣用老的經(jīng)驗去試一試，按照固定的思維模式去驗證，從而即便是思路已明、方法已有，思維依然受阻，解題效果并不理想.

例1：已知a，b是兩個不共線的單位向量，當（a+b）⊥（ka-b）時，實數(shù)k的值是________.

分析：因為（a+b）⊥（ka-b），所以（a+b）·（ka-b）=0，

則ka2+ka·b-a·b-b2=0，則有k-1+（k-1）cos〈a，b〉=0.

初讀此題，不少學生覺得非常簡單，從而下筆很快，而當解決到此處時，由于受到“幾個方程只能求出幾個未知數(shù)”的束縛，看到方程k-1+（k-1）cos〈a，b〉=0不僅有未知數(shù)“k”，竟還有“cos〈a，b〉”，從而不敢繼續(xù)往前導致思維卡殼. 事實上，此處只要對方程左側(cè)提取公因式“（k-1）”，就可化解困境，實現(xiàn)“柳暗花明”，生成以下解析過程：

因為（k-1）（1+cos〈a，b〉）=0，又a和b不共線，所以1+cos〈a，b〉≠0，所以k=1.

當然，若想使學生的思維擺脫已有“框框”的束縛，僅僅是去刷幾道試題是不夠的，還需在解題教學中挖掘各式錯誤，并將其視為重要的教學資源，鼓勵學生大膽猜想，善于質(zhì)疑，使其擺脫禁錮思維的枷鎖，突破常規(guī)思維的局限，推陳出新，提升解題能力.

從“概念模糊”著手，在辨析中完善認知結(jié)構(gòu)

數(shù)學概念是數(shù)學的精髓和靈魂，也是學生解題的依據(jù)，更是培養(yǎng)學生思維能力的良好素材，其重要性不言而喻. 清晰而準確地掌握數(shù)學概念是數(shù)學解題的前提，而數(shù)學概念具有抽象性的特征，不少學生易由于概念不清或概念錯位而造成錯誤. 因此，教師一方面需強化學生對概念形式的記憶，選擇一些易混淆的題目讓學生去辨析，從而加深理解和認識;另一方面可以通過讓學生對比正確與錯誤解答，在反思和辨析中明晰概念本質(zhì)，完善認知結(jié)構(gòu).

例2：若x，y（均為正數(shù)）滿足x+y=1，試求出z=x+■y+■的最小值.

這是一道易錯問題，學生出現(xiàn)錯誤并非有心造成，往往是因為學生對概念認識形式的偏差，而自以為是得出的錯誤認識. 筆者很快羅列出學生的幾種錯誤情形，將其和正解一起進行板演：

解法1：z=x+■y+■≥2×2=4.

解法2：z=xy+■+■+■≥2■+2■=4.

解法3：z=■+xy-2≥2■-2=2■-2.

解法4：z=x+■y+■=xy+■+■+■=xy+■+■=■+xy-2，

令t=xy，則有0

由f（t）=t+■在0，■上單調(diào)遞減，且當t=■時，f（t）=t+■有最小值■，即當x=y=■時，z=x+■y+■有最小值■.

從以上正解和錯解的同時展示開始，引導學生去辨析出以上4種解法中正確的那一個. 學生經(jīng)過深入分析，很快得出僅有解法4正確，其余均是錯誤的. 與此同時，提出問題：“它們都錯在哪里呢？”學生必然深挖錯誤原因，并一致認為是“等號成立條件”的認識模糊而導致的錯誤. 事實上，對于此題中基本不等式求最值的條件——“一正二定三相等”，筆者在概念教學中反復強調(diào)多次，學生也是熟記于心，但在運用時卻總是錯，原因在于機械的記憶使得學生對其來龍去脈理解得不夠透徹. 以上解法1、2、3的出錯均是因為遺忘了檢驗“等號”是否可取到，這樣的錯誤不僅學困生易犯，不少基礎較好的學生也常常會出錯. 筆者通過以上解法的呈現(xiàn)引導學生在辨析和反思中達到此類錯誤的預防和根除效果，使學生深刻領悟到“基本不等式”的本質(zhì)特征.

從“審題不清”著手，在診斷中養(yǎng)成細致思維的習慣

審題是發(fā)現(xiàn)正確解法的前提，是成功搭建解題思路的基礎，細致的審題是解題成功的必要條件，缺乏審題訓練的解題教學是不完整的，這一點需要得到廣大數(shù)學教師認可. 審題不清這樣的錯誤不僅僅小學生和初中生易犯，高中生也不例外，這些錯誤在心理方面被稱為“視覺負遷移”，主要出錯根源在于學生急于求成. 而我們作為教育者，需對如何審題進行深入研究和思考，并引領學生自我診治，在深度辨析中養(yǎng)成細致思維的習慣，提升解題能力.

例3：如圖1，在橢圓■+y2=1上找出一點，使得它到直線x-y+6=0的距離最小，并求出這個最小值.

錯解：分析圖形可知，當直線y=x+m與橢圓■+y2=1相切時，接近直線的切點即為所求. 據(jù)y=x+m，■+y2=1，可得4x2+6mx+3m2-3=0. 因為相切，所以Δ=-12m2+48=0，故m=2或m=-2（舍去）. 當m=2時，解方程組可得所求點為-■，■，最小值為d=■=2■.