關(guān)蓓

【摘要】深度學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂教學(xué)改革的新思路、新路徑。教師在課堂教學(xué)中由具體知識和基本技能層面，深入深度思維的層面，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)科素養(yǎng)。如何進(jìn)行深度教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)呢？基于實踐，本文認(rèn)為需要做到：有機(jī)整合教材，溝通知識間的聯(lián)系，架構(gòu)系統(tǒng)知識;強(qiáng)化活動體驗，注重獨立思考，發(fā)展高階思維;有效運用策略，促進(jìn)深度理解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為發(fā)展奠基。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 系統(tǒng)知識架構(gòu) 深度理解

課堂改革是教育永恒的追求，基于深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)活動為新時期的課堂教學(xué)提供了新思路、新路徑。這種學(xué)習(xí)模式的核心在于理解，與數(shù)學(xué)思維發(fā)展、知識系統(tǒng)建構(gòu)、學(xué)習(xí)方法遷移等熱門話題密切相關(guān)。從數(shù)學(xué)學(xué)科教育的角度來看，“深度學(xué)習(xí)”并不陌生，許多教師都在嘗試在課堂教學(xué)中由具體知識和基本技能層面，深入到深度思維的層面，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)科素養(yǎng)。如何進(jìn)行深度教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)呢？現(xiàn)筆者結(jié)合三個教學(xué)案例談?wù)剛€人觀點。

一、有機(jī)整合教材，溝通知識間的聯(lián)系，架構(gòu)系統(tǒng)知識

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的認(rèn)知水平常常停留在淺層，因為他們很少將不同模塊、不同單元里的知識進(jìn)行聯(lián)系，由此學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)比較模糊、片段化，這樣也就不易在不同章節(jié)的知識間尋找其內(nèi)在的聯(lián)系。以單元為整體來教學(xué)，以知識的系統(tǒng)整理歸納來教學(xué)，都能從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系和外在生發(fā)上做文章，較好地加深學(xué)生對知識的融會貫通，促進(jìn)學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知方式。因此，教師的教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，可以圍繞著數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容展開。

著名特級教師吳正憲教授的“運算教學(xué)的復(fù)習(xí)課”這節(jié)課，是六年級復(fù)習(xí)課，學(xué)生經(jīng)歷了小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，需要進(jìn)一步加強(qiáng)對加、減、乘、除運算的認(rèn)識和理解，能從知識的本源去梳理已有經(jīng)驗，構(gòu)建系統(tǒng)知識架構(gòu)。吳老師基于對深度學(xué)習(xí)的實踐探索，從一個系統(tǒng)的角度來思考，整體把握一個知識塊之間相互的聯(lián)系來進(jìn)行的課堂活動設(shè)計，從而達(dá)成預(yù)期教學(xué)目的。

“此時此刻，你是如何看待加減乘除的？”“你是如何認(rèn)識加減乘除的呢？”開門見山的兩個問題將加法、減法、乘法、除法糅合在了一起，帶領(lǐng)學(xué)生先思考、回顧。對于熟悉得不能再熟悉的運算，我們該如何去看待它呢？這樣熟悉的舊知之間又具備怎樣的聯(lián)系呢？運算間的關(guān)系就成了本課的研究重點?！?+4=12”“12-8=4”“4+4+4=12”“12÷3=4”四個式子激發(fā)學(xué)生積極思考，創(chuàng)建出大量的情景內(nèi)容。通過問題“情景故事永遠(yuǎn)也說不完，那么你是怎么理解加減乘除的意義的呢？”在小組合作交流中、班級互動表達(dá)中，學(xué)生逐漸從多個情境中抽象出了運算的意義，進(jìn)而明白運算的實質(zhì)是部分與整體間的關(guān)系：加法是將若干個不相同的部分合為一個整體，而減法是將一個整體分為若干個不相同的部分;乘法是將若干個相同的部分合為一個整體，而除法則是從一個整體走向若干個相同的部分。在這個分析的過程中，學(xué)生又進(jìn)一步理解了“乘法與除法、加法與減法互為逆運算”“乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算”。這樣將知識點之間建構(gòu)聯(lián)系的過程，又進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對之前所學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握，促進(jìn)了學(xué)生對運算意義的理解。

精心設(shè)計的練習(xí)題喚醒學(xué)生思維舊知，從算法的回顧中又厘清了算理。雖然整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算教學(xué)不是在同一時間內(nèi)完成的，但這些內(nèi)容之間存在內(nèi)在的關(guān)聯(lián)以及相同的思考方法?！?433+15;24.33-1.5;+;124×33;9.7÷4”五個例題的關(guān)注點在于“為什么要這樣算？”“題①為什么加法要將末位對齊？”“題②為什么要將小數(shù)點對齊？”“題③為什么要通分呢？”“題④為什么會在乘法的豎式里出現(xiàn)了加法？”通過這樣的題組練習(xí)對比，四個問題的引導(dǎo)，逐步抽絲剝繭，將所有的焦點集中在了“計數(shù)單位的統(tǒng)一”上。加法、乘法是單位的累加，減法、除法是單位的細(xì)化。吳老師就是這樣通過精心設(shè)計的問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立起“加、減、乘、除”四種運算之間的內(nèi)在聯(lián)系：加減乘除的運算都是在找計數(shù)單位，有些是計數(shù)單位的累加，而有些則是計數(shù)單位的細(xì)化，這些運算的實質(zhì)就是“計數(shù)單位”的運算?？此破匠５挠嬎憔毩?xí)，卻在步步追問中啟動學(xué)生深入思考運算的意義與相互聯(lián)系，讓學(xué)生找到了運算的本質(zhì)。

吳正憲老師在整體上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并實施，不僅幫助學(xué)生掌握了一個個單一的知識點，更進(jìn)一步讓學(xué)生掌握了解決這一類問題、學(xué)習(xí)這一組知識的方法，形成知識系統(tǒng)架構(gòu)，并體會到其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生才能真正形成與之相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正提高運算能力和思維水平，真正擁有基本的數(shù)學(xué)思想方法。

二、強(qiáng)化活動體驗，注重獨立思考，發(fā)展高階思維

深度學(xué)習(xí)作為基于理解的學(xué)習(xí)，指向高階思維的發(fā)展和實際問題的解決。然而思維的高低層級怎樣表現(xiàn)出來呢？內(nèi)在的能力可以通過外在的形式體現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)操作活動都可以體現(xiàn)學(xué)生思維的高低。借助這些活動，將學(xué)生思維水平展現(xiàn)出來，進(jìn)而準(zhǔn)確地把握教學(xué)重點，將學(xué)習(xí)引向深處。

在武漢市育才小學(xué)萬婕老師執(zhí)教的“用圓的面積解決問題”一課中，萬老師通過課前測試了解學(xué)生的知識起點和學(xué)生的思維層次。

根據(jù)課前測的分析，萬老師在教學(xué)設(shè)計時精準(zhǔn)地設(shè)計了適宜于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的問題。課上，萬老師拋出問題，放手讓學(xué)生獨立思考，質(zhì)疑問難。

師：這是正方形和圓組合的圖形（圖1），只告訴我們一條信息：r=1米，能解決這個問題嗎？請大家想一想，怎樣解決？在解決時遇到了什么困難？

生1：在第二幅圖里面，我們不知道正方形的邊長，無法求出正方形的面積。

生2：我在解決第二幅圖時，也不知道正方形的邊長，就沒有辦法知道正方形的面積。

生：根據(jù)半徑可以求出圓的直徑，圓的直徑正好等于正方形的邊長，因此可以求出正方形的面積。（學(xué)生邊說邊指圖2）

師：添加一條輔助線，我們能直觀地看出圓與正方形的關(guān)系，求出正方形的面積。接下來，我們重點看圖1，只知道半徑為1米，怎么求出正方形的面積呢？我們需要找到正方形和圓各部分之間的關(guān)系。你準(zhǔn)備運用什么方法探究正方形與圓各部分之間的關(guān)系？

學(xué)習(xí)活動要求

1.獨立畫圖。

2.小組交流：

（1）你是怎樣畫的？

（2）你發(fā)現(xiàn)正方形與圓各部分之間有怎樣的關(guān)系？

生1：我可以先把這個圖畫出來，再找正方形和圓之間的關(guān)系。

生2：我也覺得可以先畫圖看看。

生3：我先在圓中畫出垂直的兩條直徑，和圓有4個交點。再連接這4個交點，就形成了圓中最大的正方形。

師：同意嗎？

生（齊）：同意。

師：你們有什么問題想問問他嗎？

生1：為什么它是圓中最大的正方形？

生2：你怎么知道它是一個正方形呢？

生3：我們知道這兩條直徑是相互垂直的，這四個三角形就是四個等腰直角三角形，所以這個角就是45°，另一個角也是45°，合起來就是90°。依次類推，這四個角都是90°，就說明這是一個正方形。

師：他從角的角度說明了這是一個正方形，有沒有同學(xué)要補(bǔ)充的？

生4：這是4個大小一樣的等腰直角三角形，這四條邊都是它的斜邊，邊的長度相等，說明這是一個正方形。

師：我們可以分別從角和邊的角度來考慮，從而證明這個圖形確實是正方形。那這個正方形為什么是圓中的最大正方形呢？

生：這個正方形的四個頂點都在圓上，如果這個正方形再擴(kuò)大一點點，就會超出圓。所以這個正方形是這個圓中最大的正方形。

師：看來這個正方形果然是這個圓中最大的正方形。老師相信你們都找到了正方形和圓各部分之間的關(guān)系，誰來說一說？

生：我發(fā)現(xiàn)正方形的對角線就是圓的直徑，也可以得出正方形對角線的一半就是圓的半徑。

師：我們能不能把這個正方形轉(zhuǎn)換成與半徑或直徑相關(guān)聯(lián)的其他圖形，求出它的面積呢？

生：我將正方形分成2個完全相等的等腰直角三角形，三角形的底是圓的直徑，三角形的高是圓的半徑，三角形的面積等于1 m?。正方形的面積是2個等腰直角三角形的面積，也就是2 m?。圓的面積等于3.14 m?。最后用圓的面積減去正方形的面積，等于1.14 m?。

師：還有其他的方法嗎？

生：我將正方形分成4個大小一樣的等腰直角三角形，三角形的底是半徑，高也是半徑，三角形的面積等于0.5 m?。正方形的面積等于4個等腰直角三角形的面積，就是2 m?。圓的面積等于3.14 m?。陰影部分的面積也就是圓的面積減去正方形的面積，就是1.14 m?。

師：真會動腦筋！這兩種方法有什么相同之處？

生1：它們都是分成幾個相同的三角形，這些三角形都與圓的半徑、直徑有關(guān)。

生2：通過添加輔助線，把正方形分成了三角形，三角形的底和高都與圓的直徑相關(guān)。

解決“外圓內(nèi)方”這個問題，需要添加輔助線。輔助線的添加是解幾何題的關(guān)鍵和難點，小學(xué)生的思維大多停留在直覺感知的水平上，但憑直覺添加輔助線也不能是天馬行空式的想象，它需要學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的。動手操作、畫圖分析是學(xué)習(xí)空間與圖形的重要技能。于是，萬老師把畫圖明理作為本節(jié)課的中心環(huán)節(jié)之一，讓學(xué)生畫圖來尋找解決問題的思路和方法。學(xué)生在動手操作中定圓心、找半徑，尋找方和圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，獲得了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。畫法展示后，萬老師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生反思、質(zhì)疑。萬老師牢牢抓住“你怎么知道現(xiàn)在畫出的這個圖形是正方形？它是不是圓中最大的正方形呢？”這兩個問題，進(jìn)一步讓學(xué)生說理，將感性認(rèn)識逐步上升到理性認(rèn)識。整個說理的過程實際上就是邏輯推理的雛形，同時也是高階思維的體現(xiàn)。

三、有效運用策略，促進(jìn)深度理解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為發(fā)展奠基

深度學(xué)習(xí)是在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多的思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延兄R遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學(xué)習(xí)。

著名特級教師俞正強(qiáng)老師曾上過一節(jié)樸實而又富有深度的課——“年、月、日”。課前，俞老師給每個學(xué)生發(fā)一張不同年份的日歷牌。課始，看似三年級的學(xué)生對于年、月、日的知識早已有不少的了解，可隨著俞老師的一句“你知道一個月有多少天嗎？”，學(xué)生卻給出了五花八門的答案：31天、30天、21天、28天、29天、32天等，正當(dāng)一片混亂之時，俞老師趁“亂”發(fā)問：“怎么把它弄明白？”學(xué)生紛紛拿起日歷查閱起來，從容、淡定的俞老師在一旁靜靜等待，等待學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)月與日之間的關(guān)系。隨著對大小月天數(shù)的清晰認(rèn)識，到二月份的天數(shù)時，學(xué)生間再次出現(xiàn)“混亂”，有學(xué)生認(rèn)為二月份是28天，有學(xué)生認(rèn)為二月份是29天，還有學(xué)生說平年28天，閏年29天。面對混亂，學(xué)生們又急了，可俞老師不急不躁，循循善誘，充分發(fā)掘?qū)W生的已有經(jīng)驗，引發(fā)學(xué)生深度思考，不斷探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)。

俞正強(qiáng)老師在他的專著《種子課》中認(rèn)為：我們的學(xué)生本身便是一顆來自天地的種子，他是帶著能量，帶著春夏秋冬的記憶，帶著生長收藏的使命而來，需要我們?nèi)ンw會、去感悟、去尊重、去喚醒。

正如俞老師所提到的，學(xué)生的經(jīng)驗并非空白，整節(jié)課俞老師都在學(xué)生的已有經(jīng)驗上引導(dǎo)學(xué)生深入探索，形成深度認(rèn)識理解。俞老師的課堂主要有以下幾個特點：

（1）立足和尊重學(xué)生的思維，循循善誘，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。對于學(xué)生的發(fā)言，俞老師從不輕易下結(jié)論，而是給予學(xué)生再思考、再發(fā)現(xiàn)的機(jī)會。比如，俞老師提問：“現(xiàn)在2月有28天又有29天，我們該怎們辦呢？”這時有一位學(xué)生不假思索地說換日歷，俞老師沒有否定，而是讓學(xué)生經(jīng)歷換日歷的過程，學(xué)生換了日歷發(fā)現(xiàn)有的2月確實有29天，打破了該生原有的認(rèn)知思維，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望。

（2）遵循學(xué)生已有經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生深度理解，引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)。方法的記憶只是一種形式，而對知識的理解才是最為本質(zhì)的。再如，俞老師提問：“2月有29天，與什么有關(guān)？”有一位學(xué)生自信滿滿地說：“與平年和閏年有關(guān)。”乍一聽，我們會以為這個學(xué)生已經(jīng)清楚了平年和閏年蘊藏的規(guī)律，但是在俞老師的步步追問下，學(xué)生很快暴露出知識的盲區(qū)：學(xué)生只是知道有平年和閏年這樣的詞語，但是對平年和閏年蘊藏的規(guī)律卻不清楚。這時候俞老師引導(dǎo)學(xué)生自主探索2月天數(shù)的規(guī)律，在一次次獨立思考、集體驗證、自我調(diào)整后，學(xué)生終于找到了規(guī)律。整個探索的過程學(xué)生由感知規(guī)律到發(fā)現(xiàn)規(guī)律再到運用規(guī)律;由提出猜想到驗證猜想;由質(zhì)疑到確信，興趣越來越濃烈，思維在不斷升級。這節(jié)課里滿是學(xué)生與教師思維的碰撞，碰撞中透著智慧的光芒，讓在場的教師們無不拍手叫絕！

課后俞老師對本節(jié)課進(jìn)行了深度解讀，他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的拓展首先應(yīng)向內(nèi)拓展，發(fā)掘數(shù)學(xué)本身的內(nèi)涵。俞老師的這節(jié)課既沒有使用華麗的課件，也沒有準(zhǔn)備精美的教具，僅僅就用一支粉筆、一塊黑板和40張不同年份的日歷，從學(xué)生的常識出發(fā)，在糊涂之處著力研究，將常識變成知識，再用知識進(jìn)行思維拓展來完善常識。在深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在完善，數(shù)學(xué)思想方法在形成。哪怕若干年后，今天學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容不一定記得，但是抽象、推理、模型的基本數(shù)學(xué)思想給人帶來的改變，深度學(xué)習(xí)的美好體驗，一定是留在學(xué)生的身上，并積極地發(fā)揮著作用。

深度學(xué)習(xí)為課堂變革提供了一個新的思路。深度學(xué)習(xí)的設(shè)計與實施需要教師對學(xué)科、對學(xué)生、對教學(xué)有正確的理解，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計與組織，使其體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、關(guān)注學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的有效參與和富有深度的思考。在深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計中，重點體現(xiàn)的是教師對學(xué)科內(nèi)容的深刻理解，對學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的切實把握，對教學(xué)活動的精心設(shè)計，使有意義的學(xué)習(xí)活動真正發(fā)生，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生！

【參考文獻(xiàn)】

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