韓榮梅
(內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 包頭014000)
分析多項式中求根類的題目時,范德蒙行列式和一些特殊的性質(zhì)能提升解決問題的效率,亦能間接的幫助我們解出問題的結(jié)果,讓解題過程更清晰,易懂。
例1:假設(shè)f(x)=b0+b1x1+b2x2…+bnxn,若f(x)至少有n+1 個不同的根,則f(x)=0。
證明:
取x1,x2,…,xn+1為f(x)的n+1 個根,且各不相同。代入得:
其中b1,b2,…,bn做未知量。
其中的系數(shù)行列式中xi≠xj(i≠j)。該式又為范德蒙行列式,故而:
所以方程組(1)只有零解。從而b0=b1=b2=…=bn=0,即f(x)=0。
例2:在數(shù)域F 中,設(shè)b1,b2,…,bn為互不相同的數(shù),而c1,c2,…,cn為數(shù)域F 中的任意一列不全為零的確定的數(shù)。則存在唯一的數(shù)域F 上的次數(shù)小于n 的多項式f(x),使f(bi)=ci(i=1,2,…,n)
證明:
設(shè)f(x)=d0+d1x+…dn-1xn-1由題f(bi)=ci(i=1,2,…,n) 可知:
由題可知b1,b2,…,bn之間都是不同的,這樣它就變成了一個范德蒙行列式。
那么其結(jié)果就為:
故而有唯一的解,且解為次數(shù)小于n 的多項式,f(x)=d0+d1x+…dn-1xn-1,能讓f(bi)=ci(i=1,2,…,n)
不難發(fā)現(xiàn),范德蒙行列式在多項式中的應(yīng)用方法很便捷,可以通過創(chuàng)建向量組等方法,亦或者通過取不同的根引入多項式中,將系數(shù)看作未知量。得到一個系數(shù)行列式。就構(gòu)造了新的范德蒙行列式。然后通過范德蒙行列式,直接得到結(jié)果或一些性質(zhì)或者是證明結(jié)果。
線性變換是高等代數(shù)中的一個難點。將范德蒙行列式應(yīng)用在其中,能提升效率并且能使得解題進(jìn)程變得簡潔,易懂。
例3:設(shè)β1,β2,…βn是線性空間V 的一組基,σ 是V 的線性變換,有σβi=β1+aiβ2+…+ain-1βn,證明:σ 是V 可逆的線性變換。
證明:
由已知得
其中的
式(3)為范德蒙行列式,所以
因此B 可逆。所以σ 為可逆線性變換。
例4:在數(shù)域F 上,設(shè)n 維向量V 的線性變換為σ,有n 個互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn證明:所有的e,σ,σ2,…,σn-1(e 表述恒等變換)是與σ 能夠交換的V 的線性組合[7]。
證明:
設(shè)線性變換δ 是與σ 可交換的。且σ(ai)=λiαi(i=1,2,…,n)
則Vλi={kαi|k∈F}就是δ 的不變子空間。
令
則由該方程組
可知式(4)的系數(shù)行列式是由范德蒙行列式構(gòu)成的,且
所以方程組有唯一解。故δ 是e,σ,σ2,…,σn-1的線性組合。
例5:嘗試證明在空間中含有一個向量集包括了無限多的向量。此向量集中的任何三個向量都線性無關(guān)。
證明:
取向量集于這個空間中{(1,k,k2)|k∈z},而在這個集中任意的3 個向量形成的向量組,所構(gòu)成的三階的行列式
行列式(5)構(gòu)成了范德蒙行列式。所以可知它一定不是為零的,因而它們必線性無關(guān),即取得的向量組滿足標(biāo)題中的前提條件。
例6:設(shè)λi(i=1,2,…,m)是n 階矩陣A 的不同的特征值。在矩陣A 中的與特征值λi聯(lián)系的線性無關(guān)的特征向量是ξi1,ξi2,…,ξiti(i=1,2,…,m),則ξ11,ξ12,…,ξ1t1,ξ21,…,ξ2t2,…,ξm1,ξmtm是線性無關(guān)的一組向量組。
證明:
設(shè)有ki1,ki2,…,kiti(i=1,2,…,m)使得
令
則式(6)可寫為
又ξij(j=1,2,…,ti)是特征值λi的特征向量,
故
由式(7)同時左乘A 及式(8)得
再次左乘A 得
重復(fù)進(jìn)行得到:
寫為矩陣
則C 矩陣即式(10)的行列式為范德蒙行列式,所以
又因為λi(i=1,2,…,m)各不相同,可知|C|不為零;從而C可逆。
將式(10)右乘C-1得,(η1,η2,…,ηm)=0,有ηi=0(i=1,2,…,m)
所以向量組ξ11,ξ12,…,ξ1t1,ξ21,…,ξ2t2,…,ξm1,ξmtm線性無關(guān)。