數(shù)學(xué)分析方法在“金屬晶體結(jié)構(gòu)及間隙”教學(xué)中的應(yīng)用及探討

張如權(quán) 陶詠真

[摘 要]該文探討把數(shù)學(xué)思維與抽象專業(yè)知識結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)啟發(fā)滲透且運(yùn)用到專業(yè)課材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)的晶體結(jié)構(gòu)及間隙教學(xué)過程。該教學(xué)方法幫助學(xué)生借助已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識理解抽象的晶體結(jié)構(gòu)。強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并且有助于培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科知識的綜合運(yùn)用技巧及創(chuàng)新思維能力。運(yùn)用數(shù)學(xué)啟發(fā)輔助材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)相關(guān)知識的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)對晶體結(jié)構(gòu)基本概念內(nèi)涵的挖掘和分析，為提高課堂教學(xué)效果和學(xué)生綜合素質(zhì)提供有效策略。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)啟發(fā);金屬晶體結(jié)構(gòu);學(xué)習(xí)興趣;創(chuàng)新思維

[中圖分類號] G642[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）48-0-02[收稿日期] 2020-05-18

引言

晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)內(nèi)容比較抽象，需要教師和學(xué)生具有一定的空間想象能力。在教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，理解抽象的晶體結(jié)構(gòu)。以金屬晶體為例，本文介紹了數(shù)學(xué)啟發(fā)在金屬晶體結(jié)構(gòu)及間隙教學(xué)過程中的運(yùn)用。

一、數(shù)學(xué)啟發(fā)在晶胞常數(shù)及致密度教學(xué)中的應(yīng)用

基于晶體結(jié)構(gòu)的幾何圖形，計算晶胞常數(shù)及致密度。四川大學(xué)顧宜教授主編的《材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)》教材中詳細(xì)解釋了面心立方和體心立方晶胞常數(shù)及致密度的計算[1]。這里，我們介紹密排六方晶胞常數(shù)及致密度的計算。

密排六方點陣常數(shù)a和c與原子半徑R的關(guān)系見圖1，上層或底層的相鄰頂點原子相切，因此，a=2R（圖1（a））。中間層一個原子、底層面心原子以及底層兩個相鄰頂點原子，緊密堆積形成棱長為a的正四面體（圖1（a）），中間層原子到上下兩個底面距離相等，所以只需計算正四面頂點到底面的高即得c/2（圖1（b））。引導(dǎo)學(xué)生利用正四面體知識計算點陣常數(shù)c。具體如下：

二、間隙教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)知識運(yùn)用

金屬原子通常緊密堆積形成金屬晶體，但球形金屬原子密堆積結(jié)構(gòu)中不可避免存在空隙，即由最鄰近4個原子形成的四面體間隙和最鄰近6個原子形成的八面體間隙。

1.四面體間隙。體心立方結(jié)構(gòu)中，每個面上共棱的兩個頂點原子，與共該面的兩個晶胞體心原子形成一個四面體間隙（圖2（a））。由圖2（a）可知，四面體間隙中心位于該棱中垂線到該棱的1/4處，每個面都存在4個四面體間隙中心。引導(dǎo)學(xué)生分別標(biāo)出各面上4個間隙中心的坐標(biāo)，例如：（001）面上的四面體間隙中心的坐標(biāo)分別為（1/2，1/4，1），（1/4，1/2，1），（1/2，3/4，1），（3/4，1/2，1）。結(jié)合晶胞結(jié)構(gòu)的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生計算四面體間隙大小，具體如下：

四面體間隙中心與頂點原子的距離為：

2.八面體間隙。圖2（b）示出體心立方結(jié)構(gòu)中的兩類八面體間隙。其一、每個面上的4個頂點原子，與共該面的兩個晶胞體心原子形成一個八面體間隙，另外，共棱的兩個頂點原子，與共該棱的4個晶胞體心原子形成一個八面體間隙。八面體間隙的中心分別位于面心和棱的中點。結(jié)合圖2（b），引導(dǎo)學(xué)生觀察體心立方結(jié)構(gòu)中6個面都存在5個八面體間隙中心。以（001）面為例，引導(dǎo)學(xué)生分別標(biāo)出該面上5個間隙中心的坐標(biāo)：位于面心的間隙中心的坐標(biāo)為（1/2，1/2，1），位于棱中點的間隙中心的坐標(biāo)分別為（1/2，0，1），（1，1/2，1），（1/2，1，1），（0，1/2，1）。另外，借助圖2（b），引導(dǎo)學(xué)生計算間隙的大小，具體計算過程如下：

三、結(jié)論

綜上所述，利用學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)知識分析抽象晶體結(jié)構(gòu)專業(yè)知識，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解且演算晶體結(jié)構(gòu)中的各種參數(shù)。將數(shù)學(xué)啟發(fā)應(yīng)用到金屬晶體結(jié)構(gòu)及間隙的教學(xué)中，有利于學(xué)生理解并掌握晶胞常數(shù)及致密度的計算、以及間隙位置及大小等知識。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識理解抽象的專業(yè)知識，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科知識的綜合運(yùn)用技巧及創(chuàng)新思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1]顧宜，趙長生，主編.材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)（第二版）[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2011，7.

[2]馬福軍.晶體結(jié)構(gòu)計算的教學(xué)研究[J].青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院學(xué)報，2012，23（1）：91-94.