對(duì)大二應(yīng)用物理專業(yè)“量子物理”課程的淺見(jiàn)

周康

[摘 要]應(yīng)用物理專業(yè)的本科生，例如光學(xué)、材料、微電子等專業(yè)的學(xué)生，需要在大二學(xué)習(xí)量子力學(xué)。然而，大二的學(xué)生并不具備傳統(tǒng)的本科量子力學(xué)課程所要求的數(shù)學(xué)與物理基礎(chǔ)。該文作者對(duì)如何解決這個(gè)困難給出了一些探討和建議，試圖尋求一種適合于大二應(yīng)用物理專業(yè)學(xué)生的量子物理課程。

[關(guān)鍵詞]量子力學(xué);大二;應(yīng)用物理

[中圖分類號(hào)] G642.0[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）48-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

誕生于一百年前的量子力學(xué)對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的許多分支都有著深遠(yuǎn)的影響，而且它的影響力直至今日都還處于持續(xù)擴(kuò)大中?？梢怨卣f(shuō)，缺少了量子力學(xué)，將無(wú)法深入探討現(xiàn)代物理學(xué)的絕大多數(shù)分支。對(duì)于主修應(yīng)用物理方向—例如光學(xué)、材料、微電子—的本科學(xué)生，如果在大學(xué)期間未能打下足夠的量子力學(xué)基礎(chǔ)，未來(lái)的發(fā)展將受到極大的限制。因此，給這些專業(yè)的學(xué)生開(kāi)設(shè)量子力學(xué)課程是非常必要的。然而，由于大三、大四期間有很多更加專門的課程需要學(xué)習(xí)，對(duì)于這些專業(yè)的學(xué)生，量子力學(xué)課程如果開(kāi)設(shè)，常常會(huì)被安排到大二。這就帶來(lái)了一個(gè)問(wèn)題：傳統(tǒng)本科生量子力學(xué)課程需要以理論力學(xué)與數(shù)學(xué)物理方法的相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，而大二的學(xué)生尚未學(xué)習(xí)這些課程。舉例來(lái)說(shuō)，氫原子薛定諤方程的求解，對(duì)大二學(xué)生而言就是一道難以逾越的鴻溝。此外，對(duì)這些專業(yè)的學(xué)生而言，除了講清楚量子力學(xué)的基本物理概念和思想，還需要兼顧到量子力學(xué)在他們專業(yè)領(lǐng)域的特殊應(yīng)用。

筆者從2017年開(kāi)始，在揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院給光學(xué)科學(xué)專業(yè)的大二本科生講授量子物理課程。通過(guò)總結(jié)三年來(lái)的經(jīng)驗(yàn)、平時(shí)對(duì)這門課程的思考以及與同行的討論，作者試圖在本文中對(duì)大二本科生量子物理課程的內(nèi)容選取、講授方式、考核方式及學(xué)習(xí)方法給出一些探討和建議。

二、對(duì)量子物理課程教學(xué)的思考及建議

（一）課程內(nèi)容的選擇

考慮到大二學(xué)生沒(méi)有關(guān)于特殊函數(shù)和求解偏微分方程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，傳統(tǒng)量子力學(xué)課程中諧振子與氫原子薛定諤方程的解法都可以予以刪除。由于大二學(xué)生缺少格林函數(shù)的知識(shí)，而格林函數(shù)在處理散射問(wèn)題時(shí)不可避免，因而散射問(wèn)題也應(yīng)當(dāng)從課程中刪去。此外，由于應(yīng)用物理方向的學(xué)生，在未來(lái)幾乎不可能用到數(shù)學(xué)上較為復(fù)雜的微擾論，這部分內(nèi)容也可以跳過(guò)。盡管微擾論用到的數(shù)學(xué)工具并未超出他們的知識(shí)儲(chǔ)備，但是，大二學(xué)生的思維大多停留在普通物理的層面，多數(shù)學(xué)生并不適應(yīng)冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。最后，由于缺少理論力學(xué)基礎(chǔ)，正則量子化中從泊松括號(hào)到對(duì)易括號(hào)的過(guò)渡，也可以舍去。我們可以直接將哈密頓算符作為能量算符來(lái)介紹，并闡釋哈密頓算符與演化算符的聯(lián)系，而避開(kāi)哈密頓算符與經(jīng)典力學(xué)中哈密頓量的關(guān)系。

在刪除了以上內(nèi)容后，空出的課時(shí)允許我們添加傳統(tǒng)講授方式里所沒(méi)有的內(nèi)容，尤其是一些物理味比較濃重的有趣例子。最后的課程編排如下：

（1）舊量子論。包括普朗克黑體輻射理論，愛(ài)因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的解釋，波爾氫原子模型。

（2）量子態(tài)與波函數(shù)。這一部分主要講授量子力學(xué)如何描述某一時(shí)刻的物理系統(tǒng)，以及與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的關(guān)系。主要內(nèi)容包括波函數(shù)、量子態(tài)的概念、態(tài)疊加原理、狄拉克符號(hào)、本征態(tài)的概念、幾率幅的概念、不確定原理。這部分內(nèi)容在整個(gè)量子力學(xué)中起到綱領(lǐng)的地位，其重要性不言而喻。對(duì)這部分內(nèi)容的講述，作者建議參考國(guó)外優(yōu)秀教材及參考文獻(xiàn)[1][2]。文獻(xiàn)[1]的作者狄拉克，是量子力學(xué)發(fā)展史中最偉大的科學(xué)家之一，狄拉克親自編寫的教材，也為后世所稱道。文獻(xiàn)[2]是由著名粒子物理學(xué)家櫻井純所著，受到諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主史溫格的高度評(píng)價(jià)。

（3）薛定諤方程及一維定態(tài)問(wèn)題。宏觀地看，任何物理理論都包含兩個(gè)部分：一是如何描述某一時(shí)刻的物理體系;二是如何預(yù)言這個(gè)物理體系隨時(shí)間的演化。量子態(tài)與波函數(shù)，以及相關(guān)的種種概念，回答的都是量子力學(xué)如何描述某一時(shí)刻的物理體系。下一個(gè)問(wèn)題是，量子態(tài)隨時(shí)間的演化。于是，首先要講授的是連續(xù)表象下的薛定諤方程。求解薛定諤方程僅限于一維勢(shì)阱和一維勢(shì)壘。如前所述，一維諧振子薛定諤方程的求解將不做講授。

（4）抽象形式與矩陣。這一部分以狄拉克符號(hào)為基礎(chǔ)，系統(tǒng)地給出量子力學(xué)的抽象形式，以及力學(xué)量算符的矩陣表示。離散表象下物理系統(tǒng)隨時(shí)間的演化也將在這一部分講授。對(duì)此，《費(fèi)曼物理學(xué)講義》第三卷中提供了很好的例子，即雙態(tài)系統(tǒng)。費(fèi)曼找到了許多雙態(tài)系統(tǒng)的有趣例子，如氨分子的翻轉(zhuǎn)，苯分子的能量，染料分子對(duì)光的吸收，等等。雙態(tài)系統(tǒng)的希爾伯特空間只有二維，此時(shí)薛定諤方程的求解甚至比一維勢(shì)阱更加簡(jiǎn)單，然而卻可以向?qū)W生展現(xiàn)明晰的物理圖像。

（5）算符本征值的代數(shù)解法。主要包括構(gòu)造產(chǎn)生、湮滅算符來(lái)求解諧振子能量本征值與本征態(tài)，以及構(gòu)造升降算符來(lái)求解角動(dòng)量算符的本征值與本征態(tài)。同時(shí)，為了解釋角動(dòng)量算符是轉(zhuǎn)動(dòng)生成元，這部分內(nèi)容將包含另一主題：僅憑分析空間轉(zhuǎn)動(dòng)的一般特征，來(lái)寫下繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的矩陣形式。這一推導(dǎo)方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的物理直覺(jué)是非常有益的。

（6）對(duì)稱性與守恒律。這一部分主要講授物理體系的對(duì)稱性與守恒量的關(guān)系，主要包括：空間平移對(duì)稱性導(dǎo)致動(dòng)量守恒，轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性導(dǎo)致角動(dòng)量守恒，時(shí)間平移對(duì)稱性導(dǎo)致能量守恒，鏡像反射對(duì)稱性導(dǎo)致宇稱守恒。

（7）全同粒子。這一部分講授玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)?？紤]到光學(xué)科學(xué)專業(yè)的學(xué)生有一部分會(huì)在未來(lái)接觸到激光原理，因而玻色統(tǒng)計(jì)會(huì)著重講授，除了傳統(tǒng)內(nèi)容外還包括玻色統(tǒng)計(jì)與諧振子產(chǎn)生、湮滅算符的關(guān)系，自發(fā)吸收、自發(fā)輻射、受激輻射間的平衡，如何從玻色統(tǒng)計(jì)推導(dǎo)普朗克黑體輻射公式。

最后一章的內(nèi)容是為光學(xué)專業(yè)的學(xué)生量身定制的。對(duì)于材料或微電子專業(yè)的學(xué)生，則可適當(dāng)選擇另一些更為切合他們專業(yè)的內(nèi)容，例如能帶結(jié)構(gòu)、半導(dǎo)體簡(jiǎn)介、約瑟夫森結(jié)，超導(dǎo)的唯象理論、朗道能級(jí)。

（二）教學(xué)方法

與大多數(shù)理論物理課程類似，量子物理的教學(xué)方式適宜在課堂上將板書(shū)與PPT相結(jié)合，并布置作業(yè)和思考題幫助學(xué)生課后鞏固。這里主要談一下，對(duì)于初學(xué)者，如何使他們覺(jué)得有悖常識(shí)的量子物理并非那么枯燥或可怕。

首先，可以盡可能多地使用理想實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)雖然在歷史上并未做過(guò)，然而，當(dāng)我們有了量子力學(xué)之后，可以回過(guò)頭告訴學(xué)生，如果有人去做這些實(shí)驗(yàn)，會(huì)得到什么結(jié)果。這些理想實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生跳過(guò)抽象的數(shù)學(xué)形式，直接感受到量子力學(xué)在物理上到底告訴我們什么，從而傳遞給他們較為清晰的物理圖像與物理思想。這里簡(jiǎn)單舉幾個(gè)例子。

第一個(gè)例子，從光學(xué)中的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)出發(fā)，可以引出波函數(shù)的概念以及波函數(shù)的絕大部分特征。比如，讓“光源”發(fā)出光子、電子、經(jīng)典子彈這三種粒子，可以知道微觀粒子有干涉效應(yīng)而經(jīng)典粒子沒(méi)有。比如，讓光源足夠弱，每過(guò)幾秒發(fā)出一個(gè)光子，發(fā)現(xiàn)干涉圖樣仍然存在，則可以推論出并非通過(guò)a縫的粒子與通過(guò)b縫的粒子相互干涉，而是，某種意義上粒子自己與自己干涉。比如，通過(guò)關(guān)閉雙縫中的一條，或者用別的辦法來(lái)探測(cè)粒子到底通過(guò)哪條縫，會(huì)發(fā)現(xiàn)，一旦知道了粒子所走的路徑，干涉就會(huì)消失。通過(guò)設(shè)想加上更多的縫和更多的擋板，還可以進(jìn)一步引出費(fèi)曼路徑積分的思想。

第二個(gè)例子，借助史特恩—格拉赫實(shí)驗(yàn)，就可以講清楚量子態(tài)與測(cè)量的關(guān)系，包括本征態(tài)、幾率幅。比方說(shuō)，將兩個(gè)史特恩—格拉赫實(shí)驗(yàn)裝置串聯(lián)，并使兩個(gè)裝置的磁場(chǎng)都指向z方向。假如當(dāng)粒子穿過(guò)第一個(gè)裝置后，將z方向自旋向下的一束擋住。當(dāng)粒子穿過(guò)第二個(gè)裝置后，不會(huì)進(jìn)一步分裂，而且自旋向上。如果仍然將兩個(gè)史特恩—格拉赫實(shí)驗(yàn)裝置串聯(lián)，但第二個(gè)裝置的磁場(chǎng)沿著x方向。當(dāng)粒子穿過(guò)第一個(gè)裝置后，如果仍然將z方向自旋向下的一束擋住，當(dāng)粒子通過(guò)第二個(gè)裝置后，會(huì)分裂成兩束，沿x方向自旋向上與向下的概率各一半。最后，將三個(gè)史特恩—格拉赫實(shí)驗(yàn)裝置串聯(lián)，第一個(gè)裝置磁場(chǎng)沿z方向，第二個(gè)裝置磁場(chǎng)沿x方向，第三個(gè)裝置磁場(chǎng)沿z方向。當(dāng)粒子穿過(guò)第一個(gè)裝置后，將z方向自旋向下的一束擋住。當(dāng)粒子穿過(guò)第二個(gè)裝置后，將x方向自旋向下的一束擋住。那么，當(dāng)粒子穿過(guò)第三個(gè)裝置后，將分裂為兩束，沿z方向自旋向上與向下的概率各一半。通過(guò)這些事實(shí)，可以歸納出幾率幅、本征態(tài)以及測(cè)量的一般特性。假如將自旋為1/2的粒子換成自旋為1的粒子，設(shè)想串聯(lián)一個(gè)個(gè)史特恩—格拉赫實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)，以及遮擋掉儀器內(nèi)的某些路徑，則可以討論更多內(nèi)容，可參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3]中的相應(yīng)部分。

第三個(gè)例子，通過(guò)介紹兩個(gè)粒子發(fā)生碰撞，最后在兩個(gè)特定方向被探測(cè)到的概率，就可以解釋全同粒子與非全同粒子的區(qū)別，玻色子與費(fèi)米子的區(qū)別。我們可以考慮a粒子被散射到A方向，b粒子被散射到B方向，以及a粒子被散射到B方向，b粒子被散射到A方向這兩種過(guò)程。如果兩個(gè)粒子是可區(qū)分的，比如一個(gè)是氦原子核一個(gè)是氧原子，或者是兩個(gè)自旋相反的電子，則這兩個(gè)過(guò)程不會(huì)相互干涉。當(dāng)兩個(gè)粒子是全同粒子，干涉效應(yīng)就會(huì)出現(xiàn)。對(duì)于全同玻色子，在干涉中兩個(gè)過(guò)程的振幅相加;對(duì)于全同費(fèi)米子，在干涉中兩個(gè)過(guò)程的振幅相減。

這些例子，都有充實(shí)的物理內(nèi)容和物理圖像，而不是抽象的概念與公式，因此更加容易被初學(xué)者所接受。選擇理想實(shí)驗(yàn)為切入點(diǎn)的另一個(gè)好處是，理想實(shí)驗(yàn)方便制作動(dòng)畫。相比于枯燥的公式，動(dòng)畫能令學(xué)生更加印象深刻。

另一方面，我們可以以定性或半定量的方式，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給學(xué)生展示更前沿或更廣泛的知識(shí)，來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣。這里舉兩個(gè)例子。第一個(gè)例子，在講授產(chǎn)生、湮滅算符時(shí)，可以告訴學(xué)生，這種代數(shù)方法不僅可以構(gòu)造諧振子的能量本征態(tài)，在不同的物理背景下還有不同的解釋和應(yīng)用，例如在量子場(chǎng)論里可以刻畫粒子數(shù)的增加和減少，在超對(duì)稱理論中可以刻畫玻色態(tài)和費(fèi)米態(tài)間的映射，在超弦理論里可以刻畫弦的不同激發(fā)態(tài)。這有助于學(xué)生弄清楚哪部分內(nèi)容是物理的，哪部分是數(shù)學(xué)的，并獲得一個(gè)印象：同樣的數(shù)學(xué)模型在不同的物理背景下可以有完全不同的解釋和應(yīng)用。第二個(gè)例子，在講授鏡像對(duì)稱性與宇稱守恒時(shí)，可以展開(kāi)討論在經(jīng)典物理中左和右是無(wú)法區(qū)分的，并介紹楊振寧、李政道二位先生發(fā)現(xiàn)宇稱不守恒定律，并由吳健雄通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證的故事。

（三）考核方式

考核方式與其他課程一樣，適宜采用期末卷面成績(jī)與平時(shí)成績(jī)結(jié)合的方式。平時(shí)成績(jī)?cè)瓌t上包括課堂表現(xiàn)和作業(yè)情況。然而，我建議，對(duì)于卷面分能到達(dá)85分以上的學(xué)生，平時(shí)成績(jī)可以無(wú)條件給予滿分。我深信自學(xué)能力是應(yīng)該受到足夠重視的。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主史溫格，大學(xué)期間幾乎沒(méi)去上過(guò)課，完全靠自學(xué)完成了深厚的知識(shí)積累。如果學(xué)生能通過(guò)自學(xué)達(dá)到卷面分85分以上，這樣的學(xué)生正是我們需要發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)的人才，應(yīng)當(dāng)予以鼓勵(lì)。

當(dāng)然，這就涉及卷面分85分的含金量，亦即期末考如何命題的問(wèn)題。我的建議是，試題應(yīng)有明顯的梯度。假如一個(gè)學(xué)生只學(xué)到波爾提出了氫原子模型，雖然未達(dá)到這門課程的要求，但是與沒(méi)學(xué)到任何東西還是有區(qū)別的。因此，試題中最簡(jiǎn)單的題，應(yīng)該能使這樣的學(xué)生也可以得分。所以，我為這部分學(xué)生設(shè)計(jì)了一種最簡(jiǎn)單的題型—連線題，將各個(gè)物理學(xué)家的人名與他們的貢獻(xiàn)連線。而最難的題，應(yīng)該是不僅要深刻理解物理概念和思想，而且能靈活運(yùn)用，并掌握一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力。換句話說(shuō)，最難的題應(yīng)該使最優(yōu)秀的學(xué)生也感到不那么容易。這種題，我建議可以對(duì)某個(gè)真實(shí)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程加以簡(jiǎn)化，要求學(xué)生對(duì)之進(jìn)行分析和計(jì)算，使用量子力學(xué)知識(shí)來(lái)定量地預(yù)言實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

剩余的題目，除了保證難度的梯度外，還應(yīng)尋求兩類學(xué)生間的平衡。一類是，很好地理解了物理概念，但數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力不足;另一類是，對(duì)物理概念的理解不夠清晰，但計(jì)算能力很強(qiáng)。我認(rèn)為這兩類學(xué)生的綜合水平難分伯仲，因此，命題時(shí)不能厚此薄彼。有鑒于此，我建議在傳統(tǒng)的計(jì)算題之外，設(shè)計(jì)一些專門考察概念理解的選擇題，例如在各個(gè)選項(xiàng)中區(qū)分經(jīng)典概率與量子概率，區(qū)分可觀測(cè)量與不可觀測(cè)量，區(qū)分不同算符能否有共同本征態(tài)。此外，還可以加入不需要通過(guò)計(jì)算，僅憑對(duì)概念的理解即可定性地預(yù)言實(shí)驗(yàn)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)分析題，例如史特恩—格拉赫實(shí)驗(yàn)、雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)全同粒子碰撞試驗(yàn)，等等，以此來(lái)考察對(duì)概念的理解。

三、結(jié)語(yǔ)

在本文中，作者從課程內(nèi)容的選取、教學(xué)方法的把握、考核的方式這三個(gè)方面，對(duì)如何給應(yīng)用物理專業(yè)的大二本科生開(kāi)設(shè)量子物理這門課程，給出了幾點(diǎn)淺見(jiàn)。這些意見(jiàn)來(lái)自幾年來(lái)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)、作者平時(shí)的思考以及與同行的探討。基于大二學(xué)生不具備全面接受傳統(tǒng)量子力學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)與物理基礎(chǔ)，這些意見(jiàn)中含有許多對(duì)傳統(tǒng)量子力學(xué)教學(xué)方式的改動(dòng)。改動(dòng)傳統(tǒng)教學(xué)方式的另一個(gè)原因是，對(duì)于應(yīng)用物理方向的學(xué)生而言，量子力學(xué)在他們未來(lái)的生涯中會(huì)有許多特殊的應(yīng)用，需要予以專門的引導(dǎo)。

筆者相信，認(rèn)真學(xué)習(xí)了本課程并取得合格成績(jī)的學(xué)生，對(duì)量子力學(xué)的基本原理和方法將會(huì)有清晰的理解。隨著后續(xù)對(duì)數(shù)學(xué)物理方法與理論力學(xué)的學(xué)習(xí)，他們將很容易通過(guò)自學(xué)補(bǔ)上課程中刪減的內(nèi)容。同時(shí)我也相信，勤奮認(rèn)真的學(xué)生，能通過(guò)本課程獲得足夠的基礎(chǔ)，在未來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)量子力學(xué)，以適應(yīng)各自工作的需要。我也希望，本課程除了在應(yīng)用方面的價(jià)值外，還能帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略量子力學(xué)的深刻而條理清晰的思想，感受自然界的美與和諧，并產(chǎn)生理解自然界的愿望。西方文化中從古希臘以來(lái)對(duì)純粹理性本身的追求，是當(dāng)下國(guó)內(nèi)教育中相對(duì)欠缺的，雖然這個(gè)問(wèn)題無(wú)法短時(shí)間解決，但筆者認(rèn)為，教師有責(zé)任做這方面的嘗試。

由于經(jīng)驗(yàn)和水平的限制，筆者所提的建議或許并不成熟，也并不全面。希望在以后的教學(xué)生涯中，能逐步完善對(duì)這門課程的把握，更好地為學(xué)生服務(wù)。

參考文獻(xiàn)

[1]P.A.M.Dirac著.量子力學(xué)原理 注釋版[M].北京：科學(xué)出版社， 2008.

[2]J·J·Sakurai著.現(xiàn)代量子力學(xué) 修訂版[M].北京：世界圖書(shū)出版公司，2006.

[3] [美]費(fèi)曼（Feynman，R.P.）等著.費(fèi)曼物理學(xué)講義 第3卷[M].《費(fèi)曼物理學(xué)講義》翻譯組，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1989.