形象化教學(xué)基礎(chǔ)課程探討研究

宋娟

[摘 要] “線性代數(shù)”是大學(xué)階段理工科專業(yè)學(xué)生重要的基礎(chǔ)課程之一，具有概念抽象、學(xué)生難學(xué)、教師難教、應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)。針對(duì)此，從直觀的幾何角度通過(guò)對(duì)線性代數(shù)中線性方程組概念的形象化教學(xué)，幫助學(xué)生將抽象的概念形象化。基于線性代數(shù)中概念的應(yīng)用舉例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的內(nèi)驅(qū)力。最后，結(jié)合線性代數(shù)的國(guó)內(nèi)教材及國(guó)際教材教學(xué)對(duì)比分析情況，提出了通過(guò)調(diào)整“線性代數(shù)”的考核方式來(lái)適應(yīng)線性代數(shù)現(xiàn)代化教學(xué)需求的方案。

[關(guān)鍵詞] 線性代數(shù); 線性方程組;形象化教學(xué);應(yīng)用舉例;考核方式

[基金項(xiàng)目] 2019年度江南大學(xué)教改項(xiàng)目“全英文大學(xué)數(shù)學(xué)課程研究與建設(shè)”（JG2019096）

[作者簡(jiǎn)介] 宋 娟（1982—），女，江蘇宿遷人，博士，江南大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。

[中圖分類號(hào)] G642? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2021）47-0091-04? ? [收稿日期] 2021-05-06

一、引言

“線性代數(shù)”是大學(xué)階段理工科、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)必修的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)、后期專業(yè)課程的學(xué)習(xí)、編程能力的培養(yǎng)、解決問(wèn)題及創(chuàng)新實(shí)踐能力的培養(yǎng)具有重要的作用[1，2]。但是，據(jù)調(diào)研，學(xué)生對(duì)“線性代數(shù)”的學(xué)習(xí)往往停留在記概念、記定理，甚至做題思路都是死記硬背的層面，對(duì)其中的概念等理論知識(shí)往往不能真正理解，從而不能真正體會(huì)“線性代數(shù)”的意義。因此，課程學(xué)完后往往不能應(yīng)用線性代數(shù)去解決實(shí)際問(wèn)題。

事實(shí)上，“線性代數(shù)”中很多概念具有深遠(yuǎn)的意義，且“線性代數(shù)”在諸多領(lǐng)域如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、預(yù)測(cè)及優(yōu)化中均有廣泛的應(yīng)用。那么，如何把抽象的線性代數(shù)，以形象、易懂的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，并用有趣的例子展示線性代數(shù)的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的主觀能動(dòng)性，是我們應(yīng)該深刻思考的問(wèn)題。

下面結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，舉例闡述線性代數(shù)概念的形象化教學(xué)，基于線性代數(shù)的應(yīng)用舉例來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的內(nèi)在動(dòng)力。通過(guò)線性代數(shù)的國(guó)內(nèi)國(guó)際教材對(duì)比分析，及國(guó)內(nèi)的教學(xué)環(huán)境分析，認(rèn)為通過(guò)適當(dāng)調(diào)整“線性代數(shù)”的考核方式可以有效適應(yīng)線性代數(shù)的現(xiàn)代化教學(xué)需求。

二、線性方程組解的概念的形象化教學(xué)

線性方程組的解是線性代數(shù)的主線，也是線性代數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，在科學(xué)、工程和生活中均具有廣泛的應(yīng)用。針對(duì)此，本文以線性方程組的解為例，從幾何的角度對(duì)這個(gè)概念進(jìn)行形象化闡述，幫助學(xué)生更好地掌握這個(gè)概念，為學(xué)生以后利用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題奠定一定的基礎(chǔ)。

線性方程組的解，從幾何圖形上看，可以看成線性方程組中各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的圖形的交集。下面，分別以包含兩和三個(gè)未知變量的線性方程組為例進(jìn)行說(shuō)明，含有多個(gè)未知變量的多元線性方程組可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行自然的推廣。下面首先以三個(gè)二元線性方程組為例進(jìn)行說(shuō)明。

二元一次方程表示一條直線。很顯然，方程組（1）中兩個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的直線的斜率不同，所以是兩條相交的直線，兩相交直線的交集為其交點(diǎn)，此時(shí)，交點(diǎn)為方程組的唯一解;方程組（2）中兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的直線的斜率相同，但截距不同，所以是兩條平行的直線，兩平行直線無(wú)交集，此時(shí)，方程組無(wú)解;方程組（3）中兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的直線的斜率相同，截距相同，是兩條重合的直線，兩重合直線的交集為這條直線上所有點(diǎn)，此時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，即為直線上所有的點(diǎn)。

把上面的幾何語(yǔ)言引入矩陣的秩進(jìn)行重新闡述，即為線性方程組解的判定定理。再以三元線性方程組為例進(jìn)行說(shuō)明。

由空間解析幾何知，對(duì)于方程組（4），第一個(gè)方程表示法向量為n1=（3，5，-4）的平面，第二個(gè)方程表示法向量為n2=（-3，-2，4）的平面，第三個(gè)方程表示法向量為n3=（6，1，-8）的平面，三個(gè)平面的法向量既不平行，也不垂直，是三個(gè)兩兩相交且不垂直的平面。因第一個(gè)平面和第二個(gè)平面的交線L的方向向量為n1×n2=（12，0，9），第二個(gè)平面和第三個(gè)平面交線M的方向向量為n2×n3=（12，0，9），第一個(gè)平面和第三個(gè)平面交線K的方向向量為n1×n3=（12，0，9），很顯然，直線L、M與K的方向向量相同，且直線L、M和K均過(guò)點(diǎn)（1/3，2，1），因此三個(gè)平面的交集為直線L，直線L上所有點(diǎn)為第一個(gè)方程組的解。此時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。

對(duì)于方程組（5），三個(gè)方程表示三維空間直角坐標(biāo)系中相互垂直的三個(gè)平面，原點(diǎn)為唯一交點(diǎn)，此時(shí)，原點(diǎn)為方程組唯一解。

對(duì)于方程組（6），三個(gè)平面的法向量互相平行，且第一個(gè)方程過(guò)（0，0，1）點(diǎn)，不在第二個(gè)方程和第三個(gè)方程確定的平面上，第二個(gè)方程過(guò)（0，0，2）點(diǎn)，不在第一個(gè)方程和第三個(gè)方程確定的平面上，第三個(gè)方程過(guò)（0，0，3）點(diǎn)，不在第一個(gè)方程和第二個(gè)方程確定的平面上。因此，三個(gè)方程所確定的三個(gè)平面是互相平行且不重合的，此時(shí)，方程組無(wú)解。

類似地，對(duì)于包含三個(gè)未知數(shù)的方程組的解，在引入矩陣的秩后，可以將上面的幾何語(yǔ)言采用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩的關(guān)系重新闡述為線性方程組解的判定定理。

三、“線性代數(shù)”應(yīng)用舉例

為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”的興趣，讓學(xué)生感受線性代數(shù)是因用而學(xué)，且學(xué)習(xí)的目的是學(xué)以致用，下面以“線性代數(shù)”在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)以及未來(lái)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用為例進(jìn)行闡述。

（一）計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用：物體的投影

三維物體在二維計(jì)算機(jī)屏幕上的顯示方法就是把它投影到一個(gè)可視平面上。三維物體和二維物體若僅考慮其形狀，則物體上每一點(diǎn)有其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)（x，y，z），那么它投影到計(jì)算機(jī)屏幕上的坐標(biāo)（x*，y*，0）是如何確定的？這個(gè)問(wèn)題可以利用線性代數(shù)中的線性變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。

例：設(shè)三維空間中一長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，1，6），（5，1，6），（5，0，6），（4，0，6），（4，1，2），（5，1，2），（5，0，2），（4，0，2），求此長(zhǎng)方體在投影中心為（0，0，9）的透視投影下的像。

投影坐標(biāo)可用投影矩陣P及長(zhǎng)方體三維坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣得到。

每一列的前三行除以第四行的對(duì)應(yīng)元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為長(zhǎng)方體投影后計(jì)算機(jī)屏幕上圖形的頂點(diǎn)。上面的這個(gè)例子顯示，基于“線性代數(shù)”中矩陣的乘法，可以方便確定出空間三維物體在計(jì)算機(jī)屏幕上的顯示圖形。

（二）未來(lái)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

因未來(lái)預(yù)測(cè)在生活、商業(yè)中具有重要作用，下面我們以線性代數(shù)在未來(lái)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用為例。假設(shè)A市只有一個(gè)機(jī)場(chǎng)、市中心和火車站。在A市，出租車公司大約有3000輛汽車，開(kāi)始分配在機(jī)場(chǎng)、市中心和火車站三個(gè)點(diǎn)的車輛分別為500、1500、1000。據(jù)統(tǒng)計(jì)，出租車由機(jī)場(chǎng)出租后回到機(jī)場(chǎng)、市中心、火車站的概率分別為0.9、0.01、0.09，由市中心出租后回到機(jī)場(chǎng)、市中心、火車站的概率分別為0.01、0.9、0.09，由火車站出租后回到機(jī)場(chǎng)、市中心、火車站的概率分別為0.09、0.01、0.9。那么，第六天機(jī)場(chǎng)、市中心、火車站三個(gè)站點(diǎn)分別有多少輛出租車被租出或準(zhǔn)備出租？隨著天數(shù)的增加，三個(gè)地點(diǎn)所需的出租車輛會(huì)不會(huì)大約固定，若固定，三個(gè)站點(diǎn)該如何分配出租車的比例？

顯然，第五天各個(gè)站點(diǎn)的車輛分別768、958、1274輛。

即三個(gè)站點(diǎn)分配的出租車基本固定，大約為210、450、2340輛。

四、結(jié)語(yǔ)

本文以線性方程組的解為例，對(duì)“線性代數(shù)”中的抽象概念進(jìn)行其幾何意義下的闡述講解，從而將抽象的線性代數(shù)概念形象化，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念、升華概念，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定一定的基礎(chǔ)。為進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“線性代數(shù)”是以需求為牽引，內(nèi)需為導(dǎo)向，介紹了“線性代數(shù)”中的線性變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中及在未來(lái)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生利用線性代數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

最后，基于中外線性代數(shù)教材的比較[1，3]及國(guó)內(nèi)的教學(xué)環(huán)境分析，筆者認(rèn)為多元化“線性代數(shù)”的考核方式可以有效促進(jìn)線性代數(shù)的教學(xué)與國(guó)際接軌，適應(yīng)現(xiàn)代化教學(xué)需求。

目前，國(guó)內(nèi)高校“線性代數(shù)”考核方式基本是閉卷考試，能較好考查學(xué)生掌握教材上基本知識(shí)點(diǎn)的情況，也能有效促進(jìn)學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)掌握用途較多的“線性代數(shù)”這門(mén)課的基本知識(shí)點(diǎn)。但是，目前國(guó)內(nèi)的教材關(guān)于一些概念的背景及應(yīng)用與國(guó)外的教材相比，還是相對(duì)較少的。

為了彌補(bǔ)這方面的不足，可以考慮將“線性代數(shù)”的考核按比例分為閉卷和開(kāi)卷兩部分。閉卷部分就是我們目前的考試方式，占考核的主要比例。開(kāi)卷部分可以設(shè)為類似于國(guó)外線性代數(shù)教材中的應(yīng)用性問(wèn)題的考核，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以考促學(xué)，考學(xué)相長(zhǎng)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力及學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以適應(yīng)現(xiàn)代化的線性代數(shù)教學(xué)需求。

參考文獻(xiàn)

[1]David C. Lay， Steven R. Lay， Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications （Fifth Edition）[M].劉深泉，張萬(wàn)芹，陳玉珍，等譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2018.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]王正盛.中外線性代數(shù)教材的比較與探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（1）：200-203.