非線性條件的高中物理習(xí)題解決方法探討

汪鵬

摘? ?要：在物理習(xí)題的解決過程中，學(xué)生較為擅長(zhǎng)根據(jù)恒定或是線性變化的已知條件求解問題，但是對(duì)于非線性條件的物理習(xí)題則難以順利解決。文章以四道習(xí)題為例，探討微元法和轉(zhuǎn)化法在非線性物理習(xí)題解決中的有效運(yùn)用，闡述此類習(xí)題解決過程對(duì)學(xué)生科學(xué)思維的有效培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：非線性;微元法;轉(zhuǎn)換法

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）12-0057-3

學(xué)生在中學(xué)物理習(xí)題解決過程中，利用某些恒定的物理量解決問題，問題解決過程較為簡(jiǎn)單，如恒力做功問題、勻速運(yùn)動(dòng)問題等。而當(dāng)問題解決所必須的物理量并非恒定，呈線性變化時(shí)，習(xí)題解決過程則稍顯復(fù)雜一些，如勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題，均勻變化的力的做功問題等。此類問題利用數(shù)學(xué)公式的轉(zhuǎn)化、圖像法等方法也可以較好地得到解決。但是，如果解決問題所必須的物理量是非線性變化的，那么問題的解決則非常復(fù)雜，對(duì)學(xué)生提出了非常高的要求。

非線性條件的物理習(xí)題解決一直都是物理教學(xué)中的難點(diǎn)，筆者以4道習(xí)題為例，探討微元法和轉(zhuǎn)化法在此類問題中的有效應(yīng)用。

1? ? 微元法

微元法是指在處理復(fù)雜物理問題中，將其分解為一個(gè)個(gè)微小的單元，通過對(duì)這些單元進(jìn)行細(xì)致分析，找到特定的性質(zhì)或者規(guī)律，再從局部到整體，歸納出合適的結(jié)論。在非線性物理問題中，可以利用微元法將其“非線性”轉(zhuǎn)化為“線性”或是“恒定”，從而達(dá)成問題的解決。

1.1? ? 物理參量微元

當(dāng)物理問題中的某些參量情況非常復(fù)雜時(shí)，通過對(duì)其進(jìn)行微元，研究其中任意一份，運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法求出整體的運(yùn)動(dòng)或是受力情況。

例1 在水平外力F的作用下，質(zhì)量為50 kg的物體，沿著直徑為60 m的水平圓形軌道勻速運(yùn)動(dòng)一周，已知物體與圓形軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.8，π取3.14，則外力所做的功為（? ? ? ?）

A.0? ? ? ? ? ? B.7.536×104 J

C.1.25×104 J D.2.536×104 J

解析 恒力做功且物體沿著直線運(yùn)動(dòng)的情況可以直接套用做功的公式，但是對(duì)于變力做功、曲線運(yùn)動(dòng)等問題則無法直接應(yīng)用公式。此問題是非常典型的非線性問題，對(duì)此可以采用微元法，對(duì)問題情境中的某一物理參量進(jìn)行微元。取圓周軌道的任意一極短線段Δl，即可認(rèn)為物體在此極短線段Δl上的運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槲矬w全程均為勻速運(yùn)動(dòng)，則水平外力F等于摩擦力，F(xiàn)=μmg=400 N。在Δl上F所做的功：W1=F·Δl1=400Δl1。對(duì)于整個(gè)過程中，F(xiàn)做的總功為：

W=W1+W2+…=400Δl1+400Δl2+…=400×2π×30=7.536×104 J。

1.2? ? 物理過程微元

當(dāng)研究的物理對(duì)象運(yùn)動(dòng)過程非常復(fù)雜時(shí)，將其運(yùn)動(dòng)過程或按時(shí)間、或按位移進(jìn)行微元，則微元后的任一過程均可采用高中的物理知識(shí)處理，再對(duì)每個(gè)過程進(jìn)行數(shù)學(xué)求和，即可得到物體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律。

例2 如圖1所示，質(zhì)量為m的金屬桿水平放在光滑導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，一端連接一阻值為R的電阻，忽略其他電阻，垂直于導(dǎo)軌平面有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。金屬桿有一向右的初速度v0，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少？

解析 由題意可知，金屬桿向右運(yùn)動(dòng)是加速度不斷變化的減速運(yùn)動(dòng)，且其加速度變化是非線性的，故無法直接利用諸多物理公式進(jìn)行求解。此類問題也是典型的非線性問題，因其運(yùn)動(dòng)過程異常復(fù)雜，故采用對(duì)其運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行微元的方法。

2? ? 轉(zhuǎn)換法

轉(zhuǎn)換法是指在保證作用效果相同的前提下，將復(fù)雜難以處理的變量轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易處理的對(duì)象，用較為簡(jiǎn)單的因素代替復(fù)雜的因素，使問題得以化簡(jiǎn)，便于求解。在非線性問題中，利用物理問題中參量在某一方面的等效，可以將非線性的參量轉(zhuǎn)化為其他線性、恒定的物理量，從而大大降低問題解決的難度。

2.1? ? 能量轉(zhuǎn)化

某些問題的過程和情境可能是非常復(fù)雜的，很多細(xì)節(jié)都非常難以把握。但是，從能量的角度出發(fā)，有效把握始末狀態(tài)，對(duì)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行有效的忽略或是規(guī)避，將整個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單、熟知的過程，則可以輕松地解決問題。

例3? 如圖2所示，細(xì)線的一端系一個(gè)小球，另一端固定在O點(diǎn)。在水平拉力F作用下，小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)。在此過程中拉力的瞬時(shí)功率變化情況是（ ）

A.逐漸增大? ? ? ? ? ? B.逐漸減小

C.先增大，后減小? ? D.先減小，后增大

解析 由題意可知，在小球做圓周運(yùn)動(dòng)過程中，拉力F的大小一直在改變，并且小球的速度也是每時(shí)每刻改變，這是一個(gè)典型的非線性問題。但是，若從能量的角度進(jìn)行考慮，問題的解決則變得非常簡(jiǎn)單[1]。由動(dòng)能定理得：EB-EA=WG-WF，因?yàn)樾∏蛩俾屎愣ǎ云鋭?dòng)能的變化量EB-EA=0，即此運(yùn)動(dòng)情境中拉力的功率在數(shù)值上與重力的功率相等。故拉力功率的變化問題可以轉(zhuǎn)換為重力功率的變化問題，而重力的大小、方向均恒定不變，小球在豎直方向的速度越來越快，故其功率逐漸增大。

2.2? ? 模型轉(zhuǎn)化

在非線性問題中，若可以將問題的復(fù)雜情境有效轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的一些典型模型，或是將非理想模型轉(zhuǎn)化為理想化模型，則對(duì)于問題的解決有著極大的幫助。

例4 如圖3甲所示，內(nèi)壁光滑的豎直圓筒，半徑為R，在側(cè)壁同一豎直線上有A、B兩小孔相距h，將一小球從上部 A孔沿筒內(nèi)壁水平射入筒中，小球緊貼筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，并恰好能到達(dá)下部小孔B，所用時(shí)間為t1，到達(dá)下部小孔B時(shí)的速度大小為vB。如圖3乙所示，用光滑細(xì)鋼絲繞成的螺距相同的柱形螺線管，橫截面半徑也為R，豎直固定放置。鋼絲上下兩端C、D也恰好在同一豎直線上，相距h，一小銅環(huán)穿在鋼絲上從上端C無初速下滑到達(dá)底端D，所用時(shí)間為t2，到達(dá)D端時(shí)的速度大小為vD，二者相比較，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.t1=t2 ? ? B.t1<t2

C.vB=vD D.vB>vD

3? ? 對(duì)于科學(xué)思維的培養(yǎng)

科學(xué)思維是物理核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，是從物理學(xué)視角對(duì)于客觀事物的本質(zhì)、規(guī)律以及相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)方式，主要涵蓋科學(xué)推理、模型建構(gòu)、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素[2]。非線性條件的物理習(xí)題解決過程，綜合訓(xùn)練了學(xué)生的科學(xué)推理能力和模型建構(gòu)能力，既是學(xué)生物理知識(shí)與技能的運(yùn)用過程，更是學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)過程。

非線性條件的物理習(xí)題解決的難點(diǎn)主要有兩點(diǎn)，一是問題情境異常復(fù)雜，常涉及到不規(guī)則物體、變力做功、運(yùn)動(dòng)方向時(shí)刻改變等情況;二是問題的解決無法直接套用任何物理定律或是模型，學(xué)生面對(duì)問題沒有具體的思路，常會(huì)感到無從下手。

在此類習(xí)題的教學(xué)過程中，教師要梳理、顯化科學(xué)推理方法，幫助學(xué)生在問題情境中抽取有效信息，找準(zhǔn)思維的著力點(diǎn)[3]。在習(xí)題訓(xùn)練中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的微分思想和轉(zhuǎn)化等效思想，創(chuàng)新學(xué)生的思維認(rèn)知，幫助學(xué)生克服非線性條件所帶來的認(rèn)知障礙，使學(xué)生能夠在陌生的非線性環(huán)境中找到自己所熟悉的線性關(guān)系或是模型，從而達(dá)成問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]左祥勝.變力做功的計(jì)算方法[J].物理教師，2012，33（11）：15-16.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]王勝華.強(qiáng)化論證推理? 培養(yǎng)科學(xué)思維——以2019年高考全國(guó)物理Ⅱ卷第25題為例[J].物理教師，2020，41（03）：81-82.

（欄目編輯? ? 羅琬華）