有關(guān)恒成立問題的“一題多解”

王榕

【摘要】? 新課標(biāo)下的高考越來越注重對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考查，而恒成立問題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，解題方法多樣，綜合能力強(qiáng)，可以從多方面考查學(xué)生的邏輯思維能力和解題能力.近幾年的數(shù)學(xué)高考和各地的模擬考、聯(lián)考中頻頻出現(xiàn)有關(guān)恒成立的問題，雖然題目形式上逐漸多樣化，但是都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)密不可分.解決恒成立問題常有以下幾種方法：①構(gòu)造函數(shù)法;②分離參數(shù)法;③數(shù)形結(jié)合法.本篇文章以2020年高考理科數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅰ卷的一道高考題為引，來闡述解決恒成立問題的多種奇思妙解.

【關(guān)鍵詞】? 恒成立;構(gòu)造函數(shù)法;分離參數(shù)法;數(shù)形結(jié)合法

一、方法總結(jié)

1.構(gòu)造函數(shù)法

在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，即構(gòu)造函數(shù)法，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖像和性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決問題.

2.分離參數(shù)法

分離參數(shù)法就是把變?cè)蛥?shù)通過等價(jià)變形分別寫在等式或者不等式的兩側(cè)，然后只需要研究不含參數(shù)的那個(gè)函數(shù)就可以解決問題.一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).

3.數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合相互滲透，使得代數(shù)問題和幾何問題相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合法主要是通過對(duì)不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖像間的關(guān)系進(jìn)行求解.

本文以2020年高考理科數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅰ卷第21題為例，淺談解決恒成立問題的方法.

二、典例分析

三、總結(jié)

一般來說，對(duì)于含參數(shù)恒成立求參數(shù)范圍的問題，構(gòu)造函數(shù)法是一種比較中規(guī)中矩的方法，但有時(shí)對(duì)于含參的分類討論要求較高，難度較大，需要較強(qiáng)的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.對(duì)于例1而言，方法一和方法二的難度顯而易見.相比于構(gòu)造新函數(shù)，分離參數(shù)法對(duì)于學(xué)生而言難度大大降低.通過觀察，當(dāng)不等式中的參數(shù)能夠與其他變量完全分離出來，并且分離后的不等式一邊的函數(shù)性質(zhì)較容易研究，我們首選分參的方法.對(duì)于例1，顯然數(shù)形結(jié)合的方法不適用，這種方法局限性較強(qiáng)，只適用于不等式中涉及的函數(shù)或代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像較易畫出時(shí)，比如例2，才可以通過圖像的位置關(guān)系建立不等式，進(jìn)而求參數(shù)范圍.其中，解決恒成立問題比較快捷的方法就是找出必要條件，這樣可以縮小參數(shù)范圍，大大減少分類討論的情況.對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)，要注意考慮去絕對(duì)值符號(hào)的方法.因此，很多恒成立問題都可以從多個(gè)角度去探索，這也是解決數(shù)學(xué)問題的奧妙所在.

【參考文獻(xiàn)】

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