佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 李曉慧 王 鳳 張 楠 李 霞 楊豫暉

“雞兔同籠”出自人教版四年級下冊第9 單元數(shù)學(xué)廣角部分，其教學(xué)內(nèi)容包含了眾多數(shù)學(xué)史料、豐富的數(shù)學(xué)思想和精神，是設(shè)計數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源和實踐數(shù)學(xué)文化教學(xué)的重要切入點之一。故課題組邀請了兩位經(jīng)驗豐富的教師嘗試對小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化資源進行挖掘和設(shè)計，并進行同課異構(gòu)教學(xué)實踐。本文基于上述兩份課例的數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計進行比較分析，嘗試為一線教育工作者進行數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計提供案例支撐和實踐性指導(dǎo)。

一、相關(guān)概念界定

（一）數(shù)學(xué)文化

學(xué)術(shù)界關(guān)于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵至今尚無統(tǒng)一的界定。孫宏安認為數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)相關(guān)者在從事數(shù)學(xué)活動時的“內(nèi)環(huán)境”，是人類適應(yīng)數(shù)學(xué)活動的環(huán)境與創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動自身及其成果的總和。楊豫暉結(jié)合數(shù)學(xué)文化教學(xué)實踐對以上界定的關(guān)鍵要素（內(nèi)環(huán)境、活動、成果）進行具體的闡釋：“內(nèi)環(huán)境”為數(shù)學(xué)共同體在進行數(shù)學(xué)活動時的“精氣神”；“活動”由“內(nèi)環(huán)境”引發(fā)和驅(qū)動，在教師設(shè)計的數(shù)學(xué)問題情境中數(shù)學(xué)共同體經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，以及進行文化創(chuàng)造的過程；“成果”為數(shù)學(xué)共同體所創(chuàng)造的文化成果，包括精神產(chǎn)品和物質(zhì)產(chǎn)品。

本文在現(xiàn)有理論之上，將數(shù)學(xué)文化界定為在教師引導(dǎo)和師生互動中雙方共同經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動的過程以及在活動中創(chuàng)造的文化產(chǎn)品的總和。其中，創(chuàng)造的產(chǎn)品有領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神等隱性產(chǎn)品，以及學(xué)生獲得的新知識和作品等顯性產(chǎn)品。

（二）數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》指出，數(shù)學(xué)課程資源包括應(yīng)用于教與學(xué)活動中的各種資源?？追舱艿热颂岢龇彩怯欣跀?shù)學(xué)課程實施與生成的各種物質(zhì)和非物質(zhì)的條件和因素都可稱為數(shù)學(xué)資源。

基于上述觀點，本研究將數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源界定為能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的顯性和隱性資源。其中，顯性數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源指可以直接使用的物化材料，如各類書籍中與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活等素材；隱性數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源指內(nèi)隱的德育、智育和美育價值。

二、對比分析框架

數(shù)學(xué)文化相關(guān)的對比框架研究已有諸多成果，如王建磐等從欄目分布、運用形式等維度對教材中的數(shù)學(xué)文化進行對比分析。吳俊等從欄目分布、運用水平和呈現(xiàn)形式等維度對小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化進行比較研究。潘蕾瓊等人從數(shù)學(xué)文化類型及欄目設(shè)置情況、數(shù)學(xué)文化價值（德育價值、智育價值、美育價值）維度對中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)文化進行比較研究。結(jié)合本文對相關(guān)概念的界定，以上研究與本研究具有一定的相似性，有較大的借鑒意義。

基于此，本文的數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計的對比分析框架包括3 個一級維度。

（1）“數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源環(huán)節(jié)分布”為一級維度，其對應(yīng)的二級維度為導(dǎo)入環(huán)節(jié)、探究環(huán)節(jié)、練習(xí)環(huán)節(jié)和結(jié)束環(huán)節(jié)。

（2）“數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源運用形式”為一級維度，其對應(yīng)的二級維度為數(shù)學(xué)史運用形式（點綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式）和其他數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源運用形式[外在型、內(nèi)在型（可分離型和不可分離型）]。

（3）“數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源價值體現(xiàn)”為一級維度，其對應(yīng)的二級維度為德育價值、智育價值、美育價值。

三、“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計對比分析

（一）數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源環(huán)節(jié)分布

為了便于比較，本研究將按照課堂環(huán)節(jié)的先后順序?qū)煞菡n例中的數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源進行統(tǒng)計，如表1 所示。

表1 數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源環(huán)節(jié)分布

數(shù)量 1 4結(jié)合學(xué)生的認知水平對“雞兔同籠”題目進行改編和簡化。鼓勵學(xué)生大膽說出自己的猜測，體現(xiàn)學(xué)生的主體意識。鼓勵學(xué)生展示運用列表法解決問題的過程。鼓勵學(xué)生嘗試用自己喜歡的方法探究“雞兔同籠”問題的解答。鼓勵學(xué)生展示運用列表法解決問題的過程，隨之展示不同列表方式。—鼓勵學(xué)生展示運用假設(shè)法解決問題的過程，教師結(jié)合畫圖法進行補充。啟發(fā)學(xué)生展示運用畫圖法解決的過程。從畫圖法的探究中引出假設(shè)法，引導(dǎo)學(xué)生上臺展示運用假設(shè)法解決問題的過程?！龑?dǎo)學(xué)生對四種解法進行對比分析，滲透優(yōu)化的思想。數(shù)量 4 7展示并引導(dǎo)學(xué)生解決日本的“龜鶴算”問題。展示并引導(dǎo)學(xué)生運用假設(shè)法解決《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”原題。展示“抬腳法”，引導(dǎo)學(xué)生感受古人智慧的同時深入理解假設(shè)法。展示并引導(dǎo)學(xué)生解決由“雞兔同籠”改編的“植樹”問題。練習(xí)環(huán)節(jié)拓展學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“雞兔同籠”問題進行編題。數(shù)量 4 4結(jié)束環(huán)節(jié) 引導(dǎo)學(xué)生感悟知識的聯(lián)系，總結(jié)收獲。出示“植樹”問題，拋出提問：“總頭數(shù)？總腳數(shù)？兔腳數(shù)和雞腳數(shù)？”引導(dǎo)學(xué)生運用已有知識解決問題。數(shù)量 1 1總計 10 16

從上表可知，課例1 與課例2 的共同點有：以數(shù)學(xué)史為出發(fā)點，側(cè)重于挖掘教學(xué)內(nèi)容中蘊含的數(shù)學(xué)史料；將教學(xué)的核心放在探究環(huán)節(jié)，有力滲透了德育、智育和美育價值；在練習(xí)環(huán)節(jié)均呈現(xiàn)了古人提出的“抬腳法”和日本的“龜鶴算”，并對“雞兔同籠”歷史名題進行改編，拓展學(xué)生的思維。

值得一提的是，課例2 的數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計較有特色，主要體現(xiàn)在五個方面：一是在導(dǎo)入環(huán)節(jié)融入較多的數(shù)學(xué)文化資源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；二是關(guān)注數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；三是重視引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會根據(jù)實際情況選擇合適的解法，滲透優(yōu)化的思想；四是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“雞兔同籠”問題自行改編，大膽表達自己的想法；五是結(jié)合學(xué)生的改編情況，自然而然地呈現(xiàn)“植樹”問題，促進知識遷移的同時留下懸念，激發(fā)學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的熱情。

（二）數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源運用形式

1.數(shù)學(xué)史的運用形式

本文采用華東師范大學(xué)汪曉勤教授建立的分析框架，按數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)程度，將數(shù)學(xué)史的運用形式分為五類。

（1）點綴式：孤立的圖片，如數(shù)學(xué)家畫像、反映數(shù)學(xué)主題的繪畫或攝影作品等。

（2）附加式：文字閱讀材料，包括數(shù)學(xué)家生平、數(shù)學(xué)概念、歷史上的數(shù)學(xué)問題、思想方法等。

（3）復(fù)制式：直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題、問題解法、定理證法等。

（4）順應(yīng)式：對歷史上的數(shù)學(xué)問題進行改編，使之具有適合于今日課堂教學(xué)的情境或?qū)傩浴?/p>

（5）重構(gòu)式：借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識。

其中：（1）（2）（3）為顯性呈現(xiàn)方式；（4）（5）為隱性呈現(xiàn)方式。

基于此，對兩份課例的數(shù)學(xué)史運用形式進行統(tǒng)計分析（表2）。

表2 課堂中運用數(shù)學(xué)史的五種方式及水平

由表2 可知，兩份課題均沒有涉及重構(gòu)式。不同點則體現(xiàn)在三個方面：一是課例1 主要運用的是復(fù)制式，課例2 則是附加式；二是相同內(nèi)容的運用形式不同；三是同一運用形式下的具體內(nèi)容的展現(xiàn)形式不同且拓展的內(nèi)容亦有差別。

總體而言，二者在運用形式上傾向于顯性呈現(xiàn)，隱性呈現(xiàn)形式較少。從運用形式的總量來看，課例2 較為豐富，資源設(shè)計更為流暢自然，符合學(xué)生的認知特點。

2.其他數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源運用形式

通過對比可知，課例1 僅涉及數(shù)學(xué)史，沒有涉及其他數(shù)學(xué)文化資源。課例2 涉及2 處其他數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源：一是從數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系中引出數(shù)學(xué)與榴蓮的相似之處；二是通過猜成語游戲，自然而然地引出“雞兔同籠”課題?？傮w看來，兩份課例的其他數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源甚少，存在進一步完善的空間。

（三）數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源價值體現(xiàn)

以下將從德育價值、智育價值和美育價值三方面對兩份課例進行對比分析。

1.德育價值

兩位教師善于借用《孫子算經(jīng)》中的名題和教材中的閱讀材料，用多種形式讓學(xué)生感受我國古代數(shù)學(xué)文化的博大精深，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。此外，教師在探究環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生通過化繁為簡、猜測、畫圖、列表、假設(shè)等方法獨立探究，培養(yǎng)學(xué)生自立自強、勇于探索的精神，逐漸樹立遠大理想并為之奮斗，體現(xiàn)德育價值。

二者不同的是，課例1 的教師把學(xué)生分成小組，以小組的形式進行探究，提升學(xué)生的凝聚力。課例2 的教師則是側(cè)重于鼓勵學(xué)生大膽猜想，用自己喜歡的方法來獨立探究問題，貫徹“我的課堂我做主，做學(xué)習(xí)的主人”的學(xué)習(xí)理念。

2.智育價值

兩份課例關(guān)于智育價值的體現(xiàn)如表3 所示。

表3 體現(xiàn)智育價值的數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源

從表3 可知，兩份課例在數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計方面都十分重視智育價值的滲透。此外，通過觀察上表發(fā)現(xiàn)，課例2 在滲透智育價值方面展現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化資源相對于課例1更為充盈，其設(shè)計方式值得參考與借鑒。

3.美育價值

通過分析可知，課例1 共有3 處體現(xiàn)美育價值：列表法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡潔美；假設(shè)法體現(xiàn)了對稱美；教師結(jié)合畫圖法加深學(xué)生對假設(shè)法的理解，并運用多媒體展示古人常用的“抬腳法”，讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的對稱美、邏輯美、簡潔美。

課例2 共有5 處體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的美育價值。除了課例1 體現(xiàn)的3 處外，還包含另外2 處：一是引導(dǎo)學(xué)生對四種解法進行類比優(yōu)化，滲透數(shù)學(xué)的類比美；二是鼓勵學(xué)生根據(jù)“雞兔同籠”問題進行編題，滲透創(chuàng)新美。

由此可見，兩份課例都關(guān)注了美育價值在數(shù)學(xué)課堂中的地位，并在教學(xué)中有意滲透數(shù)學(xué)之美，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)的審美能力。

四、思考與建議

（一）拓展顯性資源類別，豐富數(shù)學(xué)文化課堂

教師在進行小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計時，除了重視數(shù)學(xué)史的滲透外，應(yīng)多挖掘數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、日常生活、人文藝術(shù)等方面的聯(lián)系，豐富數(shù)學(xué)文化課堂。另外，科學(xué)技術(shù)、人文藝術(shù)等方面與數(shù)學(xué)密不可分，亦是數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計的有效素材，將數(shù)學(xué)與其融合，不僅能夠提高數(shù)學(xué)課堂的趣味性，而且有利于學(xué)生理解知識，感悟數(shù)學(xué)文化的多元性。

（二）平衡資源運用水平，優(yōu)化內(nèi)容呈現(xiàn)方式

在運用形式設(shè)計方面，應(yīng)豐富和平衡資源運用水平，優(yōu)化數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，幫助學(xué)生深入感受數(shù)學(xué)文化的魅力，逐漸實現(xiàn)由淺層理解到深層掌握的飛躍。另一方面，教師在教學(xué)中可以考慮多種其他數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的運用，引導(dǎo)學(xué)生多方面理解數(shù)學(xué)文化。

（三）重視隱性資源設(shè)計，關(guān)注德育價值滲透

德育在學(xué)生的終身發(fā)展中起著引領(lǐng)性作用，是素質(zhì)教育的重要組成部分，應(yīng)貫徹于所有學(xué)科之中。基于此，教師在進行數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計時，需關(guān)注德育價值的滲透，如通過師生互動、教輔工具等方式構(gòu)建與數(shù)學(xué)文化資源相關(guān)的德育情境等，以幫助學(xué)生獲得智育和美育的同時，形成良好的品行和德行，實現(xiàn)立德樹人的教學(xué)理念。