司友志 金穩(wěn)

摘 要：當球體在空氣中高速旋轉(zhuǎn)時，由于馬格努斯效應，球體會受到橫向的馬格努斯力的作用，其運動軌跡會發(fā)生彎曲而偏離正常的拋物線的現(xiàn)象。通過對球類運動項目中馬格努斯效應產(chǎn)生的原理進行分析、推理和研究，建立了三個球體運動模型：一是不考慮空氣阻力和馬格努斯力，只受重力影響的理想模型;二是不考慮旋轉(zhuǎn)，即沒有馬格努斯力，但是考慮空氣阻力的較為實際的球體運動模型;三是在第二種模型的基礎上再加上球體上旋引起的馬格努斯力的影響，并對三個模型都做了一定的數(shù)學分析計算，得到了每個模型在水平x方向和豎直y方向的速度v和位移隨時間的關系表達式，從動力學方程出發(fā)，綜合考慮空氣對球體運動的阻力作用和馬格努斯效應，對空中同時做平動和轉(zhuǎn)動的球體做受力分析，從而研究得到跳發(fā)上旋球時排球運動的弧線方程，進而可以算出偏移量。根據(jù)理論計算結(jié)果，我們可以結(jié)合實際情形，給出具有針對性的排球的教學和訓練指導，以加強訓練效果，提高專項運動技術水平。

關鍵詞：馬格努斯效應;伯努利定律;球速;旋轉(zhuǎn)速度;運動軌跡方程;偏移量;排球

中圖分類號：G804.63? 文獻標識碼：A? 文章編號：1009-9840（2021）06-0057-07

Magnus effect of volleyball smashing jump service

SI Youzhi， JIN Wen

（University of Science and Technology of China， Hefei 230026， Anhui， China）

Abstract：When the ball rotates at high speed in the air， due to the Magnus effect， the ball will be affected by the transverse Magnus force， and its trajectory will bend and deviate from the normal parabola. Based on the analysis， reasoning and research of the principle of Magnus effect in ball games， this paper establishes three ball motion models： one is the ideal model which is only affected by gravity without considering air resistance and Magnus force; the other is the more practical ball motion model which does not consider rotation， that is， without Magnus force， but considering air resistance; the third is the more practical ball motion model in the third part On the basis of the two models and the influence of Magnus force caused by the upward rotation of the sphere， the mathematical analysis and calculation of the three models are carried out， and the expressions of the relationship between the velocity V and displacement of each model in the horizontal X direction and vertical Y direction with time are obtained. Starting from the dynamic method， the resistance effect of the air on the sphere motion and the Magnus effect are comprehensively considered At the same time do translation and rotation of the ball to do force analysis， so as to get the arc equation of volleyball movement when jump serve topspin ball， and then can calculate the offset. According to the results of theoretical calculation， we can combine with the actual situation， give targeted volleyball teaching and training guidance， in order to strengthen the training effect and improve the technical level of special sports.

Key words：Magnus effect; Bernoulli's law; ball speed; rotational speed; motion trajectory equation; offset;volleyball

收稿日期：2021-05-08

作者簡介：司友志（1981- ），男，安徽宣城人，碩士，副教授，研究方向體育教育。

在當代排球比賽中，發(fā)球是唯一不受他人干擾，完全由自主完成的環(huán)節(jié)，也是隊伍發(fā)起的第一波進攻。發(fā)球的好壞可謂在很大程度上影響著比賽的輸贏。當代發(fā)球主要有兩種方式：一是大力跳發(fā)，二是發(fā)飄球。大力跳發(fā)由于其無與倫比的沖擊性、破壞性和觀賞性，越來越受到觀眾的認可，逐漸成為世界一流排球運動員的首選發(fā)球方式。特別是在世界男子排球比賽中，經(jīng)常可以欣賞到高質(zhì)量的大力跳發(fā)球，像意大利男排接應伊萬·扎伊采夫，古巴男排主攻維爾福來多·萊昂，中國男排接應江川等隊員的跳發(fā)球都十分出彩。

跳發(fā)球的優(yōu)勢具體表現(xiàn)在哪些方面呢？簡單來說有四點。第一，球本身速度特別快，經(jīng)?？梢赃_到120 km/h甚至130 km/h以上，而飄球速度通常只有60～70 km/h，故大力跳發(fā)留給接球隊員的反應時間相對來說短很多。第二，球速快帶來的沖擊力也特別大，很多隊員在取準位置后也難以接好。第三，更重要的，跳發(fā)球通常伴隨著強烈的旋轉(zhuǎn)，馬格努斯效應比較明顯，球在空中相對于沒有旋轉(zhuǎn)情況下的正常軌跡有著較大的偏移量，如上旋球會有較強烈的“急墜”現(xiàn)象，再加上較短的反應時間，給接球隊員帶來相當大的麻煩，因而大力跳發(fā)經(jīng)常能夠破壞對手一傳導致不到位甚至直接得分。第四，就是大力跳發(fā)球的觀賞性遠比發(fā)飄球的觀賞性要好。

什么是馬格努斯效應？簡單解釋是，一個旋轉(zhuǎn)的球在它周圍帶動一些空氣一起旋轉(zhuǎn)，在它周圍產(chǎn)生一種旋轉(zhuǎn)空氣的漩渦。這種循環(huán)空氣減慢了一側(cè)通過球的空氣流動，同時又使另一側(cè)的空氣加速。根據(jù)伯努利的原理，在速度較大的一側(cè)壓力較低，在空氣速度較小的一側(cè)壓力較高。由此產(chǎn)生的壓力不平衡導致垂直于球的旋轉(zhuǎn)軸及其速度作用的力，導致球的偏轉(zhuǎn)。

當然并不是排球運動才受到馬格努斯效應的影響，很多球類運動都受到其影響。比如足球里面有名的“香蕉球”，乒乓球的“弧圈球”，棒球、高爾夫球的拐彎球等。一直以來，部分研究人員對這一類現(xiàn)象用馬格努斯效應和伯努利定律進行了定性分析，偶爾也進行過動力學運動學的定量分析，如部分研究者分別對足球、網(wǎng)球、棒球做了相關運動的研究，潘慧炬也曾經(jīng)用女排發(fā)側(cè)旋球的例子進行了大致計算，但是當時的研究并未考慮到重力的影響，有所疏漏。特別對排球上旋球的研究相對較少，怎樣利用馬格努斯效應和伯努利定律更有效地指導運動員發(fā)出威脅更大的跳發(fā)球，讓對手防不勝防，從而達到破壞對手方一傳甚至直接得分的目的，這方面的研究就更少。因此，研究馬格努斯效應在排球等球類運動項目中的影響，對于相關球類運動項目的教學和訓練有著重要的指導意義和實踐意義。

1 研究方法

1.1 文獻資料法：查閱排球書籍并從知網(wǎng)和中國學術期刊網(wǎng)檢索排球發(fā)球相關文獻，對排球大力發(fā)球技術進行理論梳理，為后期研究做好理論基礎。

1.2 數(shù)理統(tǒng)計法：對世界一流排球運動員大力發(fā)球數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，為研究提供數(shù)據(jù)支撐。

2 各種條件下的排球運動規(guī)律

任何在空中行進的旋轉(zhuǎn)球都經(jīng)歷至少四種力：重力、氣動阻力、浮力和馬格努斯力。但是在用排球、足球等作為研究對象時，浮力相對于其他力來說是微小的，可以被舍去。

2.1 基本模型——只受重力時的運動規(guī)律

由簡單的高中物理知識，我們知道，當物體在空中只受重力而不考慮其他力的作用時，其運動軌跡應該是一條拋物線的一部分，具體由其初始條件決定。假設初速度為v0，擊球高度為h，初速度與水平面得夾角為θ，則有：

x：x=v0cosθ·t（1）

y：y=v0sinθ·t+12gt2（2）

式（2）中，令y=h，則可以求得發(fā)球時間為：

t=-v0sinθ+ v20sin2θ+2ghg（3）

整理可以得到不含時間t的只有橫縱坐標xy的關系即運動學方程式：

y=sinθcosθx+g2v20cos2θx2=v202sinθcosθ2v20cos2θx+g2v20cos2θx2

=12v20cos2θ（gx2+v20sin2θ-x）

如果取y=h，解方程則可以得到發(fā)球距離：

L=-v20sin2θ+v0 v20sin22θ+8ghcos2θ2g（4）

這是最理想的發(fā)球距離，可以得到最佳馬格努斯力和空氣動力，獲得最佳發(fā)球效果。實際發(fā)球過程中可根據(jù)不同發(fā)球距離考慮不同空氣阻力和馬格努斯力的影響。

2.2 阻力模型——空氣阻力對排球運動的影響

任何物體在空氣中運動都會受到空氣阻力的影響，空氣阻力的大小與物體截面積、相對運動速度、空氣粘滯系數(shù)等有關。

球體在空氣中以速度v運動，也可以由相對運動原理等效看成是空氣以速度v吹向靜止的球，球體受到的空氣阻力也就等效成運動的空氣對球的推力。

當球體速度不是很大時，其受到的空氣阻力大小可以表示為：

Ff=12Cdρv2A=kv2（5）

k=CDρA2=CDρ2·14πd2=CDρπd28（6）

其中，A是球體截面積，d是球體直徑，排球取d=0.21m;ρ是流體密度，常溫下空氣密度值為ρ=0.129 kg·m-3。CD是阻力系數(shù)。

實驗證明，繞流球體的阻力系數(shù)CD隨著繞流雷諾數(shù)Re的增加而減小。圖3繪出了粘性流體繞圓球流動的阻力系數(shù)CD隨Re數(shù)變化的實驗曲線，其臨界雷諾數(shù)Re=（2～3）×105。對應于圖3各區(qū)域的CD近似計算公式有：

CD=24Re，（Re<1，斯托克斯公式）

CD=24Re1+316Re，1≤Re<5，奧森公式

CD=24Re1+316Re12，5≤Re<100，奧森修正公式

CD=13Re，10<Re<1000，阿連公式

CD=0.44，500<Re<2-105，牛頓公式（7）

對于雷諾數(shù)，有

Re=ρvdμ（8）

μ是空氣粘度系數(shù)，常溫下其值約為1.85·105Pa·s。假設發(fā)球速度為v=120 km·h-1=33.3 m·s-1，則計算可得跳發(fā)球時排球在空氣中的雷諾數(shù)為

Re=48 762

所以可取CD=0.44，則可計算得到

k=9.83×10-4 kg·m-1。（9）

下面來求解其軌跡方程。根據(jù)受力分析可以列出動力學方程：

x：kv2cosα=-mdvxdt（10）

y：-mg+kv2sinα=mdvydt（11）

v=vx+vy

其中，α是某一時刻排球速度方向與水平的夾角大小。

在求解這個微分方程時，由于變量v是二次，故方程得不到解析解。為了求得解析解，我們用一個等效k1，使其滿足：

Ff=kv2=k1v

即有

k1=kv

這樣將方程降次，便能得到解析解。但是速度v并不是一個常數(shù)，而是隨時間t變化的。然而在我們研究的過程內(nèi)，初速度較大，持續(xù)時間短，重力會使得球體加速，空氣阻力使其減速，二者近似平衡，即我們認為這短時間內(nèi)速度基本不變。故有：

k1=kv0（12）

方程（9）（10）轉(zhuǎn)化為：

x：-k1vcosα=mdvxdt（10′）

y：mg-k1vsinα=mdvydt（11′）

又因為有：

vcosα=vx，vsinα=vy

方程化成：

x：k1vx=-mdvxdt（10″）

y：mg-k1vy=mdvydt（11″）

可以分別解得水平豎直方向上的速度隨時間的變化關系：

x：vxt=v0cosθe-k1mt（13）

y：vyt=v0sinθ-mgk1e-k1mt+mgk1（14）

兩個方向上速度分別對時間積分，進而可以得到兩個方向上位移隨時間的變化關系：

x：xt=mv0cosθk11-e-k1mt（15）

y：yt=mk1v0sinθ-mgk11-e-k1mt+mgk1t（16）

同樣，當y=h時，我們可以得到球體在空中的運動時間的數(shù)值解，再帶入x（t），則可以計算出發(fā)球距離。

2.3 旋轉(zhuǎn)模型——考慮空氣阻力和馬格努斯力的排球運動規(guī)律

當球體在空氣中的移動速度為v，自轉(zhuǎn)角速度為ω時，其受到的馬格努斯力的大小為：

FM=18πρd3ωv=k2v（17）

k2=18πρd3ω=18π×0.129×0.213ω=4.69×10-4ω

其中，ρ為空氣密度，d為排球直徑。

其實在球體運動過程中，ω也會隨著時間變化，準確地應該寫成ω（t）。但是球體運動時受到切向阻力應該遠遠小于法向阻力，即旋轉(zhuǎn)速度ω變化不大，我們直接認為其是一個定值，由初始條件決定。

馬格努斯力的方向是ω×v的方向，滿足右手螺旋定則，即右手四個指頭與大拇指垂直，四指從ω的方向卷向v的方向，此時大拇指的方向即是馬格努斯力的方向，垂直于速度方向。側(cè)向受力是基本均衡的，兩個力相反，并相互抵消。簡單來說，如果我們發(fā)的是一個水平的上旋球，則馬格努斯力的方向剛好是豎直向下的。

加上馬格努斯力后球體運動的動力學微分方程變?yōu)椋?/p>

Ff+FM=-mdvdt

兩個方向的分量為：

x：-kv2cosα-k2vsinα=mdvxdt（18）

y：mg-kv2sinα+k2vcosα=mdvydt（19）

同樣，這個方程無法求得解析解，我們用跟上面一樣的等效的一次形式的空氣阻力方程對方程進行簡化：

x：-k1vcosα-k2vsinα=mdvxdt（18′）

y：mg-k1vsinα+k2vcosα=mdvydt（19′）

再利用：

vcosα=vx，vsinα=vy

方程最終轉(zhuǎn)化成：

x：-k1vx-k2vy=mdvxdt（18″）

y：mg-k1vy+k2vx=mdvydt（19″）

下面我們需要來求解這組方程。首先由（18″）式可得：

vy=-mk2dvxdt-k1k2vx（20）

帶入到（19″）中，有

d2vxdt2+2k1mdvxdt+k21+k22m2vx=-k2gm（21）

其特征根方程為：

r2+2k1mr+k21+k22m2=0（22）

特征根為：

r1，2=-k1m±k2mi（23）

故方程的解的形式為：

vxt=v0e-k1tmC1cosk2tm+C2sink2tm+C3（24）

根據(jù)初始條件：

vx0=v0cosθ=v0C1+C3

mv'x0=-k1v0cosθ-k2v0sinθ=-k1vx（0）+k2v0C2

及方程（21）可以解得幾個未知常數(shù)分別為：

C1=cosθ+k2mgv0（k21+k22）

C2=-sinθ

C3=-k2mgk21+k22（25）

故vx表示為：

vxt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22cosk2mt-sinθsink2mt-k2mgk21+k22（26）

再將方程（23）帶入到方程（24）中，可以解得vy的通解為：

vy1t=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22（27）

我們設vyt的特解為vy2（t）。則vy表示為：

vyt=vy1t+vy2（t）（28）

將（28）帶入到（19″）有：

mg-k1（vy1+vy2）+k2vx=md（vy1+vy2）dt（29）

而vy的通解應該也滿足（19″）式，即

mg-k1vy1+k2vx=mdvy1dt（30）

則特解vy2（t）應該滿足的條件為：

-k1vy2=mdvy2dt（31）

解得：

vy2t=C4e-k1mt（32）

則vy的解為：

vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22+C4e-k1mt

根據(jù)初始條件，當t=0時，

vy0=v0sinθ=v0sinθ+k1mgk21+k22+C4

得到：

C4=-k1mgk21+k22（33）

則有：

vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22（1-e-k1mt）（34）

進一步分別對時間積分可以得到兩個方向的位移-時間關系：

x：xt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1cosk2mt+K2sink2mt）-K1]+C3t（35）

y：yt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1sink2mt-K2cosk2mt）+K2]-C4t-mk11-e-k1mt（36）

其中，常數(shù)項K1，K2分別為：

K1=k1C1+k2C2=k1k2mgv0（k21+k22）+k1cosθ-k2sinθK2=k2C1-k1C2=k22mgv0k21+k22+k1sinθ+k2cosθ（37）

可見兩個運動水平豎直兩個方向的位移隨時間的表達式的形式相對比較復雜，含有較多常數(shù)項。

3 分析與討論

上文我們主要建立了三個球體運動模型：一是不考慮空氣阻力和馬格努斯力，只受重力影響的理想模型;二是不考慮旋轉(zhuǎn)，即沒有馬格努斯力，但是考慮空氣阻力的較為實際的球體運動模型;三是在第二種模型的基礎上再加上球體上旋引起的馬格努斯力的影響，并對三個模型都做了一定的數(shù)學分析計算，得到了每個模型在水平x方向和豎直y方向的速度v和位移隨時間的關系表達式。下面我們將采用畫圖和實際數(shù)值的方法對這幾個模型做進一步的分析對比。

為了方便討論對比，我們先列出用得到的常數(shù)值：

空氣密度：ρ=0.129 kg·m-3

排球直徑：d=0.21 m

排球質(zhì)量：m=0.27 kg

重力加速度：g=9.80 m·s-2

3.1 準確模型

這兒說的準確是指，阻力式準確來說是與速度的二次方程正比。但在上面的計算中，由于求解微分方程時得不到解析解，故用一個等效的一次式做了近似，從而得到的是等效模型式。而準確模型得相關方程為：

3.1.1 基本模型

x：x=v0cosθ-t（38）

y：y=v0sinθ-t+12gt2（39）

3.1.2 阻力模型

x：kv2cosα=-mdvxdt（40）

y：-mg+kv2sinα=mdvydt（41）

k=CDρπd28=9.83×10-4kg·s-1（42）

3.1.3 旋轉(zhuǎn)模型

x：-kv2cosα-k2vsinα=mdvxdt（43）

y：mg-kv2sinα+k2vcosα=mdvydt（44）

k2=18πρd3ω=7.04×10-3kg·s-1（45）

由準確的二次阻力公式推出來的阻力模型和旋轉(zhuǎn)模型方程，我們都沒有辦法得到解析解，也沒有簡單的辦法可以直接得到數(shù)值解，在以后有了更方便的工具后可以對其進行數(shù)值圖像研究。我們此次不做太多討論。

3.2 等效模型

為了簡化模型求得解析解，我們提出了阻力的一次等效公式：

Ff=kv2=k1v

并認為

k1=kv0（46）

所得到兩種模型的方程為：

3.2.1 阻力模型

速度-時間關系：

x：vxt=v0cosθe-k1mt（47）

y：vyt=v0sinθ-mgk1e-k1mt+mgk1（48）

位移-時間關系：

x：xt=mv0cosθk11-e-k1mt（49）

y：yt=mk1v0sinθ-mgk11-e-k1mt+mgk1t（50）

3.2.2 旋轉(zhuǎn)模型

速度-時間關系：

x：vxt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22cosk2mt-sinθsink2mt-k2mgk21+k22（51）

y：vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt

+k1mgk21+k221-e-k1mt（52）

位移-時間關系：

x：xt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1cosk2mt+K2sink2mt）-K1]+C3t（53）

y：yt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1sink2mt-K2cosk2mt）+K2]-C4t-mk11-e-k1mt（54）

其中，各常數(shù)項分別為：

C1=cosθ+k2mgv0（k21+k22）C2=-sinθC3=-k2mgk21+k22C4=-k1mgk21+k22（55）

K1=-k1C1+k2C2=-k1k2mgv0k21+k22-k1cosθ+k2sinθK2=k2C1-k1C2=k22mgv0k21+k22+k1sinθ+k2cosθ（56）

3.3 數(shù)值圖像分析

從方程來看，模型越復雜得到的公式自然也就更加復雜。阻力模型所得到的結(jié)果應該是最接近我們平時發(fā)的沒有旋轉(zhuǎn)的不具有太強攻擊性的一般球的實際軌跡，而加上旋轉(zhuǎn)以后的影響便可以從旋轉(zhuǎn)模型里面看出來。為了更加直觀地看出阻力、旋轉(zhuǎn)帶來的影響，我們可以分別從數(shù)值和圖像兩個方面去討論。我們先假定一組初始條件：

初速度：v0=120 km·h-1=33.3 m·s-1;

方向夾角：θ=3.00;

發(fā)球高度：h=3.40 m;

旋轉(zhuǎn)速度：ω=15.0 r·s-1;

通過相應的公式，利用電腦，可以計算得到各種情形下的發(fā)球距離，如表1：

由表1中信息，由于空氣阻力的存在，球體在空中飛行時間會延長，發(fā)球距離會縮短，但是這兩個變化量都是比較小的，只約基礎模型的1%～2%。而加上旋轉(zhuǎn)比不加旋轉(zhuǎn)時，球的飛行時間從0.673 956 s變?yōu)?.550 195 s，減少0.123 761 s，約18.36%，留給防守方判斷的時間明顯縮短，再加上本來飛行時間就極短，故對接球一方的隊員的反應能力來說是一個極大的考驗;發(fā)球距離從22.412 m減少至16.924 4 m，減少5.4876 m，這是一個非?？捎^的變化量，即有著非常明顯的“急墜”現(xiàn)象。這個變化會給接球一方進一步帶來很大的難度，而且使得球更容易落在界內(nèi)不致于出界丟分。我們知道，排球場的長度是18 m，從表1中數(shù)據(jù)可以看見，如果不加旋轉(zhuǎn)，按我們假設的初始條件計算，會使得球直接飛出界外;而加上旋轉(zhuǎn)后由于明顯的距離縮短，則可以落在界內(nèi)。圖5是根據(jù)上述初始條件得到的幾個模型下球體的運動軌跡。

上述假設的條件是根據(jù)世界一流排球運動員的數(shù)據(jù)得出的，下面我們用與我們平時情況更加接近的一組初始條件進行計算對比：

初速度：v0=72 km·h-1=20.0 m·s-1;

方向夾角：θ=-10.0°;

發(fā)球高度：h=2.30 m;

旋轉(zhuǎn)速度：ω從0 r·s-1到12r·s-1變化。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們可以看出，隨著旋轉(zhuǎn)速度的增加，球體的飛行時間、發(fā)球距離都逐漸減小，但這兩個量的變化規(guī)律是有所區(qū)別的。飛行時間隨著旋轉(zhuǎn)速度的增加，基本呈線性減少，旋轉(zhuǎn)速度每增加3 r/s，飛行時間減少0.04 s左右;而發(fā)球距離的減少量則是不均勻的，呈負指數(shù)規(guī)律，即旋轉(zhuǎn)速度每增加一定值，開始時發(fā)球距離減少得比較多，到后來減少量比剛開始少。圖6是不同旋轉(zhuǎn)速度時發(fā)球球體的運動軌跡，也可以反映出和表2相同的規(guī)律。

4 結(jié)論

我們先通過數(shù)學建模，通過計算得到了三個模型：不考慮空氣阻力、馬格努斯力的基礎模型;考慮空氣阻力，不考慮馬格努斯力的阻力模型;同時考慮空氣阻力和馬格努斯力的旋轉(zhuǎn)模型的速度和位移的含時間參數(shù)t的參數(shù)方程解，并通過表格數(shù)值和圖像的方式進行了簡單的分析。我們現(xiàn)在可以得出如下結(jié)論：

4.1 阻力模型

其實也就是平時最常見的無攻擊性的發(fā)球模型，由于空氣阻力，飛行時間會略微加長，發(fā)球距離略微縮短但是沒有明顯變化，控制不得當比較容易出界。主要特點是發(fā)球難度小，但是攻擊性差，給接球方?jīng)_擊較小。

4.2 旋轉(zhuǎn)模型

旋轉(zhuǎn)速度越大，球體飛行時間越短，發(fā)球距離越小，且變化比較明顯，可以達到20%以上。發(fā)球飛行時間隨旋轉(zhuǎn)速度基本呈線性減小，由于大力跳發(fā)時球體飛行時間本來就比較短，通過旋轉(zhuǎn)進一步有效地縮短接球方的反應時間，使接球難度變大;發(fā)球距離隨發(fā)球旋轉(zhuǎn)速度的增減呈負指數(shù)關系變短，加上一點旋轉(zhuǎn)就可以使得發(fā)球距離明顯變短，這可以給我們一個很好的啟示是，加上一點旋轉(zhuǎn)可以使得發(fā)球更加不容易出界，這是發(fā)球加上旋轉(zhuǎn)的第一個優(yōu)點;其次，較強旋轉(zhuǎn)時發(fā)球距離可以變化得非常明顯，達到5 m以上，在較短時間內(nèi)給防守隊員的判斷帶去更大的困難，從而使得發(fā)球更加具有沖擊性。

綜上，旋轉(zhuǎn)式發(fā)球相比與不旋轉(zhuǎn)的發(fā)球，飛行時間減少，發(fā)球距離縮短，更加具有攻擊性，運動員們在實際訓練時可以結(jié)合本文與實際，多多感受旋轉(zhuǎn)球的特點，從而使得訓練更有針對性、更加有效。

參考文獻：

[1]G. Magnus.On the deviation of projectiles， and on a remark-able phenomenon of rotating bodies[M].Memoirs of the RoyalAcademy，Berlin，1852：210.

[2]V. Timková， and Z. Jeková.How Magnus Bends the Flying BallExperimenting and Modeling[J].T-he Physics Teacher，2017（55）：112.

[3]M. Nathan.The effect of spin on the flight of a baseball[J].Am.J.Phys，2008（76）：119-124.

[4]P.Gluck.Air resistance on falling balls and balloons[J].Phys.Teach，2003（41）：178-180.

[5]K. Takahashi，D.Thompson.Measuring air resistance ina computerized laboratory[J].Am. J. Phys，1999（67）：709-711.

[6]Mario A，Aguirre-López .A cardioid-parametric model for the Magnus effect in baseballs[J].Advances in Computational Mathematicsere，2019：2097-2109.

[7]Christian Guzman. The Magnus effect and the American football[J].Sports Engineering，2016：13-20.

[8]Mustafa Turkyilmazoglu. Exact and approximate solutions to projectile motion in air incorporating Magnus effect[J].The European Physical Journal Plus，2020：155-170.

[9]何家梅，丁煥常.旋轉(zhuǎn)球體的運動軌跡[J].許昌學院學報，2005（5）：38-40.

[10]賈拴穩(wěn).有阻力的空氣介質(zhì)中質(zhì)點的運動規(guī)律[J].安陽師范學院學報，2008（5）：32-34.

[11]李文科.工程流體力學[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2007：219-223.

[12]薛社教.用數(shù)學方法研究乒乓球上旋球的飛行軌跡[J].高教學刊，2016（6）：263-264.

[13]韓陽.基于Magnus效應的擺動旋轉(zhuǎn)圓柱實驗教學平臺[J].實驗技術與管理，2020（9）：54-57.

[14] 潘慧炬.馬格努斯效應的力學模型[J].浙江體育科學，1995（3）：16-19.

[15]吳洪波.網(wǎng)球發(fā)球運動軌跡動力學分析及仿真研究[J].計算機仿真，2017，34（3）：243-246.

[16]郝成紅，黃耀清，劉聚坤.考慮空氣阻力的足球弧線球運動軌跡[J].大學物理，2018，37（6）：19-21.