利用三面角判斷空間角的大小*

廣東省佛山市羅定邦中學(xué) (528300) 肖芳芳 龍 宇

2019年浙江卷的第8題涉及到了所有的空間角(線線角、線面角、以及二面角)，且沒(méi)有涉及具體的運(yùn)算，而是對(duì)于三個(gè)角大小的判斷，考察考生們的空間感，很好地體現(xiàn)了“直觀想象”等核心素養(yǎng).近期筆者將該問(wèn)題做為練習(xí)給學(xué)生使用，但學(xué)生們普遍感覺(jué)沒(méi)有思路，覺(jué)得沒(méi)有任何數(shù)據(jù)很難判斷.基于此，筆者在教學(xué)過(guò)程中介紹了三面角模型進(jìn)行求解，現(xiàn)整理成文，以饗讀者.

一、題目

設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P為棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC的所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ

C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β

二、三面角模型

圖1

如圖1，三面角是由具有公共端點(diǎn)的不共面的三條射線，以及任兩條射線所成的角的內(nèi)部構(gòu)成的空間圖形.公共端點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn)，三條射線稱為三面角的棱，兩棱所夾的平面部分(角)稱為三面角的面(角).過(guò)每一條棱的兩個(gè)面所成的二面角稱為三面角的二面角.

關(guān)于三面角有兩個(gè)重要定理：正弦定理，余弦定理.這兩個(gè)定理可視為三角形正、余弦定理的空間形式.本文不直接使用這兩個(gè)定理解決上述問(wèn)題，僅借此模型介紹一個(gè)相關(guān)結(jié)論.

圖2

三、問(wèn)題解析

圖3

如圖3，三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以二面角P-AC-B的平面角與二面角P-BA-C的平面角相等，都記為γ.考慮三面角B-PAC，根據(jù)上述結(jié)論sinβ=sinγ·sin∠PBA

圖4

直線PB與直線AC為異面直線，如圖4，設(shè)AB,BC,AP的中點(diǎn)分別為D,E,Q，設(shè)二面角Q-DE-A的大小為φ.考慮三面角D-EAQ，根據(jù)上面的結(jié)論sinβ=sinα·sinφ

四、三面角的正、余弦定理

關(guān)于三面角模型，除了上面的應(yīng)用外.還有兩個(gè)常用的定理，分別是正弦定理與余弦定理.這兩個(gè)定理直接討論空間角之間的關(guān)系，繞過(guò)了復(fù)雜的邏輯推理以及輔助線的建立.對(duì)于空間角的求解有奇效.現(xiàn)簡(jiǎn)介如下：

三面角的余弦定理：三面角的一個(gè)面角的余弦，等于其余兩個(gè)面角的余弦之積加上這兩個(gè)面角的正弦與這兩個(gè)面角所夾的二面角的余弦的連乘積.設(shè)三個(gè)面角V-ABC的三個(gè)面角的度量分別為α,β,γ，它們所對(duì)的二面角分別為A,B,C，則有cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

五、經(jīng)典高考題目回顧

例1 (2015高考浙江理8)如圖5，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則( ).

圖5

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′CB≥α

解析：考慮三面角D-A′CB，設(shè)∠A′DC為θ，則有∠BDC為π-θ，且在翻折的過(guò)程中，兩個(gè)角的大小不變.根據(jù)三面角的余弦定理可得cos∠A′DB=cosθ+cos(π-θ)+sinθ·sin(π-θ)cosα=cosθ-cosθ+sinθ·sinθ·cosα=sin2θ·cosα≤cosα,由此可得∠A′DB≥α，故選B.

例2 (2018高考浙江理8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

圖6

解析：如圖6，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交CD于點(diǎn)F，則有∠SEF為θ1，考慮三面角：E-SAF，設(shè)二面角S-EF-A的大小為α，根據(jù)本文中的模型可得sinθ2=sinθ1·sinα≤sinθ1，即可得θ2≤θ1；再次利用該模型可得sinθ2=sinθ3·