中觀觀念下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)主張

陳學(xué)軍 金鵬

摘? 要：依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》整體把握教學(xué)內(nèi)容的要求，提出了教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化分析、學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)化分析、教學(xué)任務(wù)結(jié)構(gòu)化分析、基于知識構(gòu)成的結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)施等主張，并結(jié)合案例進(jìn)行了詮釋.

關(guān)鍵詞：整體聯(lián)系;結(jié)構(gòu)化;學(xué)科觀念;核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)要突出數(shù)學(xué)的整體聯(lián)系，關(guān)注同一主線、不同主線內(nèi)容間的邏輯關(guān)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為一個在數(shù)學(xué)方法、思想指導(dǎo)下的具有系統(tǒng)性、連貫性的有機(jī)整體. 章建躍先生也多次指出，數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中，一定要把建立一個合理的邏輯結(jié)構(gòu)體系作為首要任務(wù).

中觀觀念下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)主張就是在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的指導(dǎo)下，不僅僅關(guān)注當(dāng)堂課學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程，而是從整體發(fā)展的規(guī)律和角度，以及學(xué)科知識的構(gòu)成搭建整體聯(lián)系的學(xué)習(xí)支架，把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識（主要是事實(shí)性知識、概念性知識）加工成體現(xiàn)思想方法、數(shù)學(xué)價(jià)值的數(shù)學(xué)教育形態(tài)的知識. 通過對數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合與開發(fā)，使目標(biāo)、知識、任務(wù)、活動形成一個相互一致的整體，在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)縱向連接數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與數(shù)學(xué)方法、思想，橫向凝聚數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在背景和過程中主動探究、構(gòu)建認(rèn)識結(jié)構(gòu)，積累獲取知識的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用和內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法，形成在問題解決過程中以理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)為指向的心理特征，并培育其后繼發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力.

一、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化分析

1. 把握教材中學(xué)科知識的構(gòu)成

教材是學(xué)科知識的重要載體，決定著教師教什么，學(xué)生學(xué)什么. 教材中的學(xué)科知識由陳述性知識（事實(shí)性知識、概念性知識）、程序性知識、方法性知識和價(jià)值性知識構(gòu)成. 其中，陳述性知識、程序性知識是以一定的邏輯結(jié)構(gòu)來表征的，是學(xué)科知識的骨架. 而方法性知識和價(jià)值性知識是隱性的知識，是學(xué)科觀念和靈魂. 對于不同的知識，教學(xué)策略不同，只有挖掘教材中的隱性知識，洞察到事實(shí)性知識、概念性知識和程序性知識背后的過程與方法，以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀，才能激活知識與技能，逐漸形成學(xué)科素養(yǎng). “圓錐曲線”的定義為概念性知識，而研究圓錐曲線的一般步驟、判斷曲線的形狀，以及求其方程則是程序性知識. 如何從實(shí)際背景中抽象出圓錐曲線的定義，建立以“數(shù)”研究“形”的探究框架，以及對圓錐曲線方程、性質(zhì)的學(xué)習(xí)展望，這些關(guān)于如何學(xué)的策略需要數(shù)學(xué)的觀念方法等隱性知識的支撐.

2. 理清知識產(chǎn)生的背景、聯(lián)系點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)

圓錐曲線有著豐富的實(shí)際背景，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型.

從聯(lián)系的角度來看：在知識層面上，學(xué)生在高中學(xué)習(xí)物理課程中的開普勒行星運(yùn)動第一定律時接觸過橢圓，而初中所學(xué)的二次函數(shù)的圖象是拋物線;在方法層面上，學(xué)生在必修階段“平面解析幾何初步”的學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了圓的方程的探究，初步了解了用代數(shù)方法研究曲線的基本步驟，而圓錐曲線又是“平面解析幾何初步”學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，是用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)、解決幾何問題，進(jìn)一步理解解析幾何思想的一個重要載體.

從發(fā)展的角度來看，作為章起始課，既要讓學(xué)生體會到研究圓錐曲線的重要性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值（為什么研究），又要通過經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出圓錐曲線的截線定義，再從截線定義中挖掘其本質(zhì)特征，概括出圓錐曲線的軌跡定義，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)研究的過程（研究什么），通過搭建研究框架，讓學(xué)生了解用軌跡定義研究圓錐曲線的必要性，體會用轉(zhuǎn)化、類比、特殊化的方法研究圓錐曲線的一般步驟（怎么研究），培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3. 了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史

從文化的角度分析和理解教材是立德樹人的根本要求，也是增強(qiáng)學(xué)生理性精神的重要途徑. 教學(xué)中，通過介紹阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》，以及在笛卡兒創(chuàng)立坐標(biāo)系之后，比利時數(shù)學(xué)家旦德林的貢獻(xiàn)，揭示了三種圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧統(tǒng)一，提升數(shù)學(xué)審美意識. 引導(dǎo)學(xué)生站在前人的肩膀上進(jìn)行探究，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會到數(shù)學(xué)的傳承與發(fā)展，以及不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的艱辛歷程.

二、學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)化分析

教師站在學(xué)生的角度思考：教材給出的起點(diǎn)與終點(diǎn)之間的支架是否合適？是否低估或者超越了學(xué)生的生活和經(jīng)驗(yàn)？教學(xué)中，教師常常要從整體出發(fā)對教材進(jìn)行二次開發(fā)，使教材中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相匹配.

1. 知識基礎(chǔ)

此前學(xué)生已經(jīng)對圓錐曲線有了零散的認(rèn)識，尤其對橢圓和拋物線較為熟悉，學(xué)生在學(xué)習(xí)高中物理課程的開普勒行星運(yùn)動第一定律時已經(jīng)了解了拉線法畫橢圓的作圖過程，在初中課程中也學(xué)習(xí)了拋物線的解析式及圖象，但是對拋物線的軌跡定義還不太熟悉. 盡管如此，學(xué)生對橢圓、雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)還是零散的、相互隔離的. 教學(xué)中，教師既要幫助學(xué)生激活已有的知識、經(jīng)驗(yàn)，又要將其已有的知識、經(jīng)驗(yàn)納入新的系統(tǒng)當(dāng)中，促使學(xué)生從整體上認(rèn)識三種圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，體會學(xué)科的一般觀念，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2. 認(rèn)知障礙

《標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用，結(jié)合情境清晰地描述圖形的幾何特征. 事實(shí)上，從圓錐曲線的截線定義過渡到軌跡定義是實(shí)現(xiàn)由“數(shù)”研究“形”的關(guān)鍵，需要將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 其中，綜合了立體幾何與平面幾何的知識及求動點(diǎn)軌跡的方法，對學(xué)生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力要求比較高，是學(xué)生活動探究中的障礙點(diǎn).

3. 認(rèn)知沖突

本節(jié)課可以從兩個方面來設(shè)置認(rèn)知沖突. 一是定性（形）轉(zhuǎn)化為定量（數(shù)）：在圓錐曲線的截線定義的形成過程中，由平面截圓錐面直觀定性地認(rèn)識到橢圓、雙曲線、拋物線的“形象”，轉(zhuǎn)化為定量地用截面與圓錐面的軸所成角的變化范圍來刻畫截線的形狀. 二是由空間形狀到平面圖形的認(rèn)知沖突：在從圓錐曲線的截線定義轉(zhuǎn)化為軌跡定義的過程中，需要將空間的形狀轉(zhuǎn)化為描述平面圖形的幾何特征，這是學(xué)生迫切想要探究解決的一個難題.

4. 學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗(yàn)

新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，要求學(xué)生從生活視角進(jìn)行梳理，在數(shù)學(xué)學(xué)科知識發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過程中，體會數(shù)學(xué)研究的套路，發(fā)展學(xué)科觀念. 學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的相關(guān)知識以后，已經(jīng)有了建立坐標(biāo)系研究曲線方程和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，物理學(xué)習(xí)、生活當(dāng)中也常能見到橢圓. 例如，斜放著的圓柱形飲料瓶的水面、太陽光斜照籃球的影子輪廓等. 這些生活經(jīng)驗(yàn)和跨學(xué)科的知識及直線和圓的研究經(jīng)歷都是研究圓錐曲線的基礎(chǔ).

三、教學(xué)任務(wù)結(jié)構(gòu)化分析

在分析《標(biāo)準(zhǔn)》、教材內(nèi)容及學(xué)情的基礎(chǔ)上，根據(jù)本節(jié)課的知識構(gòu)成，背后隱含的科學(xué)觀點(diǎn)、方法、價(jià)值觀，以及與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)任務(wù)情境如下表所示.

在此基礎(chǔ)上，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界時的作用.

（2）通過用平面截圓錐面，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線模型（截線定義）的過程，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（3）經(jīng)歷圓錐曲線軌跡定義的形成過程，從整體上認(rèn)識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系，初步具備歸納總結(jié)、類比、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力，通過起始課的學(xué)習(xí)，在由“數(shù)”研究“形”觀念的引導(dǎo)下，體會“為什么研究，研究什么，怎么研究”的數(shù)學(xué)探究一般途徑.

（4）通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，數(shù)學(xué)史的介紹揭示了圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧統(tǒng)一，提升他們的數(shù)學(xué)審美意識和理性思維.

結(jié)構(gòu)化的教學(xué)任務(wù)框架，進(jìn)一步準(zhǔn)確地把握教學(xué)的起點(diǎn)和歸宿，規(guī)定了教與學(xué)的進(jìn)程和方向，將知識、活動、目標(biāo)等邏輯化和具體化，引導(dǎo)教學(xué)的全過程，確保了教學(xué)目標(biāo)與過程之間的一致性.

四、基于知識構(gòu)成的結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)施

教學(xué)中，為了更好地實(shí)現(xiàn)認(rèn)知思路和核心觀念的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，針對知識類型，通過知識的梳理與整合、數(shù)學(xué)思維的程序優(yōu)化、數(shù)學(xué)學(xué)科觀念的建構(gòu)，提升學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)化水平，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1. 陳述性知識——從知識關(guān)聯(lián)的角度建構(gòu)教學(xué)內(nèi)容（知識的梳理和整合）

陳述性知識是關(guān)于事實(shí)及其關(guān)系的知識，數(shù)學(xué)概念和事實(shí)是關(guān)于“是什么”的陳述性知識. 教學(xué)中在分散、孤立的數(shù)學(xué)事實(shí)間建立起邏輯關(guān)聯(lián)的概念，使教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生用整體聯(lián)系的觀念理解概念，建構(gòu)知識體系.

片斷1：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題.（事實(shí)性知識：生活中的圓錐曲線.）

師：近幾年我國科技進(jìn)步迅速. 2019年“嫦娥四號”探測器成為第一個在月球背面著陸的人造航天器.

教師播放視頻.

師：視頻中提到了“嫦娥四號”的運(yùn)行軌道是橢圓，什么是橢圓呢？

情境1：開普勒行星運(yùn)動第一定律：太陽系中的每個行星都在某個橢圓上運(yùn)動，這些橢圓都以太陽為一個焦點(diǎn).

情境2：彗星的運(yùn)行軌道有些是橢圓，有些是拋物線，有些是雙曲線.

情境3：噴水池中的水柱都呈拋物線形.

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.

片斷2：如何用數(shù)學(xué)語言刻畫圓錐曲線？（概念性知識：圓錐曲線的截線定義.）

問題1：我們知道平行于圓錐底面的截面的截線是圓. 改變截面的位置，截線會變成什么形狀？設(shè)圓錐面的軸與母線所成的角為[θ]，不過頂點(diǎn)的截面與軸所成的角為[α].

生：[α=90°]時，截線是圓. 截面的位置變化時，截線的形狀可能是橢圓、雙曲線和拋物線.

教師板書圖1.

教學(xué)中，從學(xué)生頭腦中零散的關(guān)于圓錐曲線的直觀形象入手，通過圓錐面的截面，得到圓錐曲線的截線定義，建立了三類圓錐曲線之間的聯(lián)系（圖1），引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，增強(qiáng)學(xué)生的抽象和概括能力.

2. 程序性知識——從認(rèn)識思路的角度建構(gòu)數(shù)學(xué)內(nèi)容（活動操作的流程）

程序性知識是關(guān)于完成某項(xiàng)任務(wù)的行為或措施步驟的知識. 數(shù)學(xué)中的運(yùn)算、解決問題的探索步驟、解決的方法及操作流程等都是關(guān)于“如何做”的程序性知識.

片斷3：教師給出一道例題.

如圖2，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)[F1，F(xiàn)2]處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線，這條曲線是雙曲線的一支，試說明理由. 如果想再畫出雙曲線的另一支，怎么操作？

畫出雙曲線另一支的操作和依據(jù)：拉鏈兩邊各取一點(diǎn)[數(shù)學(xué)化]固定在[F1，F(xiàn)2]處[→][MF2-MF1=定值]（小于[F1F2]）[操作]雙曲線的另一支.

在幫助學(xué)生理解題意的基礎(chǔ)上，搭建認(rèn)知思路層面上的程序性支架，可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維系統(tǒng)縝密地分析問題，規(guī)范、高效地解決問題，提高邏輯推理能力.

3. 策略性知識——從學(xué)科觀念的角度建構(gòu)教學(xué)內(nèi)容（方法與思維認(rèn)知的建模）

策略性知識指如何學(xué)習(xí)和思維的知識，是對如何進(jìn)行問題探究、觀念建構(gòu)與“一般套路”的思維模式的認(rèn)知. 教學(xué)中，將數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)、數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用、數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練等“如何學(xué)”的統(tǒng)攝性知識融入核心知識的教學(xué)內(nèi)容中，可進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)習(xí)策略，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.

片斷4：圓錐曲線的軌跡定義.（策略性知識：構(gòu)建研究過程的認(rèn)知.）

問題2：有了圓錐曲線的截線定義，接下來我們該研究什么？怎么研究？

這是本節(jié)課研究的核心問題，也是關(guān)于如何學(xué)習(xí)的問題.

生1：接下來應(yīng)該研究性質(zhì)，像研究圓一樣，通過建立平面直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法進(jìn)行研究.

生2：這個空間圖形好像很難建立平面直角坐標(biāo)系，我們也不知道曲線上的點(diǎn)滿足什么條件，怎么建立方程？

生3：關(guān)鍵要知道曲線上的點(diǎn)滿足的條件是什么.

師：對，要用代數(shù)方法來研究圓錐曲線的性質(zhì)就必須研究其軌跡定義，我們還是從熟悉的角度入手.

思考1：繩子的一個端固定在平整的草地上，另一端拴著一只小羊，小羊活動的最大邊界是什么曲線？

生1：圓，圓上任意一點(diǎn)[M]滿足[MO=]繩長（定值）.

思考2：繩子兩端固定在平整的草地上（繩長大于兩固定點(diǎn)間的距離），繩上套一個小環(huán)，環(huán)上拴一只小羊，小羊活動的最大邊界是什么曲線？學(xué)生可以在紙上試著畫畫看.

生2：橢圓. 猜想，滿足[MF1+MF2=]繩長（定值）點(diǎn)的軌跡為橢圓.

師：這里小羊的最大活動邊界為什么是橢圓呢？

思考2建立在圓的軌跡定義學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過親手實(shí)踐，類比、猜想得出橢圓的軌跡定義，并試圖精確刻畫，這時與已有截面定義產(chǎn)生思維碰撞，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

生3：這兩個定義是一致的嗎？

師：要回答生3的問題，還是從生活當(dāng)中熟悉的、特殊的情況入手.

問題3：大家知道水平地面上太陽光斜照下的籃球影子的輪廓是橢圓，如圖3所示. 如果把與球相切的光線看成是一個圓柱面，地面看成截面，在橢圓上任意取一點(diǎn)[M]，點(diǎn)[M]與哪些量有關(guān)？

生1：設(shè)球與地面的切點(diǎn)為[F1]，過點(diǎn)[M]的圓柱的母線與球面的切點(diǎn)為[Q]，則有[MF1=MQ]，如圖4所示.

師：還有其他等量關(guān)系嗎？學(xué)生展開討論.

生2：由思考2，聯(lián)想到橢圓和兩個量有關(guān). 逆過來，如果光線從地面下方沿相反的方向照過來，地面下方大小相同的球的影子也是這個橢圓，如圖5所示. 設(shè)地面下方的球與地面的切點(diǎn)為[F2]，延長[QM]到點(diǎn)[R]. 類似地，也有[MR=MF2]，如圖6所示. 因此，[MF1+][MF2=QR]（定值）.

問題4：把圓柱的一個面縮成一個點(diǎn)，能否類似地得到[MF1+MF2=QR]（定值）？

問題5：你能類似地研究雙曲線的軌跡定義嗎？

師：根據(jù)剛才的研究，怎樣完善圖2的結(jié)構(gòu)？

師生共同活動，構(gòu)建了本節(jié)課的學(xué)習(xí)活動導(dǎo)圖，如圖7所示.

片斷4圍繞如何用代數(shù)的方法研究圓錐曲線這個目標(biāo)，用類比的方法，將橢圓的空間截線定義轉(zhuǎn)化為研究平面的軌跡定義，方法層面從具體、熟悉、特殊的和已有經(jīng)驗(yàn)入手逐步進(jìn)行探究，進(jìn)而得到結(jié)論. 在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系的活動中經(jīng)歷了揭示背景、提出問題、明確方法、假設(shè)猜想、驗(yàn)證確認(rèn)、實(shí)踐運(yùn)用的探究過程，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)科觀念，提升了他們的數(shù)學(xué)建模意識和理性精神.

作為章起始課，在結(jié)構(gòu)化的教學(xué)主張中注重概念的聯(lián)系和統(tǒng)一，突出研究思路的剖析，形成認(rèn)知程序，體會研究方法和研究結(jié)論的類比. 幫助學(xué)生在更高、更寬的視野下理解知識的背景和生長點(diǎn)，準(zhǔn)確把握核心概念之間的邏輯關(guān)聯(lián)、體會知識背后所隱含的科學(xué)方法和理性思維，逐步提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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