鐘志華 周美玲 郝蕊

[摘? 要] 作為一種重要的教學(xué)方法，發(fā)生教學(xué)法——通常所說的HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系）視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，不僅可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)知識發(fā)展歷史和數(shù)學(xué)家的探索過程，并在這一過程中激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、體會數(shù)學(xué)研究的一般方法，而且還可以為函數(shù)這一新知識的學(xué)習(xí)準(zhǔn)確找到認(rèn)知起點，可以從函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展源頭中找到理解函數(shù)概念的金鑰匙.

[關(guān)鍵詞] HPM;函數(shù)概念;教學(xué)設(shè)計

■教材的地位與作用

函數(shù)是高中階段基礎(chǔ)而又重要的概念，高中數(shù)學(xué)中的絕大部分知識都與函數(shù)存在密切的關(guān)系.如數(shù)列、解析幾何、統(tǒng)計與概率等知識在某種意義上說，研究的就是函數(shù). 可以說，學(xué)好函數(shù)是學(xué)好整個高中數(shù)學(xué)的前提.函數(shù)這個概念雖然在義務(wù)教育八年級（上）就已經(jīng)學(xué)過，但當(dāng)時對函數(shù)的認(rèn)識主要以直觀感性認(rèn)識為主，函數(shù)學(xué)習(xí)中涉及的諸多相關(guān)概念如定義域、值域、對應(yīng)法則、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等都只給予了形象的描述或籠統(tǒng)的介紹，并沒有給出嚴(yán)格的定義，甚至連表示這些概念的名詞（如表示對應(yīng)關(guān)系符號“f”等）也沒有出現(xiàn).在初中階段，教材為了便于學(xué)生直觀理解函數(shù)，從運動變化觀點出發(fā)采用“變量”來定義函數(shù)，這對當(dāng)時的學(xué)生來說是合理的.但到了高中階段，許多函數(shù)問題仍然采用“變量”觀點來進行研究則會帶來許多不便，比如無法對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等概念從定量角度進行深入刻畫，再比如對一些常值函數(shù)、自變量與因變量之間沒有明顯關(guān)系的特殊函數(shù)的理解存在困難，等等.另外，從數(shù)學(xué)知識本身的發(fā)展來看，采用“變量”觀點研究函數(shù)也無法建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論體系.眾所周知，現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈是建立在集合理論基礎(chǔ)之上的，函數(shù)理論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念之一也不例外.高中數(shù)學(xué)第一節(jié)課就是學(xué)習(xí)集合，然后馬上就學(xué)習(xí)函數(shù)概念，其用意非常明顯，就是要在高中階段向?qū)W生逐步滲透集合思想，讓學(xué)生學(xué)會用集合觀點來研究數(shù)學(xué)問題.

分析依據(jù)：教材地位分析的本質(zhì)就是要通過揭示新舊知識之間的聯(lián)系并為新知識的學(xué)習(xí)找到恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知起點.而數(shù)學(xué)史作為教材分析的一個可靠坐標(biāo)系，它不僅可以為分析者準(zhǔn)確了解學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)史中所處的地位提供參照，而且可以為教學(xué)設(shè)計指明方向. 就本節(jié)課而言，如果從深入分析函數(shù)概念的發(fā)展歷史來看，就會發(fā)現(xiàn)宜將初中所學(xué)的“變量定義”作為高中函數(shù)概念的認(rèn)知起點.

■學(xué)情分析

從學(xué)生生理特點和心理特點來看，高一學(xué)生思維活躍、好勝心強、求知欲旺盛，特別是剛剛進入新的群體，對一切都充滿了好奇，這是教師教學(xué)中可資利用的有利因素;從學(xué)生的思維特點來看，這時的學(xué)生正處在從形象思維向抽象思維過渡的階段，學(xué)生雖然具有一定的抽象思維能力，但畢竟高中思維方式與初中存在較大差別，許多概念仍然需要借助一定的感性直觀才能理解，這是教師在教學(xué)中需要引起注意的地方，千萬不要過高地估計學(xué)生;從學(xué)生的知識基礎(chǔ)來看，此前學(xué)生已在初中階段學(xué)習(xí)了函數(shù)的有關(guān)概念，對函數(shù)概念已經(jīng)有了比較深入的了解，但初中函數(shù)研究采用的是變量觀點，研究方法主要借助于直觀和文字語言，研究對象基本上是簡單的代數(shù)函數(shù)，這一方面為高中函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，但另一方面可能會對高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移. 在教學(xué)中，教師需要揚長避短、因勢利導(dǎo).

分析依據(jù)：HPM可以為學(xué)情分析提供參照.重演論認(rèn)為，個體數(shù)學(xué)理解過程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程具有相似性.學(xué)生的錯誤和認(rèn)知障礙與數(shù)學(xué)史上的錯誤和認(rèn)知障礙是有關(guān)聯(lián)的，了解歷史上的重要時刻可以為教師提供預(yù)測學(xué)生認(rèn)知障礙的工具[1]. 雖然了解學(xué)生的學(xué)情有很多方法，但HPM是一個不可或缺的方法.翻開函數(shù)概念發(fā)展歷史就會發(fā)現(xiàn)“對應(yīng)”定義的產(chǎn)生曾經(jīng)經(jīng)歷了相當(dāng)長的一段時間，這說明函數(shù)概念發(fā)展的艱巨性，如果教師在進行函數(shù)概念教學(xué)時能深入研究函數(shù)概念發(fā)展的這段歷史，那么就可以在對學(xué)生進行學(xué)情分析時真正做到心中有數(shù)[2].

■教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

（1）經(jīng)歷用“集合”語言對初中函數(shù)概念中的有關(guān)術(shù)語進行重新描述的過程，理解用“集合”與“對應(yīng)”語言刻畫函數(shù)概念及附屬概念.

（2）理解初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系.

（3）經(jīng)歷從“變量”觀點認(rèn)識函數(shù)向“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)的轉(zhuǎn)變過程，學(xué)會從不同角度來認(rèn)識同一事物，培養(yǎng)多角度看問題的習(xí)慣.

設(shè)計意圖：HPM方法不僅可以為教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計指明方向，而且可以為判斷教學(xué)目標(biāo)的合理性提供可靠的標(biāo)準(zhǔn). 初中主要用文字語言對函數(shù)進行定性描述，而高中則采用符號語言對函數(shù)進行定量描述;初中函數(shù)概念的概括程度低，高中函數(shù)概念的概括程度高. 但初中函數(shù)概念比較具體、容易理解，而高中函數(shù)概念比較抽象、難以理解. 所以在設(shè)計教學(xué)目標(biāo)時，教師應(yīng)將經(jīng)歷用“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)并用相應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念及附屬概念的過程作為首要教學(xué)目標(biāo);而初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系直接關(guān)系到學(xué)生對高中函數(shù)概念的理解與否，因此應(yīng)將該目標(biāo)作為本節(jié)課必須達(dá)到的重要目標(biāo);目標(biāo)三雖然不是這一堂課就能實現(xiàn)的，但由于這一目標(biāo)在本節(jié)課中體現(xiàn)得比較充分，它不僅有助于學(xué)生更好地了解函數(shù)概念的來龍去脈，而且對學(xué)生將來的發(fā)展也具有深遠(yuǎn)影響，因此在教學(xué)中應(yīng)給予足夠重視.

■教學(xué)的重難點

（1）教學(xué)重點：學(xué)會用“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)并用相應(yīng)的語言刻畫函數(shù)[3].

設(shè)計意圖：從HPM視角來看，教學(xué)重點往往是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中具有重要地位的那些知識. 高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)中學(xué)生存在的最大疑惑是：既然初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)，為什么高中還要再學(xué)函數(shù)？初高中函數(shù)概念之間到底存在什么區(qū)別與聯(lián)系？只有把這兩個問題真正搞清楚以后，學(xué)生才能避免初中函數(shù)概念對高中函數(shù)概念的負(fù)遷移，才能真正理解高中函數(shù)概念的本質(zhì). 從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來看，集合概念的產(chǎn)生不僅使函數(shù)概念完全擺脫了經(jīng)驗和直觀，而且使函數(shù)及建立在函數(shù)概念基礎(chǔ)上的微積分終于有了堅實的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)發(fā)展歷史充分證明了用集合語言刻畫函數(shù)概念的重要性. 從學(xué)生思維發(fā)展來看，學(xué)會運用“集合”與“對應(yīng)”觀點刻畫函數(shù)概念不僅有利于學(xué)生實現(xiàn)從具象思維向抽象思維的躍遷，而且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng). 因此，在教學(xué)時要把教學(xué)重點放在如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)并用相應(yīng)語言刻畫函數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上進一步弄清初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.

（2）教學(xué)難點：如何適應(yīng)從“變量”觀點認(rèn)識函數(shù)向“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)的轉(zhuǎn)變. 具體來說，就是如何用集合語言對初中階段所學(xué)的函數(shù)概念中的有關(guān)術(shù)語進行改造.

設(shè)計意圖：蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“真正能駕馭教學(xué)過程的高手，是用學(xué)生的眼光來讀教科書的.”因此，分析教學(xué)難點必須站在學(xué)生的角度并以學(xué)生的眼光去解讀. 而了解學(xué)生的難點一方面可以對學(xué)生進行調(diào)查. 我們曾經(jīng)通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多高中學(xué)生剛學(xué)函數(shù)時的最大困惑就是“既然初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)，為什么高中還要再學(xué)函數(shù)？”之所以會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因為初中函數(shù)概念在學(xué)生頭腦中已經(jīng)根深蒂固，這種思維定式不僅很容易造成對高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)的抵制，而且也很容易與高中函數(shù)概念產(chǎn)生混淆. 另一方面可以從函數(shù)概念的發(fā)展歷史中去把握.重演論認(rèn)為，個體數(shù)學(xué)理解過程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程具有相似性. 學(xué)生的認(rèn)識論障礙也出現(xiàn)于概念的歷史中，故歷史不僅有助于確定這些障礙，還有助于克服這些障礙[4]. 從函數(shù)概念與集合理論的發(fā)展歷史來看，函數(shù)概念從一開始萊布尼茨把函數(shù)看作是隨曲線變化而改變的幾何量到狄利克雷等人首次提出函數(shù)的變量定義，其間經(jīng)歷了一百多年的曲折變化;而集合理論的產(chǎn)生則更加艱辛，不僅產(chǎn)生較晚而且一開始還沒有得到人們的認(rèn)可.因此，如何讓學(xué)生真正經(jīng)歷用集合語言對初中階段所學(xué)的函數(shù)概念中的有關(guān)術(shù)語進行改造，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)從“變量”觀點認(rèn)識函數(shù)向“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)進行轉(zhuǎn)變是本節(jié)課的難點.

■教法學(xué)法設(shè)計

本節(jié)課主要采用發(fā)生教學(xué)法和問題解決教學(xué)法.

設(shè)計意圖：能在數(shù)學(xué)史上占據(jù)一定地位并能流傳下來的往往是精品，選擇教法、學(xué)法可以從HPM中獲得啟示. 本節(jié)課之所以采用發(fā)生教學(xué)法，主要是考慮到本節(jié)課的教學(xué)重點是讓學(xué)生學(xué)會用“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)，但為什么以及如何從“變量”觀點認(rèn)識函數(shù)向“集合”與“對應(yīng)”觀點認(rèn)識函數(shù)進行轉(zhuǎn)變是學(xué)生最感困惑的地方. 采用發(fā)生教學(xué)法不僅可以讓學(xué)生在充分了解函數(shù)概念產(chǎn)生與演變過程的基礎(chǔ)上自然而然地解開以上困惑;而且可以讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)家的研究歷程，了解數(shù)學(xué)研究的一般方法，破除對數(shù)學(xué)研究的神秘感;同時，還可以讓學(xué)生深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)研究的艱巨性和數(shù)學(xué)發(fā)展道路的曲折性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)家的崇敬之情和對數(shù)學(xué)的探索熱情.

在函數(shù)概念的探究過程中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生在回溯函數(shù)概念發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上意識到初中函數(shù)概念的不完善并進而對初中函數(shù)概念進行改進，又要引導(dǎo)學(xué)生通過初高中函數(shù)概念的對比弄清彼此之間的區(qū)別與聯(lián)系，這些都需要教師通過精心設(shè)計的“問題串”來循循善誘、步步深入地去探索，而采用問題解決教學(xué)法可以很好地實現(xiàn)這一目標(biāo).

■教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師首先通過PPT呈現(xiàn)恩格斯的語錄：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué).”然后在黑板上板書課題——函數(shù)的概念，引出課題并同時提出：

問題1：看到同學(xué)們一個個驚訝的表情，你們是不是想說：以前初中學(xué)過函數(shù)，為什么高中還要學(xué)？是不是老師搞錯了？

設(shè)計意圖：HPM不僅可以充分揭示數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，為新知識的生成找到恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知起點，而且可以觸發(fā)情境創(chuàng)設(shè)的靈感. 目前的課本一般是從實際生活來引入函數(shù)概念的，但這種引入方法與初中函數(shù)概念的引入過程如出一轍，這不僅難以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且會導(dǎo)致教學(xué)偏離本節(jié)課的教學(xué)重點;李大潛院士認(rèn)為，數(shù)學(xué)的發(fā)展并不完全依靠實際需求來推動，數(shù)學(xué)有其自身的能動性，如果一味地強調(diào)數(shù)學(xué)來源于生活，簡單地在所有的概念或命題前都機械地裝上應(yīng)用的實例，那么數(shù)學(xué)教學(xué)就會變得庸俗，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識就會變成用實際生活實例包裝的支離破碎的大雜燴. 數(shù)學(xué)知識之間的來龍去脈和數(shù)學(xué)美將蕩然無存，數(shù)學(xué)將會變成沒有靈魂的僵尸[5]. 事實上，函數(shù)概念從其產(chǎn)生與發(fā)展歷史來看，主要是來自數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，而不是實際的需要. 因此，通過還原函數(shù)概念發(fā)展的本來面貌，揭示函數(shù)概念產(chǎn)生與演變過程中的內(nèi)在矛盾來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，不僅可以充分激發(fā)學(xué)生的探究熱情，而且可以讓學(xué)生在經(jīng)歷函數(shù)概念演變與發(fā)展過程中更好地理解函數(shù)概念的來龍去脈及本質(zhì)屬性，提升學(xué)生的探究能力.

正是基于以上考慮，在教學(xué)時先板書課題“函數(shù)的概念”，讓學(xué)生產(chǎn)生高中怎么又要學(xué)習(xí)函數(shù)概念的疑惑，然后順勢拋出問題1，點出學(xué)生心中的困惑，引發(fā)學(xué)生強烈的好奇心. 當(dāng)學(xué)生將信將疑、急于知其所以然之際，再趁勢提出：

問題2：為什么初中學(xué)了函數(shù)概念高中還要再學(xué)？高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念到底與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念有什么區(qū)別與聯(lián)系？

設(shè)計意圖：“為什么初中學(xué)了函數(shù)概念高中還要再學(xué)？”“高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念到底與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念有什么區(qū)別與聯(lián)系？”等問題一直是纏繞學(xué)生的心結(jié)，也是高中函數(shù)教學(xué)中無法回避的大問題. 但由于種種原因，很多教師在進行函數(shù)概念教學(xué)時或渾然不知，或視而不見，或刻意回避，其結(jié)果只能“以其昏昏，使人昭昭”，只能靠對概念咬文嚼字的解讀和大量的機械訓(xùn)練來彌補這方面的不足，這不僅于事無補，反而會加重學(xué)生的負(fù)擔(dān). 而提出這一問題不僅可以充分揭示學(xué)生思維的困惑，找到新知識的生長點，而且可以真正抓住這節(jié)課的主要矛盾和教學(xué)重點.筆者曾經(jīng)做了一個簡單的調(diào)查，在2019年寒假結(jié)束前隨機抽取了某重點中學(xué)高一兩個班的學(xué)生分別說出（口答）、寫出初高中函數(shù)的定義，結(jié)果每個班約有八成的學(xué)生既說不出也寫不完整函數(shù)的定義，至于說出初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系就更談不上了，然而有關(guān)函數(shù)的題目卻照做不誤.

提出問題2后，教師不要馬上給予回答，因為在學(xué)生對函數(shù)概念發(fā)展歷史毫無了解的情況下進行解釋只能越描越黑. 這里不妨先給學(xué)生賣個關(guān)子，如通過“如果知道了函數(shù)概念的發(fā)展歷史，你們就可以知道這個問題的答案了”這樣懸念巧妙的一句話將學(xué)生的興奮點引導(dǎo)到對函數(shù)概念發(fā)展史的介紹上來.

研究表明，許多學(xué)生之所以對數(shù)學(xué)存在畏懼，很重要的原因是教師在教學(xué)時沒有找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點[6]. 美國著名的教育家D.P.奧蘇伯爾在其名著《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點》的扉頁上寫道：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué).”楊玉東博士曾經(jīng)提出：“要以本原性問題來推動數(shù)學(xué)教學(xué).”數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)知識的根，沒有數(shù)學(xué)史根基的知識往往是蒼白的、沒有生命力的. 數(shù)學(xué)史不僅可以充分揭示數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，而且可以為數(shù)學(xué)知識的探究指明方向. 引領(lǐng)學(xué)生共同探究函數(shù)概念發(fā)展歷史可以讓學(xué)生回歸函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展這一認(rèn)知起點，并從函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展的源頭里找到理解函數(shù)概念的金鑰匙.

對函數(shù)概念演變與發(fā)展歷史的探究既可以采用教師介紹的形式，也可以在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生檢索有關(guān)文獻(xiàn)自己去發(fā)現(xiàn). 對自主學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生可以采用后一種方法. 函數(shù)概念演變與發(fā)展歷史的探索可以緊扣以下歷史線索來展開：1694年，萊布尼茨最先從幾何角度提出“函數(shù)”這一名稱來表示那些隨曲線的變化而改變的幾何量，如曲線上點的坐標(biāo)、曲線的切線斜率、曲線的曲率半徑等;1718年，約翰·伯努利把函數(shù)歸結(jié)為由一個變量和一些常數(shù)構(gòu)成的任何總表達(dá)式，雖然對函數(shù)的認(rèn)識還比較局限，但函數(shù)概念開始擺脫對幾何和直觀的依賴而進入了代數(shù)，使得利用代數(shù)方法處理函數(shù)問題成為可能. 此后，歐拉進一步把函數(shù)推廣到變量和常數(shù)的任何方程或公式，使得函數(shù)基本上涵蓋了初等函數(shù)，如大家在初中所學(xué)的那些函數(shù). 雖然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道了許多各種各樣的具體函數(shù)，但函數(shù)到底是什么呢？為了回答這個問題，狄利克雷等人深入研究后提出了函數(shù)的變量定義：“變量是表示一組數(shù)中任何一個數(shù)的符號;如果x和y兩個變量如此地相關(guān)聯(lián)：只要給x一個值，則依某種規(guī)則或?qū)?yīng)，自動地規(guī)定給y一個值，則我們稱y是x的（單值）函數(shù).” 這基本上就是我們在初中階段所學(xué)的函數(shù)定義[7].

研究表明，個體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與數(shù)學(xué)發(fā)展之間存在共軛現(xiàn)象. 引領(lǐng)學(xué)生穿越數(shù)學(xué)歷史時空，與數(shù)學(xué)家進行對話，像數(shù)學(xué)家那樣去思考、探究并從中挖掘數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的本原性問題，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與科研素養(yǎng)，而且可以讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)發(fā)展脈動，經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化熏陶，這是HPM的靈魂所在.

問題3：還記得初中函數(shù)概念是怎樣定義的嗎？

設(shè)計意圖：通過數(shù)學(xué)史引出初中函數(shù)概念，由此檢驗學(xué)生對初中函數(shù)概念的掌握情況.一般情況下，大部分學(xué)生都會記得函數(shù)概念，若不記得，教師可以幫學(xué)生先復(fù)習(xí)一下.

雖然，利用變量來定義函數(shù)使函數(shù)有了統(tǒng)一的定義，但這樣的定義存在很多問題，如過于依賴直觀和定性認(rèn)識，無法采用符號語言對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等概念進行定量刻畫，理論體系不嚴(yán)密，等等.

2. 啟發(fā)引導(dǎo)，探究新知

問題4：你覺得初中的函數(shù)概念嚴(yán)謹(jǐn)嗎？如果不嚴(yán)謹(jǐn)，那不嚴(yán)謹(jǐn)在什么地方？假如你是數(shù)學(xué)家，你會怎么辦？？搖？搖？搖

設(shè)計意圖：由于初中的函數(shù)概念太過形象化，教師告知學(xué)生這一概念存在問題，讓學(xué)生自己思考哪里有問題，這樣學(xué)生才會印象深刻. 而讓學(xué)生對初中的函數(shù)概念提出質(zhì)疑，一方面可以更自然地引出高中的函數(shù)概念，另一方面則可以培養(yǎng)學(xué)生善于思考、善于質(zhì)疑的良好思維品質(zhì).當(dāng)然，對于這一問題，學(xué)生回答是存在一定困難的，但這一問題確實是學(xué)生想了解的，因此這個問題問得還是很有價值的. 如果學(xué)生能有所發(fā)現(xiàn)，教師可以在此基礎(chǔ)通過下面的問題5至問題7作進一步引導(dǎo).

基于函數(shù)概念演變與發(fā)展過程中的矛盾來設(shè)計問題，用本原性問題來推動數(shù)學(xué)教學(xué)有利于學(xué)生在對函數(shù)概念的建構(gòu)過程中更好地把握函數(shù)概念的本質(zhì).

問題5：“在某一變化過程中”是指怎樣的變化過程？x，y的變化范圍在這里有沒有指明？

問題6：x→y的對應(yīng)關(guān)系有沒有交代出來呢？

問題7：什么叫y隨x的變化而變化？你能用更精確的數(shù)學(xué)語言描述嗎？

設(shè)計意圖：問題5至問題7是問題4的具體化，目的是引導(dǎo)學(xué)生去探索初中的函數(shù)概念到底有哪些地方陳述模糊、不夠嚴(yán)謹(jǐn). 這三個問題可以同時提出，也可以根據(jù)學(xué)生的回答情況漸次展開.由于問題比較具體、方向比較明確，學(xué)生應(yīng)該會產(chǎn)生想法或共鳴. 在這里，學(xué)生如果能夠提出自己的想法甚至解決辦法固然很好，如果沒有想法也很正常. 這時教師可以進一步提出以下問題.

問題8：那么我們怎么解決以上的問題呢？有沒有什么想法？

設(shè)計意圖：提出這一問題的目的是希望學(xué)生能借助上節(jié)課剛學(xué)的集合概念來對這些比較模糊的術(shù)語進行描述，讓學(xué)生認(rèn)識到不僅自變量和函數(shù)值的變化范圍都可以用集合來進行表示，而且x→y的對應(yīng)關(guān)系也可以用數(shù)學(xué)符號來表示，然后自然而然地引出函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則這三個基本要素. 如果學(xué)生不能用集合來描述，教師可以啟發(fā)學(xué)生試著聯(lián)想上節(jié)課剛學(xué)的集合概念，探索運用集合語言描述x，y變化范圍的可能性和優(yōu)越性. 當(dāng)學(xué)生經(jīng)過這樣的探索以后，教師可以通過“同學(xué)們，想不想看看數(shù)學(xué)家是怎樣用集合和對應(yīng)觀點來定義函數(shù)的？”來引出函數(shù)的概念.

問題9：看了數(shù)學(xué)家給出的函數(shù)概念之后，同學(xué)們來比較一下，有哪些地方你們已經(jīng)想到了，有哪些地方你們還沒有想到.

設(shè)計意圖：將自己的研究成果與數(shù)學(xué)家的研究進行對比，對學(xué)生而言，一方面可以讓學(xué)生更好地了解自己探索過程中存在的優(yōu)缺點;另一方面可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)家的研究過程和研究方法;同時還可以讓學(xué)生充分體驗探究的樂趣和成功的喜悅，經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神的陶冶，激發(fā)學(xué)生進一步探究的積極性. 對教師而言，可以從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中找到解決數(shù)學(xué)矛盾、突破教學(xué)難點的方法.

3. 引申拓廣，鞏固新知

提出下列問題并讓學(xué)生分組討論.

問題10：同學(xué)們再來比較一下初高中函數(shù)概念之間有什么區(qū)別與聯(lián)系.

設(shè)計意圖：俗話說，有比較才有鑒別.高中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念遇到的最大困難是難以搞清初高中函數(shù)概念之間到底有何區(qū)別與聯(lián)系，這是導(dǎo)致許多函數(shù)錯題的根源所在. 通過比較不僅可以加深對函數(shù)概念的理解，而且還可以優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

小組討論以后，先請每個小組派出代表發(fā)言，然后教師總結(jié)，列出表1.

4. 課堂小結(jié)，梳理新知

先提出問題11：本節(jié)課有怎樣的收獲？

然后引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)家研究函數(shù)的方法、函數(shù)的三要素、初高中函數(shù)概念之間的異同點等方面對本節(jié)課所學(xué)的知識進行反思總結(jié).

設(shè)計意圖：提出“你有怎樣的收獲？”這一問題，不僅可以讓學(xué)生系統(tǒng)回顧函數(shù)發(fā)展歷史及本節(jié)課研究函數(shù)的思路，而且可以讓學(xué)生系統(tǒng)掌握本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識，同時還有助于學(xué)生了解聯(lián)系、比較等科學(xué)研究的一般方法，培養(yǎng)從不同角度看問題的習(xí)慣.

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