汪慶

摘 要：學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，錯(cuò)誤十分常見(jiàn)，屢教屢錯(cuò)的現(xiàn)象亦不在少數(shù)，作為一線教師，與其嘮叨抱怨，不如思考行動(dòng)。對(duì)待錯(cuò)誤，既要及時(shí)糾正，更要潛心鉆研歸因分析，并采取進(jìn)一步的改變措施才是亟待關(guān)注與深思的。

關(guān)鍵詞：易錯(cuò)點(diǎn);歸類(lèi)分析;策略摸索

一、研究背景

嘗試錯(cuò)誤說(shuō)觀點(diǎn)：學(xué)習(xí)即試誤，是形成刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)。而聯(lián)結(jié)就是某情境只能引起相應(yīng)反應(yīng)，而不能喚醒其他反應(yīng)的傾向。終日學(xué)終日誤，終日誤終日學(xué)，前者反映了錯(cuò)誤的常態(tài)性，學(xué)生的學(xué)習(xí)便是從無(wú)到有，從知之甚少到知之甚多，在此間錯(cuò)誤實(shí)屬正常，無(wú)須嚴(yán)苛強(qiáng)求。正如人們對(duì)自然、社會(huì)的認(rèn)識(shí)無(wú)不是一個(gè)從認(rèn)識(shí)到實(shí)踐再到認(rèn)識(shí)的不斷反復(fù)，是出錯(cuò)、糾錯(cuò)、改錯(cuò)，不斷調(diào)整與內(nèi)化的過(guò)程。盡管錯(cuò)誤難免，但也絕不提倡錯(cuò)誤。錯(cuò)誤猶如一種引力，每一種挫折或不利的突變，同時(shí)還帶著同樣或更大的有利種子。即在錯(cuò)誤中不斷反思前行，讓有利的種子開(kāi)花結(jié)果、絢爛多姿才是我們的不斷追求。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，錯(cuò)誤十分常見(jiàn)，作為一線教師，對(duì)待錯(cuò)誤，既要及時(shí)糾正，更要潛心鉆研歸因分析，并采取進(jìn)一步的改變措施。

二、歸類(lèi)分析

（一）混淆點(diǎn)

在教學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)有感覺(jué)：如果是全新的、完全陌生的內(nèi)容可能掌握相對(duì)較好，反而是經(jīng)驗(yàn)性的知識(shí)、相近知識(shí)的學(xué)習(xí)不盡如人意。這種狀態(tài)便是心理學(xué)上所謂的前攝抑制，即由于對(duì)原有知識(shí)的理解不充分，進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)相近新內(nèi)容的學(xué)習(xí)造成一定干擾與影響，而這種干擾也是產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因之一。當(dāng)然，后攝抑制的影響也時(shí)有存在。

1.“式”與“式”

浙教版七年級(jí)下冊(cè)，異分母分式加減運(yùn)算與分式方程是前后緊挨著的兩個(gè)課時(shí)，編寫(xiě)者也是出于兩者聯(lián)系緊密的考慮，可學(xué)生的表現(xiàn)卻讓教師無(wú)法預(yù)料。教師可能會(huì)預(yù)設(shè)公因式與公分母混淆，畢竟前者是系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低次冪，后者則是系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪。可預(yù)設(shè)與生成卻不同，混淆這兩者的學(xué)生人數(shù)還算一般，反而通分與分式方程去分母卻產(chǎn)生了一定的問(wèn)題。新學(xué)異分母分式相加減時(shí)不成問(wèn)題，學(xué)習(xí)分式方程時(shí)，部分學(xué)生卻是先通分而不是直接去分母，這也能理解。但之后再解異分母分式加減時(shí)，卻出現(xiàn)較多學(xué)生丟分母現(xiàn)象，是對(duì)分式基本性質(zhì)與等式基本性質(zhì)的混淆，其實(shí)同七年級(jí)上冊(cè)解分母中含有小數(shù)的一元一次方程時(shí)多乘少乘問(wèn)題實(shí)質(zhì)是一樣的。其次，到八年級(jí)的求形如3x2-6x+1的最小值與用配方法解3x2-6x+1=0時(shí)，是提出3還是等式兩邊同時(shí)除以3相混淆，再到推導(dǎo)一元二次方程的求根公式與二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)，都會(huì)產(chǎn)生一系列的連帶影響。因此，在最初接觸的時(shí)候，必須強(qiáng)化正確的理解。學(xué)生在出現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，本人也嘗試著做些形象的比方，可能還不是很合理與規(guī)范，但也是一種嘗試。將丟分母比喻成了脫褲子，只有有簾子（等號(hào)）才能丟，否則不雅。或者用具體的例子：2/3-1/3=2-1嗎？1/3=1嗎？那么學(xué)生在遲疑之時(shí)就會(huì)激起這些特殊例子的記憶，從而做出正確的決定。從本質(zhì)而言，上述問(wèn)題都是對(duì)代數(shù)式與等式的混淆。在初解一元一次方程時(shí)，部分學(xué)生出現(xiàn)“=5x-3x=5+7”雙等號(hào)的現(xiàn)象便是一種問(wèn)題反映。算式表示的一個(gè)結(jié)果，等式卻反映兩個(gè)量之間相等的關(guān)系，兩個(gè)等號(hào)之間有差別，務(wù)必讓學(xué)生從本質(zhì)上進(jìn)行理解與掌握，減少相互抑制，不斷循環(huán)反復(fù)。

2.“一”與“全”

說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，我們只要舉一個(gè)反例即可，但可能由于受小學(xué)枚舉法等思維不夠嚴(yán)密的影響，學(xué)生在證明一個(gè)真命題時(shí)，也同樣會(huì)以一個(gè)或幾個(gè)符合為判斷依據(jù)而認(rèn)為結(jié)論的正確性?！耙弧笔欠褡銐蜃C明，學(xué)生對(duì)此產(chǎn)生了混淆。比如：nn+1與（n+1）n（n為正整數(shù)）的大小比較時(shí)，學(xué)生往往會(huì)舉最簡(jiǎn)單的n=1，2的情況，以此判斷后者大，以偏概全，殊不知從n=3開(kāi)始，結(jié)論已發(fā)生了改變，即使舉再多的例子也并不能代表全部，畢竟此題中n為正整數(shù)，無(wú)限多，因此歸納推理或者小學(xué)中經(jīng)常使用的實(shí)驗(yàn)操作（證明三角形三內(nèi)角和等于180度時(shí)用剪、拼或折疊的方法）等都需要更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程才能證明真命題，這是必須要強(qiáng)化的觀念，畢竟數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性、嚴(yán)密性很強(qiáng)的學(xué)科。

在思維的固定性方面，既然“一”不能代表全部來(lái)證明真命題，學(xué)生也就將考試時(shí)用特殊值法快速解答選擇填空的技巧給自然地丟棄在了一邊，這便是一種極端，其實(shí)很多時(shí)候，特殊值巧解不失為一個(gè)又快又準(zhǔn)確的好方法。比例中，2∶a=3∶b=4∶c求相關(guān)代數(shù)式的值的時(shí)候或者當(dāng)0

但特殊值也有它的不利性，可能是一種思維的限制，如下2016蕭山二模卷。

如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊AB與反比例函數(shù)y=1/x（x>0）的圖象交于點(diǎn)D，且AD∶DB=1∶8，則：

（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)______________________;

（2）設(shè)P是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PB長(zhǎng)度的最小值是______________________。

第二問(wèn)中，大部分學(xué)生最初的猜測(cè)可能就是：當(dāng)P點(diǎn)在對(duì)角線OB與反比例函數(shù)交點(diǎn)處取到最小值，這便是一種思維上的定式。在教學(xué)中，學(xué)會(huì)兩面看問(wèn)題，學(xué)會(huì)全面看問(wèn)題，既不拘泥刻板，又不乏靈動(dòng)新奇，具體問(wèn)題具體對(duì)待。

3.“大”與“小”

很多學(xué)生由于對(duì)相近或者屬于特殊與一般關(guān)系的兩個(gè)概念分不清導(dǎo)致一些錯(cuò)誤，如關(guān)于x的方程rx2-（2r+7）x+r+7=0根是正整數(shù)，則整數(shù)r可以是？這題學(xué)生初感知就是一元二次方程，可能部分研究會(huì)認(rèn)為這是對(duì)一元二次方程概念不清導(dǎo)致的錯(cuò)誤，而本文認(rèn)為從某種角度來(lái)分析，也是對(duì)方程與一元二次方程概念的區(qū)分度不清。方程沒(méi)說(shuō)是什么方程，就要分情況討論了。此類(lèi)錯(cuò)誤我會(huì)讓學(xué)生將方程二字圈起來(lái)，以顯警示。另外也可以做一些類(lèi)似的延伸：一次函數(shù)與直線的區(qū)別，直線的解析式不一定都是一次函數(shù)形式。數(shù)軸與直線（數(shù)軸是直線，但直線不一定是數(shù)軸），自然數(shù)與整數(shù)，范疇上大小關(guān)系的題目均可以嘗試用辨析題，讓學(xué)生判別分析哪個(gè)才是正確，學(xué)生既能提高聽(tīng)課注意力的集中程度，又能加深對(duì)此類(lèi)范疇有大小之別題型的理解與掌握。如一次函數(shù)y=kx+b的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，學(xué)生只知普通的一次函數(shù)，卻丟了特殊的正比例函數(shù)，十分普遍。

（二）忽略點(diǎn)

1.忽視成立的附加條件

對(duì)此，教師其實(shí)還是可以做到提前預(yù)設(shè)，在課堂教學(xué)中通過(guò)游戲辨析、反例分析等方法強(qiáng)化條件的重要性和必要性，及時(shí)消滅錯(cuò)誤的萌芽。

2.忽視過(guò)程中的隱含點(diǎn)

如果說(shuō)上述定義性質(zhì)等成立的條件還能被部分學(xué)生關(guān)注，那么過(guò)程中的條件可能就沒(méi)那么輕易被留心了，畢竟其“深藏不漏”，考查的能力也會(huì)更全面。

韋達(dá)定理與求根公式有著緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)求根公式時(shí)，是在當(dāng)b2-4ac≥0的前提下，才能推導(dǎo)得出兩根之和與兩根之積的，雖然工具性理解（知道法則但不知緣由和來(lái)龍去脈）似乎從表象上看更直接，更快捷，但終究只是表象，只有知其然且知其所以然才能培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中，重訓(xùn)練輕算理，重結(jié)果輕過(guò)程，肯定是機(jī)械化與目光短淺，是絕不可取的。又如，

這是一個(gè)屢考屢錯(cuò)的題目，大部分學(xué)生對(duì)2基本能認(rèn)定它不可代入，但在化簡(jiǎn)過(guò)程中新出現(xiàn)的分母（a+3）（a-3）卻極易忽略，而導(dǎo)致認(rèn)為可將3代入，這便是在解答過(guò)程中對(duì)新增加的某些限制條件的忽視導(dǎo)致的常規(guī)錯(cuò)誤。有些隱含的條件表面上看起來(lái)可有可無(wú)，然則至關(guān)重要，為引起學(xué)生的警覺(jué)與重視，防止學(xué)生思考的片面性和表面化，可列出一些反例，既強(qiáng)調(diào)了不容忽視，十分重要，又訓(xùn)練了思維的批判性與深刻性。數(shù)學(xué)是一門(mén)考查細(xì)節(jié)的學(xué)科，在諸多的陷阱中能不被深陷才是能力與實(shí)力的體現(xiàn)。

（三）易多易少點(diǎn)

如果一個(gè)命題的條件或者結(jié)論（大部分是條件不確定）難以統(tǒng)一解答，就需逐一加以討論，最后再進(jìn)行整合歸納出正確的結(jié)論，這便是分類(lèi)討論。要注意幾個(gè)問(wèn)題：1.什么時(shí)候要分類(lèi)，即條件中的不確定而分類(lèi)，幾何中往往體現(xiàn)在位置的不確定上，常見(jiàn)的如已知線段AB長(zhǎng)為7cm，點(diǎn)C在直線AB上，且AC=3cm，求BC的長(zhǎng)度。由于點(diǎn)C位置的不確定性，可能是A的左邊或右邊3cm處，導(dǎo)致結(jié)果的多樣性。而代數(shù)中難點(diǎn)往往集中在絕對(duì)值、平方根這些區(qū)塊。關(guān)于平方根，由于概念與表示上的抽象化，學(xué)生在理解上存在著相當(dāng)大的困難。對(duì)此，本人也嘗試用一些雖不規(guī)范但通俗易懂的話語(yǔ)以便學(xué)生理解。原數(shù)認(rèn)為是老王，它的兩個(gè)平方根，當(dāng)作是老王的兩個(gè)兒子——大王和小王。學(xué)生經(jīng)常會(huì)丟負(fù)的那個(gè)平方根，可否嘗試：老王有兩個(gè)兒子，如果老王的兒子是大王，那小王不是覺(jué)得委屈了嗎？這樣在解決：4的平方根是2，2是4的平方根上就能辨別孰對(duì)孰錯(cuò)了。2.注意分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一性，不漏不重。3.分類(lèi)討論中最易忽視討論之后的檢驗(yàn)或舍去的環(huán)節(jié)。如，一元二次方程中的“為了使顧客得到優(yōu)惠”，隱含條件Δ，分式方程增根問(wèn)題，等。因而一定要嚴(yán)謹(jǐn)、周密，既不能丟解，也不能多解。

分類(lèi)討論對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性要求很高，討論煩瑣，另一方面，也不能一見(jiàn)參數(shù)便討論，還是有必要從不同角度入手，能簡(jiǎn)化或回避分類(lèi)討論自然是更好，更簡(jiǎn)便。如二次函數(shù)，用水平寬鉛垂高求三角形面積時(shí)，表示某些垂直于x軸的線段就無(wú)須根據(jù)點(diǎn)的位置再作圖分情況，直接加絕對(duì)值即可，如此省去煩瑣的思索與書(shū)寫(xiě)過(guò)程。

（四）難記難解點(diǎn)

數(shù)學(xué)雖重邏輯與過(guò)程，但也不乏在理解基礎(chǔ)上的記憶部分。如一些概念、因式分解，很大一部分學(xué)生對(duì)此難以準(zhǔn)確地表述。對(duì)此，除了要加強(qiáng)對(duì)概念的本質(zhì)屬性通過(guò)與小學(xué)分解質(zhì)因數(shù)類(lèi)比并準(zhǔn)確歸納之外，也需適當(dāng)記憶，為方便，也可嘗試簡(jiǎn)化為：因式分解即多項(xiàng)式=整式×整式。又如相交線的概念前提：在同一平面內(nèi)。可舉教室內(nèi)現(xiàn)成線段作為反例，通過(guò)實(shí)物，加強(qiáng)印象。同時(shí)也可以對(duì)初中階段需加此條件的性質(zhì)等作一整理，以便整體串聯(lián)記憶。又如，在平面直角坐標(biāo)系中概念較多，可否借助學(xué)生的座位，以教師或某個(gè)學(xué)生的位置為原點(diǎn)，提問(wèn)橫軸、縱軸上或每個(gè)象限內(nèi)的學(xué)生情況，特別要注意一些易錯(cuò)點(diǎn)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限等。如此，既能活躍課堂氣氛，集中學(xué)生注意力，讓學(xué)生在活動(dòng)中提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，又能通過(guò)活動(dòng)加深學(xué)生對(duì)易混淆知識(shí)點(diǎn)的掌握。

教學(xué)難點(diǎn)，往往超出了學(xué)生的理解范圍，受其認(rèn)知、智力因素等影響。分式方程中的增根無(wú)解的問(wèn)題就是學(xué)生深感困難的一塊內(nèi)容。摸索著能否：相同點(diǎn)是都需要先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，區(qū)別是

增根：有根，只是這個(gè)根是分式無(wú)意義的根，注意增根可能不止一個(gè)。

如文科班進(jìn)行兩者關(guān)鍵信息提煉，可能更好理解些。

三、摸索策略

（一）專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

針對(duì)上述的易錯(cuò)點(diǎn)，即使教師在教學(xué)前提前干預(yù)，盡量減少學(xué)生刻板印象，也肯定不可能完全避免混淆與錯(cuò)誤。因而，在出現(xiàn)群體性的問(wèn)題之后，教師可臨時(shí)再追加一些微專(zhuān)題或微課，內(nèi)容可以多樣化。畢竟此種練習(xí)針對(duì)性強(qiáng)，時(shí)效性好，細(xì)致性分明，還可重復(fù)。課內(nèi)與課外相結(jié)合，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)上，微專(zhuān)題等發(fā)揮著課堂教學(xué)所不可替代的作用，尤其是在當(dāng)前所處的大背景下。以年級(jí)組或教研組為單位創(chuàng)辦微信公眾平臺(tái)，集教師的智慧和力量，及時(shí)更新同進(jìn)度的相關(guān)內(nèi)容，可以是每日一題或微視頻講解或題組變式提升，學(xué)生可針對(duì)自身的問(wèn)題，不懂的隨時(shí)聽(tīng)，不明白的反復(fù)聽(tīng)，便能有效擺脫學(xué)習(xí)時(shí)空的限制，大大提高學(xué)習(xí)效率。

比方說(shuō)，對(duì)二次根式有意義這一知識(shí)點(diǎn)可出示如下訓(xùn)練。

涉及內(nèi)容相對(duì)全面，難度也層層遞進(jìn)。二次根式的大小比較方法上也可適當(dāng)延伸取倒數(shù)法、平方法等，因材施教，不過(guò)高要求，也不過(guò)于保守，把好教學(xué)延伸的“度”，決不能讓專(zhuān)題成為增加學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的另一形式。

（二）助力圈畫(huà)

對(duì)于分情況討論中備用圖的使用，絕大部分學(xué)生很不上心，范圍、圖形、方程，檢驗(yàn)是很常規(guī)的過(guò)程，教師還需不斷引導(dǎo)并給他們充足的時(shí)間思考與作圖。草稿也需保證清晰、明白，在狹小的區(qū)域畫(huà)圖或打草稿很容易由于不清晰造成的錯(cuò)誤或思維阻隔。逐漸規(guī)范細(xì)節(jié)才能盡可能減少錯(cuò)誤的產(chǎn)生。

（三）構(gòu)建網(wǎng)架

系統(tǒng)論認(rèn)為：系統(tǒng)地組織起來(lái)的材料能提供的信息遠(yuǎn)大于各部分材料信息之和。創(chuàng)造心理學(xué)也表明：新的發(fā)明創(chuàng)造主要取決于整體性認(rèn)知框架的轉(zhuǎn)化。而數(shù)學(xué)的生命力就在于各個(gè)部分的內(nèi)在聯(lián)系。從引入負(fù)數(shù)，完成有理數(shù)，實(shí)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充，圍繞字母表示數(shù)展開(kāi)到方程、不等式，函數(shù)以及之間的數(shù)形結(jié)合，無(wú)不體現(xiàn)其較強(qiáng)的邏輯結(jié)構(gòu)與順序。

但學(xué)生在每個(gè)課時(shí)中學(xué)到的內(nèi)容往往是零散的，如以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式存于大腦，便是將內(nèi)容學(xué)習(xí)經(jīng)歷從厚到薄的過(guò)程，也便于隨時(shí)提取相關(guān)的聯(lián)動(dòng)信息，有助于把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。比如：

柱體—直棱柱—直四棱柱—長(zhǎng)方體—立方體，并附加需要添加的條件。平行四邊形、矩形、菱形、正方形都從邊角對(duì)角線、對(duì)稱(chēng)性四維度探究性質(zhì)，也有多個(gè)相應(yīng)的判定方法，可引導(dǎo)學(xué)生形成一張表格，形成體系，那么八下最后四五兩章節(jié)的內(nèi)容便濃縮成了一張表格，直觀、簡(jiǎn)潔、明了。

七上一、二、三章內(nèi)容有易混淆的，如：絕對(duì)值，倒數(shù)，相反數(shù)，平方根，算術(shù)平方根，立方根，它們本身的分別是哪些，可整理成區(qū)塊，也可嘗試數(shù)學(xué)作文內(nèi)化成體系，如題為“0的特殊性”文章，學(xué)生大膽嘗試所有相關(guān)內(nèi)容，教師給予適當(dāng)點(diǎn)評(píng)并補(bǔ)充。

（四）錯(cuò)題利用

逐漸培養(yǎng)學(xué)生易錯(cuò)題等進(jìn)行整理分類(lèi)的習(xí)慣，并不斷補(bǔ)充完善，定期查閱，學(xué)會(huì)交流，盡量避免二次錯(cuò)誤。教師也可以將學(xué)生錯(cuò)題為例題引入，加強(qiáng)對(duì)其的深入認(rèn)識(shí)。亦可鼓勵(lì)家長(zhǎng)充分利用手機(jī)App、打印機(jī)等設(shè)備，將錯(cuò)題收集后可提取成冊(cè)，或組卷分享練習(xí)，監(jiān)督掌握情況。

錯(cuò)題集能一定程度上保證學(xué)生對(duì)自我的認(rèn)識(shí)評(píng)價(jià)，使他們從學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)，會(huì)一題通一類(lèi)，有效幫助學(xué)生脫離題海戰(zhàn)術(shù)苦海，通過(guò)開(kāi)展針對(duì)性錯(cuò)題復(fù)習(xí)回顧，少做，精做，真正意義上實(shí)現(xiàn)適當(dāng)減負(fù)。

（五）品質(zhì)培養(yǎng)

質(zhì)疑能力是善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，學(xué)起于思，思源于疑，潛心鉆研，丟棄浮躁，增強(qiáng)抗挫力做打不死的小強(qiáng)，鼓勵(lì)學(xué)生敢問(wèn)，敢說(shuō)，敢思，敢想。社會(huì)的快節(jié)奏，也使學(xué)生普遍浮躁，各種網(wǎng)絡(luò)的搜題等應(yīng)用程序，能快速知曉答案，懶惰變得越來(lái)越強(qiáng)大，更給學(xué)生的靜心思索帶來(lái)嚴(yán)峻考驗(yàn)。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)意志，才能用大腦控制并調(diào)節(jié)行動(dòng)，讓行動(dòng)向有利的方向前行。部分學(xué)生往往看到數(shù)學(xué)題目一長(zhǎng)就立馬心浮氣躁，只要是分類(lèi)討論的，便立馬不求全部解答，倒地投降，完全缺乏攻破它的意志力。加強(qiáng)同伴與教師影響力，讓共同進(jìn)步、一起探索的氛圍感染個(gè)體心間，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心，讓思維之花逐漸絢爛多彩，是我們不斷的追求。

本研究還是具體實(shí)例較多，普遍性的策略可能還留于表面，還有待進(jìn)一步地深入和探討，尚處于摸索階段，有待各位專(zhuān)家學(xué)者批評(píng)指正。

總之，學(xué)生的錯(cuò)誤由多重因素影響導(dǎo)致，根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的不同錯(cuò)誤，變錯(cuò)為寶，讓錯(cuò)誤成為正確不可或缺的資源，在錯(cuò)誤中反思調(diào)整，靜待花開(kāi)，撥云見(jiàn)日，即使絕非一朝一夕可得，但仍要堅(jiān)信厚積薄發(fā)，量變到質(zhì)變。

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