劉曉燕

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2011-5640-0603

摘? 要：《線性代數(shù)》課程在授課內(nèi)容上及演練過(guò)程中嚴(yán)謹(jǐn)有余，趣味不足，難以調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，這是講授該課程的一大難點(diǎn)。對(duì)應(yīng)用型本科大學(xué)而言，該課程作為必修課在各個(gè)專業(yè)廣泛開(kāi)設(shè)，在教學(xué)方法上也得到了很大的發(fā)展。本文通過(guò)研究相關(guān)教學(xué)案例，將對(duì)案例的具體分析方法引入到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的講解當(dāng)中，既可以提高解題的效率，又可以有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，使得該課程的講授更加合理、有效。

關(guān)鍵詞：情境代入? 線性代數(shù)? 課程教學(xué)? 實(shí)施

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2021）01（c）-0172-03

Implementation of situational substitution method in the teaching of linear algebra for application oriented undergraduates

LIU Xiaoyan

（Guangzhou Institute of technology and technology， Guangzhou， Guangdong? ?Province， 528138 China）

Abstract： The course of Linear Algebra is more rigorous in teaching content and practice.And it is difficult to arouse the enthusiasm of learning because of its lack of interest. For applied undergraduate universities， this course is widely offered as a compulsory course in various majors and has been greatly developed in teaching methods. By studying the relevant teaching cases， this paper introduces the concrete analysis method of the case into the explanation of the knowledge points. Which can not only improve the efficiency of solving problems but also improve the quality of teaching and students' enthusiasm for learning. It can make the course more reasonable and effective.

Key Words： Substitution of circumstance; Linear algebra; Course teaching; Implementation

1? 線性代數(shù)的教學(xué)背景與現(xiàn)狀

《線性代數(shù)》是本科院校理工類專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課。相對(duì)于另一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課《高等數(shù)學(xué)》而言，它的內(nèi)容要少的多，但是很多學(xué)生還是覺(jué)得難以入門(mén)。這主要是是因?yàn)椤毒€性代數(shù)》從一開(kāi)始就是很多抽象概念，給初學(xué)者設(shè)置了許多的攔路虎。雖然有很多的學(xué)者在課程內(nèi)容設(shè)置上對(duì)其進(jìn)行了調(diào)整，但是由于初接觸者必須先掌握其特定的運(yùn)算法則與相關(guān)定義，定義的抽象性就決定了前期的引入還是有其難處。

研究性教學(xué)是當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一大熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)史的研究培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)知識(shí)的研究培養(yǎng)學(xué)生“研究性學(xué)習(xí)”的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和可持續(xù)發(fā)展的能力。在線性代數(shù)的課程教學(xué)改革中，案例教學(xué)、情境代入教學(xué)法都能夠很好地補(bǔ)充課程理論充分、應(yīng)用不足的缺陷，將線性代數(shù)中的知識(shí)完美地應(yīng)用于實(shí)例研究當(dāng)中，是值得廣泛推廣和運(yùn)用的教學(xué)手段。

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，分析理論與工具的進(jìn)步，線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)、金融、控制等方面都有著極其重要的地位與作用。學(xué)好線性代數(shù)是掌握一般分析方法的理論前提和基礎(chǔ)，是進(jìn)一步深化學(xué)習(xí)的有效工具。

2? 情境代入在課程教學(xué)中的實(shí)施

在現(xiàn)行的主流教學(xué)過(guò)程中，還是以定義引入為主，以解決線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題為主線，輔以特征值和特征向量的性質(zhì)，最后以二次型的標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程為目標(biāo)，串聯(lián)起整個(gè)線性代數(shù)的知識(shí)內(nèi)容。單就知識(shí)內(nèi)容而言，線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容相對(duì)來(lái)說(shuō)較為獨(dú)立，用不到本科階段前期所學(xué)的微積分部分的內(nèi)容，這對(duì)很多學(xué)生而言是件好事，因?yàn)楹芏嗟膶W(xué)生對(duì)于需要用到微積分來(lái)解決問(wèn)題的學(xué)科往往感到頭疼。

《線性代數(shù)》課程教學(xué)中一個(gè)需要主要解決的問(wèn)題就是線性方程組的求解，整個(gè)課程幾乎都是圍繞這個(gè)內(nèi)容展開(kāi)。但是很多教材都是一開(kāi)始便對(duì)行列式以及矩陣這兩個(gè)學(xué)生不熟悉的內(nèi)容進(jìn)行了詳盡的闡述，然后才開(kāi)始運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決線性方程組的求解問(wèn)題。如果我們可以直接從線性方程組或者多元一次方程組入手，以大家熟悉的高斯消元法為切入點(diǎn)，引出方程組的求解方法會(huì)更容易讓學(xué)生接受。例如：

求解線性方程組

解法一：利用Cramer法則

得到方程組的解：

解法二：利用高斯消元法

②-5①，③-3①得到新的方程組

將上式中③-7/9②得

得到原方程組的解：

顯然，使用消元法能夠讓學(xué)生更容易消化吸收，輔之以介紹Cramer法則，檢驗(yàn)兩種算法結(jié)果的一致性，讓學(xué)生更快認(rèn)可Cramer法則在求解線性方程組中的正確性。但是很顯然，Cramer法則在計(jì)算過(guò)程中涉及到高階行列式的計(jì)算，處理起來(lái)更復(fù)雜一些。

線性代數(shù)從計(jì)算層次來(lái)說(shuō)只需要用到小學(xué)階段十進(jìn)制的加減乘除四則運(yùn)算，但是運(yùn)算量卻是隨著階數(shù)的增加呈級(jí)數(shù)遞增趨勢(shì)。以一個(gè)三階行列式計(jì)算為例，只需要計(jì)算6個(gè)3元素相乘之和，但是四階行列式就需要計(jì)算4！=24個(gè)4元素相乘之和，五階行列式就需要計(jì)算5！=120個(gè)5元素的乘積之和……行列式的計(jì)算從定義式來(lái)說(shuō)是繁復(fù)的，但是如果可以指導(dǎo)學(xué)生將計(jì)算進(jìn)行公式化處理寫(xiě)入計(jì)算機(jī)，以當(dāng)前計(jì)算機(jī)處理運(yùn)算的速度，這些運(yùn)算根本就不值一提了。

在行列式的計(jì)算過(guò)程中，如果不使用定義式進(jìn)行計(jì)算，那么就可以根據(jù)性質(zhì)來(lái)對(duì)行列式進(jìn)行處理，其中最重要也是最常用的一個(gè)性質(zhì)就是將行列式某一行的k倍加到另一行，行列式的值不變。這也是矩陣的初等行變換里的運(yùn)算是一樣的，只不過(guò)在行列式里面，這個(gè)性質(zhì)是拿來(lái)做行列式運(yùn)算，保證其運(yùn)算的有效運(yùn)行。而在矩陣?yán)锩?，這只是一種變形方式，保障矩陣的形式可以變化成需要的形式。例如

計(jì)算行列式：

若從行列式的定義出發(fā)，展開(kāi)之后有24項(xiàng)4個(gè)元素的乘積之和，加上對(duì)每一項(xiàng)的符號(hào)判斷，處理起來(lái)并不方便。如果可以從行列式的性質(zhì)入手，將行列式進(jìn)行等價(jià)變形：

運(yùn)用行列式的基本性質(zhì)處理之后再來(lái)計(jì)算行列式，顯然工作量會(huì)減少很多。

從該課程的整個(gè)知識(shí)體系來(lái)說(shuō)，初等變換是其中最重要的一個(gè)處理手段。無(wú)論是向量組的線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)性判斷，向量組里面極大無(wú)關(guān)組的尋找，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，還是特征值的計(jì)算，正交變換的確定，以及行列式的簡(jiǎn)便運(yùn)算等，都需要用到初等變換。初等變換涉及到的計(jì)算并不難，但是過(guò)程卻很繁瑣。一個(gè)n×m階的矩陣，一行初等變換下來(lái)要做m次加法運(yùn)算，整個(gè)矩陣就需要做n×m次的加法。當(dāng)然，在現(xiàn)在的教學(xué)條件下，計(jì)算次數(shù)多并不是一個(gè)問(wèn)題。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自己去掌握一些計(jì)算處理軟件，如Matlab，Lingo等，這樣將對(duì)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)起到很好的促進(jìn)作用。當(dāng)然，有條件的院校，完全可以根據(jù)自身?xiàng)l件開(kāi)設(shè)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)課程。

隨著信息化時(shí)代的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)問(wèn)題滲透于工科課程的很多方面。特別是在線性代數(shù)課程中，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的滲透表現(xiàn)的更為突出。為了讓學(xué)生了解科學(xué)前沿問(wèn)題并提高學(xué)習(xí)興趣， 在講授矩陣特征值與特征向量的概念、計(jì)算方法和幾何意義時(shí)， 引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性的排序和同步問(wèn)題， 舉例說(shuō)明特征值和特征向量在其中的應(yīng)用， 以此將網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的研究問(wèn)題滲透到線性代數(shù)的教學(xué)中來(lái)。這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還能夠提高理論學(xué)習(xí)的理解效果。

情境教學(xué)的重要手段之一就是案例教學(xué)。線性代數(shù)的理論知識(shí)由于其獨(dú)立性，基本是自成體系，所以除了以前所學(xué)的數(shù)字的四則運(yùn)算是熟悉的，其他基本都是新概念，要學(xué)生理解起來(lái)難度是相當(dāng)大，所以引入案例分析十分必要。當(dāng)然，在設(shè)置案例的過(guò)程中，必須結(jié)合學(xué)生的所學(xué)專業(yè)、學(xué)校的培養(yǎng)目標(biāo)，綜合考慮教學(xué)的條件，選擇較為普遍的事件引入概念，或介紹較為前沿的研究成果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。例如，可以運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的投入產(chǎn)出模型，構(gòu)建矩陣的思維模式;可以通過(guò)對(duì)能量圖的計(jì)算，將與矩陣特征值相關(guān)聯(lián)的譜理論進(jìn)行推廣。比如在對(duì)矩陣的分析中，可以引入人員分配問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)矩陣有一個(gè)直觀的感受與概念。在對(duì)行列式的計(jì)算進(jìn)行講解前，結(jié)合《高等數(shù)學(xué)》里面所涉及到的向量積的概念，可以直觀地解釋三階行列式的按行展開(kāi)。降階是行列式計(jì)算里面的一個(gè)重要處理思路，而降階跟高等數(shù)學(xué)積分運(yùn)算里面的降次處理手段相結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)到降階可以極大簡(jiǎn)化運(yùn)算，減少運(yùn)算次數(shù)。

3? 情境代入教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)與限制

通過(guò)情境代入教學(xué)，就是通過(guò)線性代數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，使用行列式或者矩陣來(lái)刻畫(huà)和分析各種實(shí)際問(wèn)題。這樣不僅可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還可以擴(kuò)展學(xué)生的視野，提升學(xué)生的知識(shí)層次。通過(guò)情境代入式教學(xué)方法，可以將線性代數(shù)里面枯燥的理論轉(zhuǎn)化為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探究。這一方法的使用可以有效地將抽象概念與定理進(jìn)行具體化，使得相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)更加通俗易懂。

情境代入的教學(xué)方法的優(yōu)點(diǎn)是顯然的，但是情境教學(xué)的實(shí)施也有其局限性。其一，對(duì)于學(xué)生而言，很多學(xué)生始終對(duì)數(shù)學(xué)類課程抱著難學(xué)的偏見(jiàn)，一開(kāi)始就拒絕各種輸入，這是數(shù)學(xué)類課程教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到的一個(gè)現(xiàn)象;還有學(xué)生缺乏動(dòng)手能力，或者對(duì)新知興趣不大，這也會(huì)讓教師的教學(xué)熱情減退。其二，對(duì)教師而言，要施行情境代入式的教學(xué)模式，需要教師對(duì)各種數(shù)學(xué)類處理軟件有著相當(dāng)?shù)牧私?，另外，也需要教師?duì)各不同專業(yè)學(xué)科知識(shí)與線性代數(shù)的發(fā)展前沿動(dòng)態(tài)有所掌握，這樣才能在課堂上如行云流水，將線性代數(shù)這門(mén)基礎(chǔ)課講清楚、講好，讓學(xué)生能聽(tīng)得進(jìn)去，進(jìn)而可以運(yùn)用線性代數(shù)的相關(guān)理論做一些事件以及應(yīng)用分析，這也算是對(duì)教師的較高層次的教學(xué)要求。

4? 結(jié)語(yǔ)

在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，普遍存在課程理論性太強(qiáng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)參差不齊，應(yīng)用推廣起來(lái)難度較大等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。加強(qiáng)教學(xué)效果的主要方式可以使用案例引入，通過(guò)對(duì)案例的分析引出線性代數(shù)的相關(guān)理論。有條件的院?？梢越Y(jié)合計(jì)算機(jī)教學(xué)，開(kāi)設(shè)相關(guān)的計(jì)算機(jī)編程教學(xué)的課程，運(yùn)用Matlab這一數(shù)學(xué)軟件，實(shí)際操作一下如何使用矩陣解決問(wèn)題的方法，促進(jìn)教師對(duì)學(xué)生掌握線性代數(shù)知識(shí)把握的程度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)思維模式，擴(kuò)展學(xué)生的視野，將線性代數(shù)這一門(mén)跟現(xiàn)代技術(shù)結(jié)合緊密的學(xué)科知識(shí)掌握好。更進(jìn)一步地，可以讓學(xué)生對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的前沿研究有一定的了解。而這些對(duì)教師而言，可以提升自身對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解，于學(xué)生而言，更是為他們打開(kāi)了一扇通往運(yùn)用技術(shù)處理實(shí)際問(wèn)題這條道路的入口。

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