《數學分析》初學中存在的問題及其成因

王雅萱

◆摘? 要：《數學分析》學習是個難點。本文分析大一學生在概念定義、數學觀念、問題解決、知識結構、自主自學和數學思考等方面存在問題及其成因，以提高《數學分析》教和學的效果。

◆關鍵詞：《數學分析》;數學學習;學習能力

《數學分析》內容理論性比較強，抽象嚴謹，客觀上給學生造成了理解難度，初次學習不易獲得學習成功感受。多數學生被動學習《數學分析》，表現為死記硬背，不求甚解，套用教材例題完成作業(yè)，學習《數學分析》僅為了考試通過，缺乏學習興趣和動機。本文針對目前大一學生學習《數學分析》存在問題及原因進行探討，或許對《數學分析》教與學有所啟發(fā)。

1概念定義方面

《數學分析》概念是《數學分析》思維基本形式，而概念的形式化和符號化結果是概念定義，是抽象的。學生能夠理解概念表象，但并不能運用概念定義按照邏輯規(guī)則證明命題或解決問題，尤其不能用概念定義構造思路，表現為概念內涵理解不到位。如，學習了函數極限ε–δ多種定義后，不會利用定義證明函數極限題目，不能表達“因變量變化趨勢”與“自變量變化范圍或鄰域”之間的相互依賴的量的關系。這些問題產生緣由，一方面在于學生思維方式還處于初等數學經驗型，沒能過渡到形式化思維，對于定義中涉及到符號邏輯關系理解不清。學生對概念的建構也僅僅是處在一個程序階段，沒有進入抽象階段。所以，他們難以建立來自于數學結構的思維方式。另一方面在于教師教學時，沒有創(chuàng)設概念定義的認知圖式，不利于形成豐富的概念具象;沒有從言語、符號、圖形等表征有邏輯地推理式理解，不能形成定義的模式結構，在證明過程中也就不能有效的利用模式定義構建思路。

2數學觀念方面

有的學生認為數學是一種游戲，學數學是背記定義定理，套例題，練習習題，要想解決數學問題必須多練習，借用典型題目是學生常用解題策略，至于其中的數學思想方法不作為學習任務。學生不去提供實際例子來說明教師的講課內容。對于數學考試中的問題，在他們看來，研究試題的求解對考試來說是比較有用的，而定理的證明往往不太有用，除非考試前有明確告知。而授課過程中的一些評論或注釋則認為是比較有用的，這大概是因為考試中會涉及到這些知識點的緣由。如，初學《極限與連續(xù)》時，它涉及到極限理論相對抽象，學生不愿思考概念的來龍去脈，只是把重點放在求極限的例習題上。這些問題產生緣由，一方面在于學生在數學學習經歷中形成的傳統(tǒng)認識，以為數學知識是真理，學生只能復制運用。即使到了高等數學階段學習，科學數學觀念仍然沒有建立起來，表現為只注重數學思維的結果而不注重思維的過程，缺乏批判數學知識的意識性和主動性，很少去“再創(chuàng)造”自己數學知識。另一方面在于教師教學時，提供給學生都是一些算法和常規(guī)訓練，這就使得學生在解決這類問題時也慣于進行常規(guī)思維，高水平認知技能得不到鍛煉，《數學分析》思維也就得不到發(fā)展。機械地傳授知識，沒有引導學生深究知識的來龍去脈，也沒有發(fā)掘學生的數學發(fā)現能力，學生的數學觀念得不到有效的糾正。

3問題解決方面

學生解決問題僅限于模仿例題完成，獨立地運用所學知識解決實際問題或證明命題感覺不足，課后練習參考答案或抄襲別人情形居多，沒有形成應用《數學分析》知識解決問題的能力和信心，學生對問題解決表現出一些恐懼，尤其是證明題目，不能從所學知識中構造出解題思路，不能全面地考慮推理過程，不能理解邏輯推理的數學意義和本質，對于解決數學問題是旁觀者。產生這些問題緣由，一方面在于學生沿襲以往的解題模式，缺乏條件和結論以及所涉及到的數學模型的全局性思考，不具備研究性思維方式。另一方面在于教師教學時，為了趕任務和進度，只重視知識傳授，學生數學思考能力培養(yǎng)不足，沒有在問題解決過程中進行數學知識和方法學習，沒有采用探究性學習方式。在證明命題教學中，沒有引導學生使用模型、例子、視覺等表達數學，即解釋數學，Moore（1994）提出解釋性對話是一種元數學，證明需要解釋來揭示證明的思想內涵。其次，沒有提出證明的一個全局的視角，即證明框架，Leron（1985）認為證明框架就是意味著證明思路的一個高水平結構的表征，依賴于細節(jié)性知識，可能是一個命題序列，或是一個整體思路。要激發(fā)學生討論各種證明方法和思路，學會構造例子解釋，并體會證明中的推理規(guī)則和邏輯結構。

4知識結構方面

學生初學《數學分析》時，僅掌握一些孤立的定義、定理和例題習題，至于其內在聯(lián)系學生不大注意，認為沒必要搞清楚，只會做題考試就行。學生知識成線性化、條塊化和平面化，沒有形成網絡化、層狀化和立體化，不利于知識的利用和提取。知識間內在聯(lián)系不緊密，不能面對問題提取信息構成解題模式。如，學生學了極限、連續(xù)和導數后，僅限于孤立內容的數學問題解決，對于綜合題目以及證明推理問題感到困難。造成問題緣由，一方面在于學生對知識學習的意義沒搞清楚，對知識之間的內在邏輯沒搞清楚，沒有很好地應用知識解決問題，沒有按照數學家研究數學的過程體會知識的來龍去脈，正如Tall所說的三個世界的行進：感知—運算—形式化，對所學知識沒能進行反思，知識之間的聯(lián)系和信念也體會不到，沒有形成對知識內容的學習看法。另一方面在于教師教學時，過分強化習題演練，沒有引導對新舊知識的對比分析，對問題解決中的數學知識思想方法的分析應用強化不夠，沒有對所學知識進行歸納總結，甚至一本書的思想認識的分析串講。

5自主自學能力

初學《數學分析》時，大學生對內容體系和作用意義不夠清楚，沒有應有的內在學習動機和興趣。表現為，不做課前預習，也不做相似教材的比較學習，不能主動地學習《數學分析》。剛上大學時，也不知道怎樣做筆記，聽老師講課，做作業(yè)，面對一堂課這么多的定義定理，又復雜又抽象，感覺到僅靠記憶有些力不從心，必要的學習方法不能及時形成，不能跟蹤教師做好《數學分析》深度學習。造成這些問題緣由，一方面學生形成《數學分析》學習方法，仍是慣用高中學習方式，模仿例題做習題，來應付考試，不能抓住《數學分析》的知識核心本質，體會不到數學知識的思想方法。另一方面教師教學時，沒有比較初等數學與《數學分析》的特點，知識體系結構的形成，以及課程與教學的要求，尤其是大學數學的形式化、系統(tǒng)化和演繹化的看法，以及這些知識內容背后的探究過程，以至于提供幫助學生理解的具體素材，如具體直觀的表達形式，數學家發(fā)現知識的原始路徑，專業(yè)知識背景的數學模型了解等。

6數學思考能力

初學《數學分析》時，多數學生沒有發(fā)展起元數學思考能力，即確信性和解釋性的關系性思考，僅限于操作性思考，也沒有發(fā)展起來辯證思維能力。形式推理能力水平不高，影響著學生對《數學分析》的知識思考，數學定義的形式化認識不能有效形成，不能利用概念定義進行證明思路的構造，對數學知識產生的內在邏輯聯(lián)系搞不清楚，影響著《數學分析》的進一步學習，沒能實現《數學分析》改善學生數學思維方式的目的。造成這方面問題的緣由，一是學生沒有從數學知識產生的角度體會知識產生的緣由，以及知識產生過程的本原性思考，不能產生對數學知識系統(tǒng)認識。另一方面，教師教學時，教師過多圍繞知識安排教學，沒有對數學思考進行引導，沒有從知識思想方法引導學生對知識進行思考，以及批評質疑。在《數學分析》教學時，要進行辨證分析，進而在合情推理能力訓練的基礎上，關注學生邏輯思維能力的培養(yǎng)。

大學生在初次學習《數學分析》中存在許多難以克服的問題，分析其產生緣由，及時查漏補缺，總結反思，有助于掌握《數學分析》的學習方法，也有助于教師提高《數學分析》教學的有效性。

參考文獻

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[3]Leron，U.Heuristic presentations：The role of Structuring. For the learning of Mathematics，1985，5（03）：7-13.

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