用兒童的方式抵達數(shù)學的內(nèi)核
——《角的度量》教學實踐與思考

文 曹炯 沈杰

角的度量是繼長度之后幾何度量的第二個教學階段，是發(fā)展學生空間觀念的重要學習內(nèi)容與載體。長度與角度雖然都隸屬于圖形的測量領(lǐng)域，但兩者在測量方式、思維結(jié)構(gòu)上存在較大差異?；趯W生空間觀念發(fā)展與度量能力提升的思考，筆者遵循學生認知發(fā)展規(guī)律，從課堂前測反饋和角的概念入手，以描角方式降低測量起始難度，最后橫向打通角與量角器的數(shù)學結(jié)構(gòu)，對角的測量教學做出有益的探索與嘗試。

一、起點剖析——厘清學生量角的認知障礙

為了了解學生的學習狀態(tài)與認知層級，課前筆者對四年級學生進行了量角的針對性課堂前測問卷調(diào)查，從學生反饋的結(jié)果中得出：角的度量已超越學生以往的空間幾何認知結(jié)構(gòu)儲備。一是角的結(jié)構(gòu)無法對應(yīng)認知。二年級的長度測量對象是線段，從學生的視覺直觀層面是一條“直直的線段，像一根拉長的毛線”，而角已經(jīng)突破一維的線性認識，轉(zhuǎn)入更為抽象的二維世界的結(jié)構(gòu)表達，它已不屬于“筆直的長度”范疇，而是一個嶄新的“彎曲的弧度”的范疇，這是結(jié)構(gòu)的根本轉(zhuǎn)變。二是幾何經(jīng)驗無力支撐測量。測量需要工具，學生的工具只有直尺，現(xiàn)在改變測量工具，學生一時無法了解量角器本身的數(shù)學結(jié)構(gòu)和測量方法，難以找到像以往測量時的起點與終點。同時量角器的內(nèi)外圈讀數(shù)的復(fù)雜性也對學生測量造成一定的困擾。

二、借勢而導(dǎo)——豐厚外顯因素的空間知覺

直覺思維在小學空間與幾何的學習中較為常用，學生對圖形初步感知往往偏重于直觀性較強的屬性特征。角的兩條邊雖然降低了空間延伸的幾何視角維度，但無形中卻提升了生活視角量角的契合度和邊界性?；谝陨纤伎?，筆者在課堂的起始部分以描角的方式將學生的直覺思維與抽象的角嘗試無縫銜接。

【教學環(huán)節(jié)一】嘗試描角，正確認讀

1.在紙質(zhì)量角器上描出40 度的角。

（教師呈現(xiàn)學生作品，并標上∠1、∠2）

師：怎么看出∠1 是40 度的？

生：4 個大格就是40 度。

生：角上的刻度是從0 到40。（教師用水筆描出0 到40 的弧線）

師：∠2 是40°又是怎么看的？

生：它也有4 個大格，所以是40°。

生：我是看外面的刻度的，也是從0 到40。

師：0 刻度線對著右面的時候，我們要看內(nèi)圈，0 刻度線對著左面的時候，我們要看外圈。

師：你們還有其他描法嗎？

（呈現(xiàn)學生作品）

師：中間那個是40 度嗎？

生：是的，它有4 個大格。

生：100-60=40，從內(nèi)圈的60到100 有4 個大格。

師：還有其他描法嗎？

師：（呈現(xiàn)學生作品）還有個同學這樣描的，你覺得他描得怎樣？

生：角的頂點沒有了。

（學生上來補一補）

師：看來我們畫一個角時，先要畫頂點，再畫兩條邊?，F(xiàn)在看看這兩個角是40°嗎？

生：是的。

師：剛才在紙質(zhì)量角器上面描出了40°的角，而且我們還學會了不同描法，只要角里面是4個大格，也就是4 個10°，都是40°。

【教學環(huán)節(jié)二】讀出教師所描角的度數(shù)

師：（呈現(xiàn)大紙質(zhì)量角器）老師畫了幾個角呢？這幾個角分別是多少度呢？把你看到角的度數(shù)記錄下來。

（學生記錄各個角的度數(shù)。反饋：10°、85°、95°、180°）

師：我們來看最小的10°角，它在哪里？誰上來指一指？是怎么看出來的？

生：里面有10 個小格，每個小格是1°，10 個小格就是10°。

師：你們聽明白了嗎？10 個1°就是10°。

師：那85°又在哪里？你們都找到了嗎？請你上來指一指。

師：那這個85°你們是怎么讀出來的？

生：80°過去再數(shù)5 小格就是85°。（教師先描出0 到80，再描出80 到85）

師：那這個85°又是怎么看出來的？

生：從左邊的0 刻度數(shù)過去，先到80，再過去5 小格就是85°。

師：誰也能像老師剛才這樣描一描？（學生描出0 到85 的弧線）

師：95°角的一條邊在這里，另一條邊在哪里？誰來擺一擺？

（學生上來擺）

師：怎么讀出來的？

生：90°再過5小格就是95°。

師：如果這條邊往左移動1格，現(xiàn)在幾度？96°，再移動1 格是幾度？（教師動手移）

師：還有這個180°，它的兩條邊在哪里？

（學生擺出兩條邊，教師課件呈現(xiàn)180°）

【思考】

1.緩沖區(qū)：關(guān)注學生的認知起點，為理解而學。

因為受制于以往幾何經(jīng)驗的影響，學生在前一課時中雖然對角有了初步的認識，但大多數(shù)學生還是以孤立、零散、碎片的形式理解，無法形成結(jié)構(gòu)化知識。也就是說，量角的學習起點依然是角的結(jié)構(gòu)認識，量角是角概念的思維派生。借助“描角”，讓學生在紙質(zhì)量角器中描出40 度角，并呈現(xiàn)不同40度角的思考方式，最后得出不管是看大格還是讀刻度，其實質(zhì)就是看這個角含有幾個10°。這樣不僅降低了量角對學生認知結(jié)構(gòu)的正面沖擊，同時構(gòu)筑了角與量角器結(jié)構(gòu)交集的“緩沖地帶”，使學生更好地探索角的結(jié)構(gòu)與量角器結(jié)構(gòu)的數(shù)學對應(yīng)原理。

2.發(fā)展區(qū)：優(yōu)化工具的單一測量，為思維而教。

量角器以工具性的意義進入課堂勢必會給學生造成思維負擔和測量困擾，轉(zhuǎn)變教學定向設(shè)計，使量角器的教學定義更為彈性化———學習材料。小學數(shù)學課程改革理念尤為重視在具體的感性材料里提取數(shù)學對象的本質(zhì)特征，這是因為小學生正處于由具體形象思維向抽象思維的過渡階段，需要直觀材料和自身感性認識作強力支撐。將量角器作為學習材料，不僅能減少學生機械操作與生硬法則產(chǎn)生的負面測量情緒，更重要的是以測量角度為契機發(fā)展學生的空間結(jié)構(gòu)，利用遷移知道一大格代表10°、一小格代表1°，幫助學生從紛繁復(fù)雜的表象中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，積極創(chuàng)設(shè)思維發(fā)展的學習平臺與環(huán)境，進一步構(gòu)建與落實以促進學生數(shù)學發(fā)展的教學目標體系。

3.結(jié)構(gòu)推進——追尋結(jié)構(gòu)對應(yīng)的數(shù)學法則

數(shù)學學習不是簡單的習得某個顯性的數(shù)學知識，在本質(zhì)上是一個嚴謹、連貫的思維活動過程，也是學生智慧逐步生成、相關(guān)認識不斷深化的過程。學生體驗描角→識角之后，自然就會沿著達成量角的目標方向探索，教師雖然還沒有正式講授正確的量角方法，但對學生量角的理解已完成了實質(zhì)化結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變。

【教學環(huán)節(jié)三】嘗試量角與畫角，掌握方法

1.量出練習紙上三個角的度數(shù)。

（1）學生獨立量角，教師依次呈現(xiàn)學生的結(jié)果。

師：∠1 是55°，∠2 是120°，∠3 是38°。

師：再看第2 個同學的，∠1是55°，∠2 是60°，∠3 是39°。

師：再看看第3 個同學的，∠1是55°，∠2 是120°，∠3 是38°。

師：∠1 都是55°，我們就不討論了。

（2）交流量角的方法。

師：∠2 有同學認為是120°，也有同學認為是60°，同學們有不同意見，如果不用量角器，你覺得哪個度數(shù)有可能是對的？

生：我覺得120°可能是對的，因為∠2 比直角大，它是一個鈍角，所以度數(shù)肯定大于90°。

師：那∠2 是不是120°呢？請個同學上來量一量。（學生測量）

師：是120°嗎？那這位同學量出60°，你們覺得他的問題在哪里？跟你的同桌討論一下。

生：他估計是看外面的刻度60，沒有看角的這條邊對準的是哪條0 刻度線，所以內(nèi)外圈搞錯了。

師：如果這個角是60 度，那它的另一條邊會在哪里？

生：在0 刻度線。

生：在120 刻度線。

師：這兩條邊都可以嗎？

生：因為里面都有6 個大格。

師：∠3 也有不同結(jié)果，有人認為38°，有人認為39°，到底是幾度？怎樣才能讀得更準一點呢？跟你的同桌商量一下。

生：把角的這條邊沿長，那就能讀得準了。

師：為什么可以把角的一條邊延長？

生：延長時角的大小不變。

師：你們把邊延長后再來測量一下∠3 的度數(shù)。

2.畫出指定度數(shù)的角。

師：畫一個30 度的角。

（1）學生獨立畫角。

（2）交流畫角的方法。

師：剛才老師看到有幾個同學覺得很難畫，想不想看看？

師：他是先把量角器放在白紙上，然后在0°和30°的刻度點了兩個點。然后把量角器拿走了，你們猜猜他們遇到了什么困難？

生：角的頂點找不到了。

師：誰愿意幫幫他們？

生：（學生上來畫30 度角）我先畫一條邊，然后把量角器放在邊上，中心點對準端點，然后在30°刻度處點一個點，最后把兩個點連起來。

【思考】

1.測量本質(zhì)的歸納。

描角與識角已為學生設(shè)置了探索量角的幾何經(jīng)驗階梯，但這兩者并非是本節(jié)課的核心內(nèi)容與學習終點。將學生的思考引向量角本質(zhì)處，從之前習得的描角、識角作為后繼量角學習的基礎(chǔ)上導(dǎo)入自主量角。通過獨立嘗試、錯誤對比、方法辨析，學生對量角器的數(shù)學結(jié)構(gòu)意義逐漸從模糊到清晰，得出“角的頂點和量角器的中心重合，一條邊和0 刻度線重合，看另一條邊所對應(yīng)的刻度”的測量方法。更重要的是將其本質(zhì)進行聯(lián)通，即“都要看被度量的物體里含有多少個基本度量單位”。量角器材的二次使用是對學生數(shù)學思維的運用、組織和提煉，從而生成、凝聚新的測量法則，實現(xiàn)量角器與角的結(jié)構(gòu)橫向打通。

2.批判性思維的創(chuàng)生。

批判性思維是三大高階思維之一，也是數(shù)學學習中連接意義理解和創(chuàng)造性建構(gòu)的中間橋梁。量角器的內(nèi)外圈測量方法勢必會引發(fā)學生正確取值的混淆，這為學生批判性思維孕育了生長環(huán)境和契機。在測量∠2 度數(shù)到底是120°還是60°的討論中，教師積極引導(dǎo)學生關(guān)注同伴，在闡述自己的理解與判斷的同時，鼓勵相互質(zhì)疑與評價。學生在互相糾錯中逐步獲得學習主體的身份認同感，強化檢驗的元認知經(jīng)驗，獨立思考的意識和理性思辨的能力不斷完善，對權(quán)威依賴性日益減少，這是批判性思維品質(zhì)形成的重要保障與實踐路徑。

對幾何度量的教學需要貼近學生幾何經(jīng)驗共鳴的學習材料，從表層的動手操作中建構(gòu)深層的數(shù)學思維，為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展尋覓一條高效、科學的教學路徑。