任蕾

數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的學(xué)科，如果數(shù)學(xué)課堂只是追求知識(shí)的獲取，而忽視思維發(fā)展這一核心，無(wú)疑是舍本求末。2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單獨(dú)地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！倍季S訓(xùn)練與發(fā)展往往需要借助情境、通過(guò)問(wèn)題的提出和解決，讓學(xué)生主動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。下面筆者以蘇科版教學(xué)九年級(jí)下冊(cè)“二次函數(shù)與一元二次方程”的教學(xué)為例，探討以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)促進(jìn)學(xué)生思考，通過(guò)類比等途徑的探索發(fā)展學(xué)生的思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。

一、教材與學(xué)情簡(jiǎn)析

1.教材分析：本節(jié)課是在學(xué)生了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程組之后，通過(guò)探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再次展示函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一元二次方程的根的關(guān)系，理解一元二次方程的根的個(gè)數(shù)和二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。這樣的安排一方面可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，另一方面可以運(yùn)用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問(wèn)題，為后續(xù)學(xué)習(xí)實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)做好鋪墊，起著承上啟下的作用。利用函數(shù)圖像研究方程的根，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑。

2.學(xué)情分析：在八年級(jí)下學(xué)期相關(guān)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)一次函數(shù)與方程、不等式的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步建立方程模型與函數(shù)模型的聯(lián)系。在九年級(jí)上學(xué)期相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)分別學(xué)習(xí)了一元二次方程、二次函數(shù)，知道它們都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的重要模型，但沒(méi)有建立這些知識(shí)之間的有效聯(lián)系。同時(shí)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系看似簡(jiǎn)單，但想要用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言歸納出來(lái)并非易事。

3.制訂目標(biāo)：基于上述分析，本課所要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系可以利用類比的方法，讓學(xué)生在問(wèn)題探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作學(xué)習(xí)。這樣處理可以讓學(xué)生在經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程中培養(yǎng)探索能力和創(chuàng)新精神。因此，筆者制訂如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）會(huì)用對(duì)立統(tǒng)一的辯證觀點(diǎn)，把一元二次方程ax2+bx+c=0的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的相關(guān)問(wèn)題，經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程;（2）能根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的位置關(guān)系判斷相應(yīng)的一元二次方程的根的有關(guān)問(wèn)題;（3）通過(guò)探索函數(shù)與方程的關(guān)系，感受“數(shù)形結(jié)合”思想，培養(yǎng)從特殊到一般、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)以及類比推理的探究能力和創(chuàng)新精神。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：體會(huì)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想方法，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題。

基于上述對(duì)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情的分析，筆者對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

二、教學(xué)過(guò)程摘錄

1.尋求生長(zhǎng)點(diǎn)，讓問(wèn)題自然發(fā)生。

教師：對(duì)于方程x+2=0，你能求出它的解嗎？你能從“形”的角度解釋這個(gè)方程的根的意義嗎？

學(xué)生：……

教師：“形”一般指的是圖形、圖像。說(shuō)到圖像，我們會(huì)聯(lián)想到某一個(gè)函數(shù)，那么看到這個(gè)方程，大家會(huì)聯(lián)想到哪個(gè)函數(shù)呢？我們又該如何從“形”的角度來(lái)解釋這個(gè)方程的根的意義呢？

學(xué)生1：我聯(lián)想到一次函數(shù)y=x+2，方程x+2=0的根就是一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

教師：太棒了！我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一次函數(shù)與一元一次方程之間存在著緊密的聯(lián)系，這是我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，它能否給我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)帶來(lái)新的思維火花呢？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)，那么我們還可以探究二次函數(shù)哪方面的內(nèi)容呢？

學(xué)生2：我們可以研究二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。

教師：是的，我們今天就一起來(lái)研究二次函數(shù)與一元二次方程。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比啟發(fā)新的思維。即通過(guò)復(fù)習(xí)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，從而啟發(fā)學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。教師給出一元一次方程，而沒(méi)有直接給出一次函數(shù)，目的是激活學(xué)生已有的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)出發(fā)，巧妙誘發(fā)學(xué)生自覺(jué)想、主動(dòng)問(wèn)的思維方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。

2.問(wèn)題探究，讓難點(diǎn)自然解決。

教師：二次函數(shù)與一元二次方程之間到底存在什么樣的聯(lián)系呢？同學(xué)們能否大膽猜想呢？

學(xué)生3：我猜想一元二次方程的根是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

教師：你是怎么產(chǎn)生這樣的想法的呢？

學(xué)生3：根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系類比猜想出來(lái)的。

……

教師：請(qǐng)同學(xué)們以如下三個(gè)函數(shù)為例驗(yàn)證一下。

1.y=-[12]x2-4x-6;2.y=x2-6x+9;3.y=x2-2x+3。

學(xué)生覺(jué)得都是成立的。然后教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論一般化，得出如下結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)。當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

【設(shè)計(jì)意圖】教師提出了一個(gè)巧妙的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考、回答，再通過(guò)追問(wèn)，讓學(xué)生通過(guò)類比猜想、探究與驗(yàn)證，進(jìn)行深入思考，獲得了一個(gè)二次函數(shù)的圖像與一元二次方程根的關(guān)系的重要結(jié)論。

3.知識(shí)遷移，讓能力自然提升。

教師：對(duì)于方程x2+2x-3=-4，你能不解方程直接說(shuō)出它的根嗎？

學(xué)生4：從二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖像與直線y=-4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，看出方程的解是x1=x2=-1。

教師：已知函數(shù)y=x2+2x-3的圖像，你能設(shè)計(jì)一些問(wèn)題嗎？

學(xué)生5：可以設(shè)計(jì)問(wèn)題為，已知方程x2+2x-3=-5，你能不解方程直接說(shuō)出它的根嗎？

學(xué)生6：函數(shù)y=x2+2x-3的圖像與直線y=-5沒(méi)有交點(diǎn)，所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

教師：能否將這個(gè)問(wèn)題一般化？對(duì)于方程x2+2x-3=k，如果方程有實(shí)數(shù)根，k的取值范圍是什么？

學(xué)生7：因?yàn)楹瘮?shù)圖像與直線y=-4只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線y=-4以下的直線與拋物線都沒(méi)有公共點(diǎn)，所以k≥-4。

教師：如果直線與x軸不平行，那么它與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題怎么解決呢？

學(xué)生8：把直線的函數(shù)表達(dá)式與拋物線的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立方程組，解出這個(gè)方程組，就可以得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

教師：很棒！有了這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，以后我們還可以解決二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像的公共點(diǎn)等一系列問(wèn)題啦！

【設(shè)計(jì)意圖】從方程x2+2x-3=-4到方程x2+2x-3=k，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的過(guò)程，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的眼光看待問(wèn)題。學(xué)生學(xué)會(huì)尋找變化中的不變量，即函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)情況。筆者在這里設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，預(yù)設(shè)學(xué)生能類比遷移剛剛學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，自主發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析并解決問(wèn)題，使學(xué)生的探究能力得到發(fā)展。最后，筆者再拓展到二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)等一系列問(wèn)題，體現(xiàn)整體教學(xué)觀，突破單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)邊界，讓思維一以貫之，體現(xiàn)自然延續(xù)與生長(zhǎng)。

三、教學(xué)思考與感悟

1.對(duì)課堂引入的冷思考。

一節(jié)課的序曲首先表現(xiàn)在導(dǎo)入情境的創(chuàng)設(shè)上。美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，在教學(xué)過(guò)程中，教師的作用是要形成一種使學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境，而不是提供現(xiàn)成的知識(shí)。對(duì)于本節(jié)課的情境，教師通常是先給出一個(gè)二次函數(shù)，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)圖像并說(shuō)出圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再給出一個(gè)一元二次方程，請(qǐng)學(xué)生求出方程的解。隨后，教師請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與相應(yīng)的方程的解之間的關(guān)系。這樣的設(shè)計(jì)刪去了細(xì)枝末節(jié)，直奔主題，看似簡(jiǎn)潔高效，實(shí)則忽視了數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)重要價(jià)值——培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。教師越俎代庖，把要研究的對(duì)象直接明了地告知學(xué)生，學(xué)生的思維被一下子框定在預(yù)設(shè)范圍之內(nèi)，被教師牽著鼻子走。因此，把思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)還給學(xué)生，顯得尤為重要?；诖?，需要改變學(xué)習(xí)方式，尋找教學(xué)突破口，從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)入手。章建躍博士說(shuō)：“研究對(duì)象在變，‘研究套路不變，思想方法不變，這就是數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的力量。”基于這一思考，筆者通過(guò)聊天的方式把學(xué)生的思緒拉到了對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知當(dāng)中，通過(guò)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比啟發(fā)新的思維，也激發(fā)了學(xué)生的求知欲。這樣的設(shè)計(jì)看似比傳統(tǒng)教學(xué)“浪費(fèi)”時(shí)間，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)角度看，以“慢”促思，發(fā)展學(xué)生的思維，花這個(gè)時(shí)間是值得的。

2.對(duì)真實(shí)自主探究的再認(rèn)識(shí)。

自古以來(lái)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出和解決是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要力量。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生能自發(fā)地提出一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題是難能可貴的?！鞍l(fā)現(xiàn)問(wèn)題”和“提出問(wèn)題”能力的培養(yǎng)是課堂教學(xué)的重中之重，也是提升思維的重要途徑。只有教師有意識(shí)地沿著學(xué)生的思維軌跡去因勢(shì)利導(dǎo)，學(xué)生才能于平常的課堂學(xué)習(xí)中體悟到數(shù)學(xué)思維的方法與魅力。面對(duì)“一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”這一結(jié)論，傳統(tǒng)教學(xué)中教師大多直接引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)的圖像和相應(yīng)的一元二次方程的根，學(xué)生迅速得知結(jié)論，贏得更多的時(shí)間進(jìn)行相關(guān)練習(xí)。這樣教學(xué)，短期效果是不錯(cuò)的，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，學(xué)生失去了自主探究發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，探究能力難以得到發(fā)展。因此，筆者認(rèn)為教師應(yīng)當(dāng)合理地選擇能激活學(xué)生已有解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的素材，從學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)出發(fā)，巧妙誘發(fā)學(xué)生自覺(jué)想、主動(dòng)問(wèn)的思維方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能才能得以激發(fā)。教師讓學(xué)生通過(guò)自主探究、合作學(xué)習(xí)來(lái)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出和解決問(wèn)題，使他們能夠在獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)交流中解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和思考。教師營(yíng)造了一個(gè)思維場(chǎng)，讓學(xué)生的思維活躍、自然擴(kuò)張。

3.對(duì)數(shù)學(xué)思維形成過(guò)程的再設(shè)計(jì)。

數(shù)學(xué)教育不僅僅是把數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生，更是通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維理性思考問(wèn)題，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，這將使學(xué)生終身受益。然而目前的課堂教學(xué)，教師在數(shù)學(xué)思想方法的滲透與傳遞過(guò)程中往往缺乏必要的教學(xué)側(cè)重，對(duì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的思辨大多停留在知識(shí)與技能層面，對(duì)于“數(shù)學(xué)思考”“問(wèn)題解決”“情感態(tài)度價(jià)值觀”等隱性的更高階的教學(xué)目標(biāo)，往往缺乏必要的輕重權(quán)衡與取舍思辨。數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)?！敝苯痈嬖V學(xué)生知識(shí)，可以讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)獲得更多知識(shí)，但很難讓學(xué)生得到“如何思考”的智慧。拉長(zhǎng)知識(shí)形成過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷“操作—猜想—驗(yàn)證”的過(guò)程，其中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，教師及時(shí)追問(wèn)，設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題等，都是發(fā)展學(xué)生思維的重要元素，而且讓學(xué)生在“慢”中獲得真實(shí)體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生而言，這樣的體驗(yàn)最終將會(huì)轉(zhuǎn)化為學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的智慧?？觳褪降膶W(xué)習(xí)，刪減了問(wèn)題探究的歷程，制約了學(xué)生的深度思考，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展。

在我們周圍不乏這樣的現(xiàn)象：教師不點(diǎn)不會(huì)，一點(diǎn)學(xué)生馬上就恍然大悟。其實(shí)這正是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)低、數(shù)學(xué)能力差的表現(xiàn)。要改變這種現(xiàn)象，就需要拉長(zhǎng)思維過(guò)程，讓學(xué)生自己先想、先做，放手讓他們主動(dòng)去探究;讓學(xué)生圍繞課堂核心問(wèn)題不斷自我建構(gòu)，類比遷移已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，分析問(wèn)題并解決問(wèn)題，進(jìn)行深層次思考，不斷提升自己的思維水平。在課堂教學(xué)中，教師要把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的機(jī)會(huì)，分析、解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，讓他們有足夠的時(shí)間去消化與積累，在看似“慢速”的課堂進(jìn)程中，頓悟式地“快速”感悟數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在適當(dāng)?shù)墓?jié)奏中去體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本真，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的自然生長(zhǎng)。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市蠡園中學(xué)）