俞綱

在高三的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師應(yīng)以考綱與教材為向設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，以學(xué)生為本選用教學(xué)方法，恰當(dāng)?shù)亟柚嗝襟w進(jìn)行例題動(dòng)畫演示，提高復(fù)習(xí)效率，著力培養(yǎng)學(xué)生能力與核心素養(yǎng).筆者現(xiàn)以“空間中垂直關(guān)系的證明”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)教學(xué)，才能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、授課背景

2019年11月，筆者有幸參加了“昆明市2019年高三復(fù)習(xí)課課堂教學(xué)競(jìng)賽暨研討活動(dòng)”，上了人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）》一節(jié)題為“空間中垂直關(guān)系的證明”的復(fù)習(xí)課，并獲得一等獎(jiǎng)，得到了專家評(píng)委較高的評(píng)價(jià)，現(xiàn)將此課教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思整理如下.

二、考綱分析、學(xué)生分析、教學(xué)目標(biāo)、教法構(gòu)想

1.考綱分析

對(duì)于空間中垂直關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容，《2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（文科）》（以下簡(jiǎn)稱《大綱》）中指出：理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，認(rèn)識(shí)和理解空間中垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.同時(shí)，《大綱》提出空間想象能力的標(biāo)準(zhǔn)：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象.空間想象能力主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的想象能力.對(duì)圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志.

2.學(xué)情與考情分析

對(duì)于高三文科學(xué)生，容易出現(xiàn)的問題有：概念意識(shí)比較淡薄，推理的邏輯不夠清晰，空間想象力不強(qiáng)，看圖、畫圖和用圖的能力比較弱.結(jié)合近幾年文科立體幾何高考題目考查特點(diǎn)，垂直證明問題的難度并不大，但往往結(jié)合圖形翻轉(zhuǎn)、組合圖形來考查空間基本位置關(guān)系，考查學(xué)生空間想象與演繹推理的能力.

3.教學(xué)目標(biāo)與教法構(gòu)想

根據(jù)人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）》的內(nèi)容，筆者擬通過復(fù)習(xí)空間中幾種垂直關(guān)系的定義、判定及其性質(zhì)定理來建構(gòu)空間垂直關(guān)系的知識(shí)體系;通過例題與練習(xí)厘清證明問題和演繹推理的邏輯思路;培養(yǎng)學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化、空間想象及識(shí)圖、用圖的能力;通過問題導(dǎo)入、一題多變、合作與交流、主動(dòng)反思總結(jié)的形式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系;滲透用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、轉(zhuǎn)化和推理論證能力.

三、教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

1.課前準(zhǔn)備

課前播放國(guó)慶70周年閱兵式視頻及圖片.

【設(shè)計(jì)意圖】弘揚(yáng)民族自豪感，引入生活中垂直關(guān)系的例子，吸引學(xué)生注意力，既為課堂作鋪墊，又讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.

2.復(fù)習(xí)定義

師：國(guó)慶閱兵式上那些整齊的隊(duì)列與筆直的身姿彰顯了中國(guó)軍人的氣質(zhì).圖1中蘊(yùn)含著很多空間中的垂直關(guān)系，請(qǐng)大家回顧空間中的垂直關(guān)系主要有哪些？教材如何定義？

生1：主要有線線垂直、線面垂直及面面垂直.

生2：只記得線面垂直的定義是直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，其他記不得了.

生3：線面垂直的定義應(yīng)該是直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線.

師：生3所說的是線面垂直的判定定理而非定義;生2記得定義與判斷定理不一樣，很值得表揚(yáng)，但可惜表述不正確.請(qǐng)大家打開教材第47頁、64頁、67頁，齊聲朗讀三種垂直的定義，并反思剛才的錯(cuò)誤.

大家齊聲朗讀教材上相關(guān)內(nèi)容.

生2反思：剛才自己的錯(cuò)誤在于認(rèn)為無數(shù)條直線與任意一條直線是同一個(gè)意思，其實(shí)是不一樣的.無數(shù)條直線不能代表任意一條直線.

師：反思得不錯(cuò)，大家在復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意回歸教材，重視定義.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生復(fù)習(xí)往往不重視教材與概念，因此筆者先讓學(xué)生暴露問題，再有針對(duì)性地辨析解決問題，以此提醒學(xué)生重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，并在教學(xué)中滲透用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的意識(shí).

3.復(fù)習(xí)定理

師：根據(jù)定義，空間中兩直線的垂直關(guān)系可能是異面垂直也可能是共面垂直，對(duì)于共面兩直線垂直的研究，平面幾何所學(xué)的知識(shí)仍然適用;對(duì)于線面垂直與面面垂直的研究，大家還學(xué)習(xí)了相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，下面我們一起來回顧一下.

熱身練習(xí)：已知四面體PABC可能有：①PA⊥AB，②PA⊥AC，③AC⊥BC，④PA⊥平面ABC，⑤BC⊥平面PAC，⑥平面PAC⊥平面ABC.如圖2，請(qǐng)以以上的一個(gè)或多個(gè)做條件，一個(gè)做結(jié)論，直接體現(xiàn)線面垂直判定定理、面面垂直判定定理、面面垂直性質(zhì)定理的主要內(nèi)容，并用語言表達(dá)該定理內(nèi)容.

生4：線面垂直判定定理：由①PA⊥AB，②PA⊥AC，可得④PA⊥平面ABC.（若直線垂直于平面內(nèi)兩相交直線，則垂直于該平面）

生5：面面垂直判定定理：由④PA⊥平面ABC，可得⑥平面PAC⊥平面ABC.（若直線垂直于一平面，則經(jīng)過該直線的平面必垂直于已知平面）

生6：面面垂直性質(zhì)定理：由⑥平面PAC⊥平面ABC，可得④PA⊥平面ABC.（若兩個(gè)平面相互垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線就垂直于另一平面）

師：前兩位同學(xué)正確地闡述了線面垂直判定定理和面面垂直判定定理;第三位同學(xué)對(duì)面面垂直性質(zhì)定理的闡述，其他同學(xué)是否有不同意見？

生7：平面PAC⊥平面ABC，并不能保證平面PAC內(nèi)任意一條直線都垂直于平面ABC，只有當(dāng)平面PAC內(nèi)的直線垂直于兩平面的交線時(shí)，才垂直于另一個(gè)平面.

師：不錯(cuò)，這位學(xué)生正確地闡述了面面垂直的性質(zhì)定理.結(jié)合定義，再把這幾個(gè)定理綜合在一起，可以把它們看作是三種垂直關(guān)系間的轉(zhuǎn)化.在不使用二面角定義的情況下，這種轉(zhuǎn)化關(guān)系是以“線面垂直”為核心的一種“線性”轉(zhuǎn)化的關(guān)系，如圖3.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)定理的復(fù)習(xí)不應(yīng)該空洞地去復(fù)習(xí)文字內(nèi)容，而是應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一個(gè)圖形環(huán)境，讓學(xué)生進(jìn)行回顧，暴露其問題，再有針對(duì)性地辨析.通過定義與定理的復(fù)習(xí)，使學(xué)生建立垂直關(guān)系的知識(shí)體系，形成簡(jiǎn)易的思維導(dǎo)圖.

4.典例分析

例題：《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biēnào].在四面體PABC中（圖4），若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，則

問題（1）：請(qǐng)判斷四面體PABC是否為鱉臑？若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）.

生8：四面體PABC是鱉臑，∠PAC，∠PAB，∠PCB和∠ACB為直角.

問題（2）：在上例中，過A做AE垂直PC于E，求證：AE⊥平面PBC.

師：請(qǐng)大家先獨(dú)立完成，再小組討論，看看有些什么證明方法？

通過獨(dú)立思考證明，再由小組匯總后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不少證明方法。筆者投影展示了其中幾位同學(xué)的證明方法如下.

生9：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又由已知AC⊥BC，則BC⊥平面PAC，所以BC⊥AE，又由已知AE⊥PC，則AE⊥平面PBC.

生10：因?yàn)镻A⊥平面ABC，且PA？奐平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC;又由已知BC⊥AC，且BC？奐平面ABC，則BC⊥平面PAC，且BC？奐平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，且交線為PC，又由已知AE⊥PC，且AE？奐平面PAC，則AE⊥平面PBC.

師：兩位同學(xué)的證法都正確，都很好地進(jìn)行了三種垂直間的轉(zhuǎn)化.他們的思路可以總結(jié)為：從條件分析，已知線面垂直有兩種思路，可推得線線垂直或者面面垂直;從結(jié)論分析，要證線面垂直，也有兩種思路，可以通過線線垂直或者面面垂直來證明.因此，搭配書寫可以有四種不同的證明方法，但顯然第一種是最簡(jiǎn)潔的.而這些不同證法的本質(zhì)，也體現(xiàn)了解答分析證明題由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因兩種典型的思維方法.

問題（3）：在問題（2）的條件下，過A做AF垂直PB于F，如圖5，求證：EF⊥PB.

筆者請(qǐng)了兩位同學(xué)到黑板上證明.

生11：由問題（2）的證明可知AE⊥平面PBC，則AE⊥EF，后面就證不下去了.

生12：由問題（2）的證明可知AE⊥平面PBC，則AE⊥PB，又由已知AF⊥PB，且AE、AF都在平面AEF內(nèi)，則PB⊥平面AEF.

師：兩位同學(xué)從條件出發(fā)都沒錯(cuò)，為何結(jié)果差異這么大呢？聽了正確的方法，能否分析出自己出現(xiàn)問題的原因嗎？

生11反思：沒有從結(jié)論分析需要什么，從而沒有目的性，條件推導(dǎo)就比較盲目.

師：很不錯(cuò)，對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的證明問題，應(yīng)該首先明確證明的目的是什么。同時(shí)，執(zhí)果索因和由因?qū)Ч慕Y(jié)合使用就顯得尤為重要.

問題（4）：在問題（3）的條件下做出的四面體PAEF是否為鱉臑？

大家有的說不是，有的說是，熱烈討論起來.通過一段時(shí)間的討論，學(xué)生找到了逐一證明每個(gè)面都為直角三角形的方法，最終確定四面體PAEF是鱉臑.

師：能否快速看出來呢？

全體學(xué)生：一開始不能，逐一證明每個(gè)面的情況后才能看出.

師：第一問研究了什么？如果用第一問的模型來看呢？

全體學(xué)生恍然大悟：由第一問可知，當(dāng)三棱錐底面為直角三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影恰為底面斜邊一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的四面體就是鱉臑.由此可知四面體PAEF符合這個(gè)模型，它就是鱉臑.

【設(shè)計(jì)意圖】此題源自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）》第69頁的探究，并進(jìn)行了一題多問式的改編，由簡(jiǎn)單問題入手，層層推進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生自主解決問題，再針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行講評(píng).筆者通過例題鞏固空間垂直體系，厘清證明思路，引導(dǎo)學(xué)生從判定定理和性質(zhì)定理的結(jié)構(gòu)中總結(jié)出證明的關(guān)鍵就是多種垂直關(guān)系間的轉(zhuǎn)化，并滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和識(shí)圖、用圖能力.

5.課堂練習(xí)

練習(xí)1：（改編自2019年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷Ⅲ第19題）如圖6，幾何體是由矩形ADEB，直角三角形ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中BE=BF，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG.證明平面ABC⊥平面BCDG.

生13：想象不出翻折后的圖形，所以做不出來.

生14：把矩形ADEB和菱形BFGC都向上翻折，在此過程中AB⊥BE，且AB⊥BC，所以AB⊥平面BCDG，則平面ABC⊥平面BCDG.

生15：思路和剛才生14一樣，但看圖角度不一樣，我想把矩形ADEB從左向右翻折，菱形BFGC向上翻折使之重合.

看到不少同學(xué)皺著眉頭，想象不出圖形，筆者一方面讓學(xué)生嘗試自己折紙;另一方面用GeoGebra軟件制作翻折動(dòng)畫進(jìn)行演示如圖7、圖8，并總結(jié)道：“翻折問題首先要用一個(gè)合適的角度想象并觀察圖形，思考翻折過程中的“變”與“不變”：翻折過程中在同一平面內(nèi)的幾何對(duì)象，其位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系仍然保持不變;在不同平面內(nèi)的幾何對(duì)象，其位置關(guān)系可能會(huì)發(fā)生變化.當(dāng)學(xué)生看懂并想象出圖形翻折過程后，問題自然迎刃而解.”

練習(xí)2：（改編自2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷Ⅲ第19題）已知平面圖形由矩形ABCD和以CD為直徑的半圓組成（圖9），P是半圓弧上異于C，D的點(diǎn)，現(xiàn)沿CD將圖形翻折，使得矩形ABCD所在平面與半圓所在平面垂直，證明：平面PAD⊥平面PBC.

生16：翻折后，如圖10，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PCD且交線為CD，AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，后面就不知道該怎么證了.

生17：換個(gè)角度畫圖如圖11，前面的方法與上一位同學(xué)一樣，得到AD⊥平面PCD后，可知AD⊥PC，又根據(jù)CD為直徑可知PC⊥PD，所以PC⊥平面PAD，所以平面PBC⊥平面PAD.

生16反思：就是因?yàn)閳D的位置不好觀察，沒看出CD為直徑可推得PC⊥PD.

師：剛才兩位同學(xué)的講解和反思，再次體現(xiàn)出觀察圖形時(shí)角度選擇與直觀想象的重要性，在復(fù)習(xí)過程中我們要特別重視，多總結(jié)、多練習(xí).

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)蓚€(gè)例題都改編自近年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷Ⅲ的相關(guān)試題，在保持題目條件基本不變的前提下增加了看圖、用圖的考查.很多同學(xué)不重視空間想象能力及識(shí)圖、畫圖能力的培養(yǎng)，只會(huì)處理熟悉的圖形與熟悉的視角.通過這兩個(gè)題目，筆者給學(xué)生一種思路，提升了學(xué)生的空間想象能力及識(shí)圖、畫圖能力.

6.課堂小結(jié)

師：本節(jié)課回顧了哪些基本內(nèi)容？如何能形象地理解三種垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理？空間中垂直關(guān)系的證明要注意些什么？在后面的復(fù)習(xí)中還應(yīng)該注意什么？

生18：復(fù)習(xí)了空間中三種垂直關(guān)系的定義及其相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理.

生19：空間中垂直關(guān)系的幾個(gè)定理可以形象地看作是三種垂直關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化，要記住轉(zhuǎn)化關(guān)系圖.

生20： 證明要注意三種垂直間的轉(zhuǎn)化條件有差異，不能記錯(cuò).

生21：證明問題時(shí)要注意將從條件出發(fā)由因?qū)Ч姆治龇椒ê蛷慕Y(jié)論思考執(zhí)果索因的分析方法相結(jié)合.

生22： 對(duì)于立體幾何的復(fù)習(xí)要加強(qiáng)看圖、識(shí)圖能力與空間想象能力的培養(yǎng).

師：大家總結(jié)得很不錯(cuò)，這就是本節(jié)課我們的三維目標(biāo).

四、總結(jié)與反思

美國(guó)著名教育心理學(xué)家布魯納提出學(xué)習(xí)的本質(zhì)是主動(dòng)地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教學(xué)的目的在于理解當(dāng)前知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，包括基本概念、基本原理和基本態(tài)度與方法。因此，一輪復(fù)習(xí)應(yīng)以考綱為向、教材為本，幫助學(xué)生對(duì)已學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行梳理、歸納總結(jié)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)或思維導(dǎo)圖.建構(gòu)主義學(xué)生觀認(rèn)為學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的，因此復(fù)習(xí)不是無視學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)另起爐灶，而應(yīng)以學(xué)生為本，引導(dǎo)他們先回顧原有的知識(shí)并發(fā)現(xiàn)問題，再來彌補(bǔ)知識(shí)漏洞并解決問題，以此增長(zhǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)學(xué)習(xí)過程有情境性，即使是一輪復(fù)習(xí)中這種高度概括與枯燥的內(nèi)容，我們也不應(yīng)該空洞地復(fù)習(xí)定理本身，而應(yīng)盡量以情境化的教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)暴露問題、自主反思，并在知識(shí)復(fù)習(xí)的過程中著眼于學(xué)生能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇