探求矩形中線段和的最小值

譚煒東

構(gòu)建模型1：矩形一邊為對(duì)稱軸，對(duì)稱點(diǎn)在形外，確定最值，用一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo).

例1 如圖1，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（- 4，5），D是OB的中點(diǎn)，E是OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ）.

A. [0，43] B. [0，53] C. （0，2） D.? [0，103]

解析：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，交y軸于E，

此時(shí)△ADE的周長(zhǎng)最小.

∵A（- 4，5），D是OB的中點(diǎn)，∴F（4，5），D（ - 2，0），

設(shè)直線DF的解析式為y = kx + b，

∴[-2k+b=0，4k+b=5，]解得[k=56，b=53，]∴直線DF的解析式為y = [56]x + [53]，

∴直線DF與y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為[0，53]. 故應(yīng)選B.

解答要點(diǎn)：一是明確對(duì)稱軸，準(zhǔn)確構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn);二是理解周長(zhǎng)最小的意義，確定動(dòng)點(diǎn)位置;三是靈活運(yùn)用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，確定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

構(gòu)建模型2：對(duì)稱點(diǎn)在矩形外，構(gòu)造共線線段，探求四邊形周長(zhǎng)的最小值.

例2 如圖3，矩形ABCD中，AB = 10，BC = 5， AE = CG，BF = DH，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)的最小值為（ ）.

A. 5[5] B. 10[5] C. 10[3] D. 15[3]

解析：如圖4，作點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，

過M作MN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于N，連接GM，交AD于H，連接AM，EH，

根據(jù)題意得EH + GH的最小值為線段GM的長(zhǎng)度.

由對(duì)稱可知AM = AE，易證AM = ND，∴CG = ND，

∴NG = DG + ND = DG + CG = DC = 10，MN = AD = BC = 5，

在Rt△GMN中，[MG2=MN2+NG2] = [52+102]，則MG = 5[5]，

根據(jù)題意，易證四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為2MG = 10[5] . 故選B.

解答要點(diǎn)：一是明確對(duì)稱軸，準(zhǔn)確構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn);二是連接線段，確定使線段和最小時(shí)的線段;三是運(yùn)用勾股定理、矩形的性質(zhì)確定最小線段的數(shù)值.

構(gòu)建模型3：對(duì)稱點(diǎn)在形外，平移后構(gòu)造共線線段，探求四邊形周長(zhǎng)的最小值

例3 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D（6，4），E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是BC邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PQ = 2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）.

A. （2，0） B. [83，0] C. （4，0） D. [143，0]

解析：如圖6，將點(diǎn)A（0，4）沿AD方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)點(diǎn)G（2，4），

過點(diǎn)E作直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接GF，交BC于點(diǎn)Q，連接CF，

易證四邊形APQG是平行四邊形，則AP = GQ，

由題意得AP + QE的最小值為線段GF的長(zhǎng)度.

根據(jù)對(duì)稱性得點(diǎn)F（6， - 2），

設(shè)直線GF的解析式為y = kx + b，∴[6k+b=-2，2k+b=4，]解得[k=-32，b=7，]

∴直線GF的解析式為y =? - [32]x + 7，∴點(diǎn)Q [143，0].

∵PQ = 2，∴OP = [143] - 2 = [83]，∴點(diǎn)P [83，0]. 故應(yīng)選B.

解答要點(diǎn)：一是明確對(duì)稱軸，準(zhǔn)確構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn);二是通過平移，確定線段和取最小值時(shí)的線段;三是靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)，確定交點(diǎn)的坐標(biāo).

構(gòu)建模型4：對(duì)稱點(diǎn)在形外，構(gòu)造垂線段，探求線段和的最小值

例4 如圖7，矩形ABCD中，AB = 10，BC = 5，若點(diǎn)M，N分別是線段AC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM + MN的最小值為（ ）.

A. 10 B. 8 C. 5[3] D. 6

解析：如圖8，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E，

過點(diǎn)E作EN⊥AB，垂足為N，分別交AC，DC于點(diǎn)M，G，連接EC，MB，

根據(jù)題意得BM + MN的最小值為線段EN的長(zhǎng)度.

連接AE，交CD于點(diǎn)F，根據(jù)對(duì)稱性和等腰三角形的判定易得AE = AB = 10，AF = FC.

設(shè)AF = FC = x，則DF = 10 - x，

在Rt△ADF中，∵[AF2=AD2+DF2]，

∴[x2=52+（10-x）2]，解得 x = [254]，∴EF = 10 - x = [154]，

在△EFC中，[12×EF×EC=12×FC×EG]，

∴[12×154×5=12×254×EG]，∴EG = 3，

∴EN = EG + GN = 8，∴BM + MN的最小值為8. 故選B.

解答要點(diǎn)：一是明確對(duì)稱軸，準(zhǔn)確構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn);二是通過構(gòu)造垂線段，確定線段和取最小值時(shí)的線段;三是靈活運(yùn)用勾股定理等相關(guān)知識(shí)，確定該線段的長(zhǎng)度.

（作者單位：深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國(guó)語中學(xué)）