借助“高等代數(shù)”知識，解決高中幾何問題

陳平

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何知識是重點內(nèi)容，不過由于知識本身的復(fù)雜性，很多學(xué)生都無法深入理解，沒有認(rèn)識到幾何的本質(zhì)，影響到了學(xué)習(xí)效果。“高等代數(shù)”在高中幾何中的應(yīng)用，符合學(xué)生的認(rèn)知特點?；诖?，本文從高中幾何與“高等代數(shù)”的聯(lián)系入手，分析了“高等代數(shù)”在高中幾何中的應(yīng)用，希望對同仁有所幫助。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)? 高中幾何? 數(shù)學(xué)教學(xué)

一、高中幾何與“高等代數(shù)”知識的聯(lián)系

“高等代數(shù)”是解析幾何研究的重要工具。在高中幾何教學(xué)中應(yīng)用“高等代數(shù)”知識，可以實現(xiàn)兩者的合二為一，兩者本身就相互聯(lián)系、相互促進，相對應(yīng)的課程之間也存在重合之處。如高中幾何中的共線和共面問題就需要借助線性相關(guān)知識來表示，教師可以引入“高等代數(shù)”來敘述幾何的概念，從數(shù)學(xué)思維和教學(xué)角度來看，兩者本身就有共通性。

“高等代數(shù)”的很多知識，包括行列式、矩陣、線性變換等，都可以應(yīng)用到幾何教學(xué)中。以解析幾何為例，解析幾何的主要內(nèi)容為二維（三維）空間的直線與二次曲線，以及空間曲線與曲面的平移變換等，兩者本身就有重復(fù)的內(nèi)容。從學(xué)生的角度來看，利用“高等代數(shù)”知識可以更加容易理解幾何知識，將高中幾何應(yīng)用到解決問題中，知識之間相互交融。

計算機技術(shù)如今在教學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，將幾何問題進行代數(shù)化的處理也為可能。在高中幾何教學(xué)中應(yīng)用“高等代數(shù)”知識，既能讓學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識，又能讓學(xué)生對“高等代數(shù)”有更深刻的認(rèn)知，方便學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

二、“高等代數(shù)”知識在高中幾何中的應(yīng)用

1.多項式恒等定理知識

設(shè)有關(guān)于x的多項式

對所有x，P（x）= Q（x）恒成立的充要條件是：

特別地，P（x）=0 的充要條件是所有的

上述為多項式恒等定理的內(nèi)容，借助這一“高等代數(shù)”知識，學(xué)生能解決高中幾何中的曲線過定點和求公切線方程等問題。

2.線性方程組知識

教師借助線性方程組的知識來解決高中幾何問題，可以深入分析幾何和“高等代數(shù)”之間的聯(lián)系和相互滲透情況。

3.柯西不等式

柯西不等式為：

則

當(dāng)且僅當(dāng)bi=（i=1，2，…，n）或存在一個數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2…n）時，等號成立。

柯西不等式本身對稱和諧，教師對其進行變形處理，也就能用“高等代數(shù)”知識來解決幾何問題?？挛鞑坏仁皆趲缀螁栴}求解中得到了廣泛的應(yīng)用，學(xué)生可以借助這一知識點來解決重要不等式的問題，也能解決幾何的相關(guān)問題。

例1：實數(shù)x，y滿足方程x2+y2=6x-4y-9，則2x-3y的最大值與最小值的和等于多少？

解：設(shè)t=2x-3y，

，由柯西不等式得

，

，

隨即確定t的最小值與最大值分別為

，? ? ? ? ? ? ?。

相應(yīng)的，2x-3y的最大值與最小值的和為24。

三、“高等代數(shù)”知識融入高中幾何教學(xué)的發(fā)展

隨著基礎(chǔ)教育的不斷發(fā)展，對教師的綜合素養(yǎng)也提出了更高的要求。教師要實現(xiàn)知識的融會貫通，方便學(xué)生展開知識建構(gòu)，而不是讓學(xué)生對知識的理解出現(xiàn)分離。

在高中幾何教學(xué)中，教師除了要讓學(xué)生掌握知識點之外，也要讓學(xué)生掌握知識點的來龍去脈，并將相關(guān)知識融入其中，實現(xiàn)舉一反三。教師借助計算機技術(shù)展開教學(xué)，可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動參與學(xué)習(xí)，將“高等代數(shù)”知識融入高中幾何，實現(xiàn)知識點的融會貫通，讓數(shù)學(xué)知識成為有機整體，讓學(xué)生更加全面地理解知識。

綜上所述，在高中幾何教學(xué)中，學(xué)生很難深入理解抽象的幾何知識，“高等代數(shù)”知識在其中起到了重要的作用，教師充分借助“高等代數(shù)”知識，解決高中幾何問題，可以讓學(xué)生更為深入地理解幾何問題，也能形成數(shù)學(xué)思維，起到意想不到的效果。

參考文獻：

[1]周仁國，陳明.數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用——角平分線性質(zhì)與二倍角公式的相關(guān)性探究[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報，2020（4）.

[2]邱小偉，曾昌濤，陳惠.高中數(shù)學(xué)課型構(gòu)建與實例分析——以《直線與圓的位置關(guān)系》為例[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2020（3）.

（作者單位：河北省保定市第一中學(xué)）