彭興強(qiáng)

摘要：初中物理光學(xué)作圖根據(jù)成像原理尋找入射點(diǎn)的作圖非常有趣，特別是其作圖步驟和數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題極其相似，可見(jiàn)數(shù)學(xué)和物理的緊密聯(lián)系。有不少物理問(wèn)題采用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決，本文將數(shù)學(xué)問(wèn)題采用構(gòu)建物理模型進(jìn)行解決，增強(qiáng)了此問(wèn)題的趣味性。

關(guān)鍵字：將軍飲馬;物理模型;最短問(wèn)題

唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如圖 1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？

解題原理這里不再敘述。解題方案是作出A點(diǎn)關(guān)于小河l的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交l于點(diǎn)P。那么AP+BP為最短。

這個(gè)作圖法和八年級(jí)物理中的一道光路作圖極其相似，如圖 2所示。從A點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)平面鏡反射后到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)成像原理找到入射點(diǎn)P和對(duì)應(yīng)的入射光線和反射光線。

做完這兩道題后，同學(xué)們?yōu)槲锢砗蛿?shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性無(wú)比驚嘆，又為它們的區(qū)別更為神往。

這里還有一道題更為神秘。

如圖 3，AB可以在平行線mn間平移，P為一定點(diǎn)。當(dāng)AB平移到什么位置時(shí)可以使AP+BP最短？

將此題變成物理問(wèn)題的做法如下：將mn構(gòu)造成帶有滑槽的平行導(dǎo)軌，AB為兩端帶有滾輪的金屬棒，P點(diǎn)為一帶有滑輪的固定點(diǎn)。一根長(zhǎng)度適宜的橡皮筋的兩端分別固定在A點(diǎn)和B點(diǎn)，橡皮筋跨過(guò)P點(diǎn)的滑輪并且能夠一直處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，如圖 4所示。將AB在滑槽上滑動(dòng)后松手，那么AB停下后位于什么位置？

這里的夾角相等與“將軍飲馬”問(wèn)題又有什么關(guān)聯(lián)呢？且看數(shù)學(xué)求解過(guò)程。

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，如圖 5所示，過(guò)P點(diǎn)作n的平行線l。那么AB在mn間的平移等效于P在l上的平移。所以此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為剛開(kāi)始描述的“將軍飲馬”問(wèn)題。解法是作出A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，與l相交于P′點(diǎn)，此時(shí)AP′+BP′最小。很容易證明AP′和BP′與l的夾角相等。

所以物理方法和數(shù)學(xué)方法得出的結(jié)果是一致的。

將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成物理模型，不僅可以增強(qiáng)問(wèn)題的趣味性，還可以將物理和數(shù)學(xué)聯(lián)系得更加緊密，讓人體會(huì)物理所含的數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)的物理意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]林群.數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2013：85.

[2]彭前程.物理 八年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2012：78.

[3]將軍飲馬問(wèn)題的妙用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2011：60-61.