逆矩陣的教學(xué)設(shè)計

閆偉文　白慶月

摘? 要：線性代數(shù)作為代數(shù)學(xué)的分支，具有重要的理論和實際應(yīng)用價值。矩陣是研究線性代數(shù)的重要工具，矩陣中的逆矩陣在求解線性方程組中起著舉足輕重的作用。逆矩陣既是線性代數(shù)的教學(xué)重點，又是教學(xué)難點。本文從理論與實踐兩個角度探討逆矩陣的教學(xué)設(shè)計，以此達到提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的目的。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);逆矩陣;線性方程組;教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G632? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2021）19-0068-04

線性代數(shù)是我國高校經(jīng)管、理工類各專業(yè)的一門公共必修基礎(chǔ)課，在經(jīng)濟學(xué)、計算機技術(shù)、人工智能等多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。該課程內(nèi)容豐富、概念抽象、公式繁雜、知識點之間聯(lián)系緊密，學(xué)生學(xué)習(xí)難度較大，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運用數(shù)學(xué)思維分析問題、解決問題的能力。該課程中逆矩陣是求解矩陣方程即線性方程組的重要工具，而線性方程組是線性代數(shù)的教學(xué)主線，貫穿該課程的始終[1]。因此做好逆矩陣的教學(xué)設(shè)計十分必要。線性代數(shù)提供了一種數(shù)學(xué)思想方法及素養(yǎng)的范式[2]。本文從理論與實踐兩個角度探討逆矩陣的教學(xué)設(shè)計。

一、從理論角度——數(shù)學(xué)的思想方法設(shè)計

目前多數(shù)應(yīng)用型本科高校使用的線性代數(shù)教材是吳贛昌主編的《線性代數(shù)》（簡明版第五版）[3]。教學(xué)內(nèi)容主要包括行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值、二次型。求解線性方程組是線性代數(shù)的本質(zhì)任務(wù)，貫穿線性代數(shù)的始終。教學(xué)過程中，教師應(yīng)該以線性方程組為主線，用舊知識去解釋新知識，通過數(shù)學(xué)的思想方法找出不同概念之間的聯(lián)系，這樣才能使學(xué)生形成系統(tǒng)的知識體系[4]，進而建構(gòu)數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生思維能力。矩陣作為求解線性方程組的主要工具，體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想，下面對逆矩陣從數(shù)學(xué)思想層面進行教學(xué)設(shè)計。

（一）通過類比思想導(dǎo)入概念

類比思想是用舊知認識新知，用已知探究未知的一種重要數(shù)學(xué)思想。在引入逆矩陣概念的設(shè)計中，這種思想表現(xiàn)更為突出。線性代數(shù)的主要任務(wù)是求解線性方程組。

n元齊次線性方程組可以表示為矩陣方程Ax=b。矩陣方程Ax=b類比于實數(shù)方程ax=b。對于方程ax=b，當(dāng)a≠0時，解方程的思想是化“a”為“1”，即

a-1（ax）=a-1b？圯（a-1）ax=a-1b？圯1x=a-1b？圯x=a-1b;

對于矩陣方程Ax=b，求解的思想類似，為化“A”為“E”，即

B（Ax）=Bb？圯（BA）x=Bb？圯Ex=Bb？圯x=Bb。

若此解法可行，關(guān)鍵是否存在矩陣B，使得BA=E，引出逆矩陣的概念：

定義[3]：對n階矩陣A，若存在一個n階矩陣B，使得AB=BA=E，則矩陣A稱為可逆矩陣，而矩陣B稱為A的逆矩陣，記做A-1。

逆矩陣類比于倒數(shù)，矩陣的逆運算類比于數(shù)的除法運算。通過對逆矩陣的類比，有助于學(xué)生對逆矩陣概念的理解，學(xué)生學(xué)習(xí)此概念的難度會大大降低，培養(yǎng)學(xué)生用已有知識體系構(gòu)建新知識體系的能力。

（二）通過具體到抽象的思想得到矩陣可逆的一般結(jié)論[5]

一個非零數(shù)的倒數(shù)一定是存在的，類似地學(xué)生會設(shè)疑，什么樣的矩陣存在逆矩陣？先看一個簡單案例[6]：

（1）設(shè)矩陣A=2? 51? 3，存在矩陣B=2? -5-1? 2，使得AB=BA=E，則矩陣B為矩陣A的逆矩陣，即矩陣A可逆。

（2）設(shè)矩陣O=0? 00? 0，顯然找不到任何一個矩陣B，使得OB=BO=E，則零矩陣不存在逆矩陣，即零矩陣不可逆。

（3）設(shè)矩陣A=1? 22? 4，則矩陣A不可逆。

通過以上具體案例，學(xué)生會問兩個問題：第一，方陣什么條件下可逆？第二，若方陣可逆，逆矩陣唯一嗎，如何找到？進而引發(fā)學(xué)生思考，得到矩陣可逆的一般結(jié)論。

結(jié)論1[6]：若矩陣A可逆，則其逆矩陣一定是唯一的。

引導(dǎo)學(xué)生用反證法證明這一抽象結(jié)論。

結(jié)論2[3]：n階矩陣A可逆的充要條件是A≠0，且當(dāng)A可逆時，有A-1=A*。

首先引導(dǎo)學(xué)生找規(guī)律，思考探索矩陣可逆的一般條件，進而加以證明。通過以上具體到抽象的思維方式，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力與分析探究能力。

（三）通過特殊到一般的思想引出伴隨矩陣求逆

特殊矩陣：單位矩陣與對角矩陣。

（1）單位矩陣的逆矩陣是其本身。

（2）對角矩陣的逆矩陣為其主對角線各元素的倒數(shù)。

對于一般n階可逆矩陣A，需要尋找矩陣B，使得AB=BA=E，將矩陣A與矩陣B的具體元素設(shè)出來，通過解方程組可得矩陣B，矩陣B為矩陣A的逆矩陣，在此過程中，定義了伴隨矩陣A？鄢，即AA？鄢=A？鄢A=AE。這樣有了伴隨矩陣，求逆就有了方法。

這種由特殊到一般的分析思路是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力目標，是分析問題的基礎(chǔ)能力。

（四）通過方程思想[7]得到初等變換法求逆

若AB=E，則B=A-1。根據(jù)此推論[3]，利用求解方程組來求逆矩陣。

設(shè)n階可逆矩陣A與矩陣B，由上述推論可得方程組Aβ1=e1，Aβ2=e2，Aβn=en， 其中B=（β1 β2…βn），E=（e1e2…en），理論上高斯消元法就可以求得方程組的解，即得矩陣B。而高斯消元法對應(yīng)矩陣的初等變換，上述線性方程組對應(yīng)增廣矩陣（Ae1e2…en）Eβ1 β2…βn，這樣通過方程的思想就得到了求逆矩陣的初等變換法（AE）（EA-1）。初等變換法是求逆矩陣的非常有效的方法，也有筆者研究了同時使用初等行變換與初等列變換求逆矩陣[8-9]。通過給學(xué)生植入熟悉的方程思想，使學(xué)生能更深刻地理解初等變換法求逆矩陣。

二、從實踐角度——逆矩陣的實際應(yīng)用設(shè)計

（一）逆矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用

逆矩陣的一個經(jīng)典應(yīng)用是對Hill密碼的加密與解密。學(xué)生對某一知識的使用比對知識本身更感興趣，因此，教師在講授完逆矩陣的基本概念與性質(zhì)之后，可以給學(xué)生引入實際案例——Hill密碼。

Hill加密算法的基本思想是設(shè)計一種可逆的對應(yīng)關(guān)系即矩陣方程。首先給學(xué)生一個小任務(wù)，快速查閱關(guān)于Hill密碼的簡介，大概了解其由來，并認識其組成，并在教師的指導(dǎo)下研究探討其原理。在探究的過程中，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識并不是枯燥乏味的，它在實際生活中活靈活現(xiàn)，而且體會到數(shù)學(xué)知識是很重要的工具。與前面數(shù)學(xué)的思想方法相比，學(xué)生可能更喜歡這種看得見的實際應(yīng)用，以此激發(fā)學(xué)生對理論的演算與推理的更深層次理解。然后，通過一個有趣的練習(xí)讓學(xué)生進一步使用逆矩陣來加深對逆矩陣的理解[10]。

如對明文“I love you”，設(shè)計合適的密鑰矩陣，實現(xiàn)Hill加密和解密過程。加密步驟總結(jié)為：①將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息;②利用加密矩陣將數(shù)字信息加密;③將加密得到的數(shù)字信息轉(zhuǎn)化為文字信息;④傳輸給對方。解密步驟總結(jié)為：①將收到的文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息;②利用解密矩陣將數(shù)字信息解密;③將解密得到的數(shù)字信息轉(zhuǎn)化為文字信息。重難點總結(jié)：加密矩陣的設(shè)計原則：①算起來容易（加密矩陣與其逆矩陣元素都是整數(shù)）;②不容易被敵方破譯，要有一定的復(fù)雜性。加密矩陣滿足的條件：①的每一個元素為整數(shù)（加密矩陣為整數(shù)矩陣）;②解密矩陣為整數(shù)矩陣。尋求滿足條件的簡單矩陣：上（下）三角矩陣，但容易被破譯，所以采用上三角矩陣與下三角矩陣的乘積，較復(fù)雜些。另外不應(yīng)采用低階矩陣，而應(yīng)采用高階矩陣不易被破譯[11]。

（二）逆矩陣的數(shù)學(xué)實驗操作

在開設(shè)的數(shù)學(xué)實驗課程中，讓學(xué)生用MATLAB實現(xiàn)對逆矩陣的求解。學(xué)生既需要將實際問題抽象出簡單的矩陣模型，又需要對簡單的矩陣模型進行求解。數(shù)學(xué)實驗促進學(xué)生掌握求逆矩陣的多種方法，加深學(xué)生對逆矩陣理論的理解，強化了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的意識，培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力。

MATLAB作為數(shù)學(xué)上較實用的數(shù)學(xué)軟件，是學(xué)生跨越數(shù)學(xué)理論與實踐的橋梁。熟練掌握MATLAB，既可以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的意識，又可以培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)解決實際問題的能力。

參考文獻：

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[10] 楊威，陳懷琛，等. 大學(xué)數(shù)學(xué)類課程思政探索與實踐——以西安電子科技大學(xué)線性代數(shù)教學(xué)為例[J]. 大學(xué)教育，2020（03）：77-79.

[11] 陳建龍，張小向. “金課”標準下的線性代數(shù)教學(xué)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2019，35（05）：73-82.

（薦稿人：賈慶菊，山西財經(jīng)大學(xué)副教授）

（責(zé)任編輯：淳潔）