一道高考題錯(cuò)誤解法的反思

馮世偉

摘 要：排列組合是高中數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立部分，其中立體幾何模型中的涂色問題是師生反映較難的部分，對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題能力要求較高.由于題目變化多端，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，思考過程容易出錯(cuò)，解答思路靈活，答案檢驗(yàn)和糾錯(cuò)困難，本文以排列組合問題的一個(gè)錯(cuò)誤解法為例，分析排列組合中涂色問題的常見認(rèn)知錯(cuò)誤，研究其產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，找到解決問題的思路.

關(guān)鍵詞：排列組合;常見錯(cuò)誤;分類討論;立體幾何

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）13-0009-02

在講排列組合復(fù)習(xí)課時(shí)，學(xué)生A拿著資料問我下面的一道題：

題目 某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖1所示的6個(gè)點(diǎn)A，B，C，A1，B1，C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）.

此題是高考理科填空題第16題 （重慶卷），這是一道“染色”問題與立體幾何結(jié)合的綜合試題，當(dāng)時(shí)就給學(xué)生如下分析：由條件知點(diǎn)A處有4種選擇，點(diǎn)B處有3種選擇，點(diǎn)C處有2種選擇，從而點(diǎn)A1處有3種選擇，點(diǎn)B1處與點(diǎn)A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點(diǎn)B1處也有3種選擇，點(diǎn)C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（種）方法.看數(shù)據(jù)與答案相符，當(dāng)時(shí)還有點(diǎn)沾沾自喜的“成就感”.在第二天上課時(shí)我就將此題在班里講了一下.

學(xué)生B說：“老師，您的解題思路有問題”.

我當(dāng)時(shí)持有懷疑的心理，為了鼓勵(lì)學(xué)生B，我還是說：“請(qǐng)你說說錯(cuò)誤之處”.

學(xué)生B說：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可導(dǎo)致最終只使用了三種顏色的情況出現(xiàn)”.

對(duì)呀！題目要求每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)，我向同學(xué)們說：我知道，我錯(cuò)了！究竟錯(cuò)在何處呢，為什么我的思路所得數(shù)據(jù)又和答案“如此完美的相符”呢？同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了老師的錯(cuò)誤，真是激情高漲，為了能盡快地糾正老師的錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)在班內(nèi)就熱火朝天地討論開了.

題意分析

這是一道“染色”問題與立體幾何結(jié)合的綜合試題，解題時(shí)抓住題意，“同一條線段兩端的燈泡不同色”，同時(shí)要注意“每種顏色都要使用”的限制.

解析 先確定A，B，C處的顏色，有A34種，第四種顏色的燈的安裝位置有C13種（例如放在C1處），其余兩處分兩種情況：若A1， B同色，則B1處有2個(gè)選擇，若A1， B不同色，由于A1處已確定，則B1處僅有1個(gè)選擇.所以共有A34C13（2+1）=216種不同的方法.這才是正確的解法.

解法研究

“棱的兩端不同色”的條件大家都會(huì)注意到，而“四種顏色都要使用”的條件，往往容易忽略或使用不好.解法的示范揭示出：底面三角形的頂點(diǎn)必不同色，故可整體處理為A34種.以下即可從另一底面上“必有一點(diǎn)為第四種顏色”出發(fā)，經(jīng)過分類討論（化朦朧為清晰）得出答案.這里討論是不可避免的.

提供另外一種思路供大家探究：用四種顏色染六個(gè)點(diǎn)，必有兩個(gè)是同色的;統(tǒng)一底面上的點(diǎn)不能同色，而同色的兩點(diǎn)必分處于兩個(gè)底面，故不會(huì)有三點(diǎn)同色，故六個(gè)點(diǎn)依題設(shè)染色時(shí)，必有兩組“雙點(diǎn)”同色和另外兩個(gè)單點(diǎn)與其它點(diǎn)均不同色，于是可依“先組合后排列”的原則，先分析兩組同色的“雙點(diǎn)”的取法，并將同色的“雙點(diǎn)”視為一點(diǎn)，再做全排列.同色的“雙點(diǎn)”連線必為側(cè)面對(duì)角線，且兩條對(duì)角線沒有公共的端點(diǎn)（即棱臺(tái)的頂點(diǎn)），故取兩組的方法數(shù)為C26-6（C26中的“6”指?jìng)?cè)面有6條對(duì)角線;“-6”是減去“雖不在同一側(cè)面，卻有公共端點(diǎn)——棱臺(tái)頂點(diǎn)的6組對(duì)角線”）;也可以分類：側(cè)面6條對(duì)角線中異面的組數(shù)為2C23種，相交（并非有公共頂點(diǎn)）的為3種.總之，兩種同色點(diǎn)的取法共有C26-6=2C23+3=9種.將同色的兩點(diǎn)視為一個(gè)點(diǎn)，問題變?yōu)橐运姆N顏色涂四個(gè)點(diǎn)，共有A44種方法，于是原題的答案就是9A44=216種.

錯(cuò)解 由條件知點(diǎn)A處有4種選擇，點(diǎn)B處有3種選擇，點(diǎn)C處有2種選擇，從而點(diǎn)A1有3種選擇，B1處與點(diǎn)A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點(diǎn)B1處也有3種選擇，點(diǎn)C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（種）方法.

錯(cuò)解分析

錯(cuò)誤1：在指定了A，B，C的染色方法后，A1，B1的“任意性”可導(dǎo)致最終只使用了三種顏色的情況出現(xiàn).

錯(cuò)誤2：染A1固然有3種方法，但只有A1與B同色時(shí)，B1才有3種方法，否則就只有2種.

錯(cuò)誤3：對(duì)于A1，B1的不同染色，C1的染法不總是唯一確定的，如，A1與B1中有一個(gè)是第四種顏色，另一個(gè)與C同色時(shí)，C1有兩種染法（與A或B同色）.

幾處錯(cuò)誤“交織”在一起，既有“增根”（不是重復(fù)，而是不符合題意），又有“丟根”，而且何處“增”多少，何處“丟”多少，已難于用簡(jiǎn)短的語言交代清楚.“難能可貴的”是，其得數(shù)與正確答案相同！這正是該錯(cuò)誤的隱蔽之處.錯(cuò)解之錯(cuò)是思路之錯(cuò)，不可容忍，答案的“一致”僅僅是題設(shè)的數(shù)據(jù)造成的巧合，在數(shù)據(jù)改變之后，以這樣的錯(cuò)誤思路解題勢(shì)必鑄成大錯(cuò)，這也是危害所在，解這類問題，直接“分步”的過程中，不分類討論幾乎是不可能的.

題目延伸

如果顏色種數(shù)有變化，錯(cuò)誤的思路體現(xiàn)的錯(cuò)誤就很明顯，最顯然的一種情況，用足給定的六種顏色三棱臺(tái)標(biāo)有字母的六個(gè)頂點(diǎn)，自然是A66種方法，若用足給定的五種顏色染三棱臺(tái)標(biāo)有字母的六個(gè)頂點(diǎn)，方法有多少種？

正解 染A，B，C有A35種方法，余下的兩種顏色染A1，B1，C1中的兩點(diǎn)有A23種方法，余下的一個(gè)點(diǎn)與和它共棱的三個(gè)點(diǎn)不同色，其余兩色任選有C12種.故有A35A23C13=A56種方法.

錯(cuò)解 六個(gè)點(diǎn)選五個(gè)點(diǎn)染不同顏色有A56種方法，余下的一個(gè)點(diǎn)與和它共棱的三個(gè)點(diǎn)不同色，其余任選有C12種，故有A56C12=2A56種.

分析 恰好重復(fù)了一倍，理由是“余下的點(diǎn)”可能在上底面，也可能在下底面，這兩種只考慮一種（即是正解）.都考慮當(dāng)然重復(fù)一倍，盡管不是有意的，但這種思維的“隨意性”有害，應(yīng)引以為戒.其實(shí)也可以如下分析：六個(gè)點(diǎn)中必有兩點(diǎn)同色（連線為側(cè)面對(duì)角線），于是將“兩點(diǎn)視為一點(diǎn)”的方法有C16種，然后全排列有A55種，故共有C16A55=A66=A56種.

下面看一道數(shù)學(xué)聯(lián)賽題（1995年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是多少？

方法1 以顏色為主分類討論

第一類用3種不同顏色時(shí)，第一步選色染A，第二步從剩余4種顏色任選兩種染E，B，C，D四點(diǎn)，此時(shí)只能對(duì)角點(diǎn)可分別同色，故有C15C24C12=60種;

第二類用4種不同顏色，先從5種顏色選一種色染A;再?gòu)氖Ｓ?種顏色任選兩種染E，B且顏色可交換有A24種;再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染D或C，而D與C中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有C15A24C12C12=240種.

第三類用5種顏色染色有A55=120種，由加法原理得不同的涂色方法數(shù)共有60+240+120=420種.

方法2 以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)（可以以相鄰顏色最多的區(qū)域開始）

第一步先涂A，有5種，第二步再涂D（與A不同色）有4種，第三步涂E（與A，B不同色）有3種，此時(shí)只剩2種顏色染B，C，對(duì)角點(diǎn)可同色，C，A同色時(shí)，B與A（C），E不同色有3種;C，A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種選擇的顏色，從而C，D染色有1×3+2×2，由乘法原理共有60×7=420種.

推廣1 用5種顏色將n棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是an=15[3n-1+（-1）n-2];

推廣2 用m（m≥4）種顏色將n（n≥3）棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色.如果只有m種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是an=m（m-2）（m-2）n-1+（-1）n.

解題反思

錯(cuò)解給了我們反思的機(jī)會(huì)，讓我們更加深刻地認(rèn)識(shí)到排列組合的本質(zhì)內(nèi)涵，分類計(jì)數(shù)原理（加法計(jì)數(shù)原理）和分步計(jì)數(shù)原理（乘法計(jì)數(shù)原理）是解決排列組合問題的最根本的方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鴻斌，賈麗紅.一道高考題求解錯(cuò)誤的調(diào)查研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（05）：7-9.

[2]孫世林.一道高考題的解法探究、變式及反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（07）：48-50.

[3]范方兵.素養(yǎng)導(dǎo)向下一道高考試題的解法探究[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2018（22）：52-55.

[責(zé)任編輯：李 璟]