王文晶

摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指的是適應(yīng)學(xué)生自身發(fā)展以及社會(huì)發(fā)展的品質(zhì)與能力，而高中數(shù)學(xué)例題中便具有著豐富的知識(shí)背景和思想方法，不單單是解題方法的教授，也是數(shù)學(xué)思想的傳授。同時(shí)高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)也是能夠幫助學(xué)生夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)、掌握知識(shí)規(guī)律、培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣的有效路徑。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);例題教學(xué)

引言：目前新高考制度改革已經(jīng)在我國多個(gè)省市推行，而高考制度的改革對(duì)于高中教學(xué)來說影響頗深，對(duì)于高中教學(xué)的方法和策略都帶來了影響。教育的主旨目標(biāo)在于立德樹人，而這也是新課程改革的核心要素，黨和國家近年來的政策也在不斷強(qiáng)調(diào)對(duì)于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，但以往高中階段的教育教學(xué)仍會(huì)在備戰(zhàn)高考的“應(yīng)試”教育和核心素養(yǎng)之間搖擺，新高考制度的改革則進(jìn)一步突破了這一桎梏，加速了素質(zhì)教育的全面落實(shí)，這對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說也帶來了積極的作用。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)科思想及本質(zhì)的一種體現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)中例題是不可或缺的一項(xiàng)內(nèi)容，不管是教授學(xué)生知識(shí)方法，還是滲透核心素養(yǎng)培養(yǎng)都是有效的途徑，將數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法結(jié)合在一起，既能實(shí)現(xiàn)知識(shí)基礎(chǔ)的提升，又能通過靈活的內(nèi)容和形式變換實(shí)現(xiàn)能力的培養(yǎng)。

一、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力

對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，新課程改革要求教學(xué)需要鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主探索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與創(chuàng)新能力，但高中階段的學(xué)生卻在自主學(xué)習(xí)和自主探究方面存在很多困難，不僅表現(xiàn)在自主性不足，同時(shí)也面臨著思維過于僵化，時(shí)常陷入例題謎團(tuán)中的問題。很多學(xué)生在解題時(shí)往往只會(huì)利用固定的解題方法不斷嘗試，而很多高考中的題目考查的就是學(xué)生的自主能力和創(chuàng)新能力，用很刁鉆的角度提出問題，而學(xué)生面對(duì)這些問題時(shí)則完全喪失了“斗志”。對(duì)此教師不僅要教授學(xué)生解題的方法，還要通過一題多解和多題一解的思想讓學(xué)生具備靈活的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造能力，在面對(duì)例題時(shí)能夠靈活應(yīng)用解法，沒有解法也能創(chuàng)造解法。

（一）一題多解

高中數(shù)學(xué)例題常涉及到一題多想、一題多解、一題多講的例題，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生以多個(gè)角度和層面去思考問題，開闊解題的思路，在面臨許多看上去困難且麻煩的數(shù)學(xué)例題時(shí)能夠輕松“抄捷徑”找到正確答案，這也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)潛在能力的一種挖掘。如例題：

已知正數(shù)x和y滿足x+y=1的要求，求的最小值。

學(xué)生剛看到這一題時(shí)可能會(huì)被它的表象欺騙，看上去不管是已給條件還是所求問題都十分簡單，但在解題時(shí)四處碰壁后才了解到這一題的不同之處，而針對(duì)該題，解法也有好幾種。

1.讓x+2=a，y+1=b，二者能夠滿足a+b=4（a>2，b>1）的條件，在只有時(shí)，取等號(hào);

2.也可以利用冪平均不等式進(jìn)行解答，設(shè)a=x+2，b=y+1，那么根據(jù)條件能夠得出

;

3.通過常數(shù)代換的方法求解，設(shè)a=x+2，b=y+1，則，在a=2b時(shí)取等號(hào)。

經(jīng)過該題的一題多解，能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而且實(shí)現(xiàn)了以往知識(shí)點(diǎn)以及解題方法的鞏固，因此一題多解下的高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)是一種靈活延伸不斷拓展的教學(xué)方法，不僅方法多種多樣，而且內(nèi)容也相互貫通，讓學(xué)生在面對(duì)其他題型時(shí)也能延伸出多種不同的解法。

（二）多題一解

與一題多解在形式上相反，多題一解則是利用一種知識(shí)或方法去解決更多的數(shù)學(xué)題，一題多解是一道例題延伸出多種方法，而多題一解則是一種方法所延伸的多個(gè)問題。多題一解能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握和應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)，并且掌握知識(shí)的分析方法和類比方法，在面對(duì)例題時(shí)可以選擇更加簡單有效的解題方法，實(shí)現(xiàn)解題中的創(chuàng)新，如例題：

設(shè)函數(shù)

1.如果針對(duì)所有實(shí)數(shù)x有f（x）<0且恒成立，那么求m的取值范圍是多少？

2.如果針對(duì)有恒成立，那么求m的取值范圍是多少？

變式題：

3.如果不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是多少？

4.在時(shí)，不等式恒成立，那么x的取值范圍是多少？

面對(duì)這類習(xí)題，其解題方法大體上類似，而解題思路基本相通，隨著題目的靈活變化，解題思維也會(huì)產(chǎn)生變動(dòng)，只要學(xué)生能夠在解題過程中掌握解題方法和解題規(guī)律，便可以針對(duì)一類的題型實(shí)現(xiàn)融匯貫通，不管題目再怎么變化，只要學(xué)生的思維變化能夠跟上題目變化，那么同類的所有題型都會(huì)變得十分簡單，這也有助于學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

二、借助生活實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)學(xué)離不開數(shù)據(jù)的獲取和分析，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中更是如此，學(xué)生需要具備利用統(tǒng)計(jì)方法來整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、推斷數(shù)據(jù)的能力，包括信息的收集、整合、提取、建模、推理、總結(jié)等。而為了能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，教師則可以選擇貼近學(xué)生生活的事物，在幫助學(xué)生理解例題的基礎(chǔ)上讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，也體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的實(shí)用價(jià)值，在培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析能力的同時(shí)讓學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)得到提高。如例題：

共享單車能夠在學(xué)校、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等處為人們提供單車共享服務(wù)，這是共享經(jīng)濟(jì)的全新形態(tài)，也為我們的生活帶來了便利。但作為一種共享經(jīng)濟(jì)，共享單車的資金投入問題成為了企業(yè)重點(diǎn)關(guān)注的問題，于是某共享單車企業(yè)在某城市一天中共享單車的平均成本和租車數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，調(diào)查結(jié)果如表1所示。

共享單車租用數(shù)量（x）/千輛 2 3 4 5 8

每輛單車平均成本（y）/元 3.2 2.4 2 1.8 1.7

表1共享單車租用數(shù)量與平均成本的關(guān)系

（一）按照表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，調(diào)查人員根據(jù)甲乙兩種不同的回歸模型得到了兩個(gè)回歸方程（1）;（2）。為了對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，需要完成以下兩個(gè)任務(wù)：

1.補(bǔ)充下表，結(jié)果精確小數(shù)點(diǎn)后一位，稱為相應(yīng)于點(diǎn)（）的殘差。

2.分析并計(jì)算兩個(gè)模型的殘差平方和，以及Q1、Q2，根據(jù)Q1、Q2的大小比對(duì)，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好一些？

（二）該公司在城市投放共享單車之后，許多市民都表示非常歡迎，并且都十分愿意騎乘共享單車綠色出行，所以該公司近些天打算再投放一些共享單車。按照市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果顯示，在共享單車投放數(shù)量為8000輛時(shí)，每天的收入能夠達(dá)到10元，6元的幾率分別為0.6與0.4。那么在投放數(shù)量在1萬輛時(shí)，公司平均每輛單車可以收入10元，6元的概率為0.4和0.6。請(qǐng)問，公司應(yīng)該投放8000輛還是1萬輛？

分析（一）：可以利用回歸返程的計(jì)算得到兩個(gè)模型的估計(jì)值，將其代入到=yi-中便可以得出殘差;再根據(jù)這一結(jié)果，也就是擬合效果更好的模型可以計(jì)算每天每輛單車的平均成本，利潤=收入-成本。因此計(jì)算可以得出Q1、Q2，對(duì)比Q1、Q2的大小能夠得出兩種模型的效果，模型乙效果更佳;上表的補(bǔ)充結(jié)果如下。

分析（二）：

在共享單車投放8000輛時(shí)，該公司每天每輛車的收入期望值為10×0.6+6×0.6+6×0.4=8.4，因此每日平均總利潤為53600（元）;

在共享單車投放量為1萬輛時(shí)，計(jì)算時(shí)還需要額外計(jì)算每輛單車的投放成本，也就是（元），讓每天每輛共享單車的收入期望值都能夠達(dá)到10×0.4+6×0.6=7.6元，因此每天的總利潤經(jīng)計(jì)算為59360（元），對(duì)比之下投放1萬輛時(shí)每日的盈利效果更好，故選擇1萬輛的方案。

三、靈活的過程指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

（一）例題的提出

如圖1所示，共有3根針，并且有3個(gè)金屬片套在針1上，現(xiàn)需要將金屬片轉(zhuǎn)移到其他兩根上，保證三根針都有一個(gè)金屬片，但移動(dòng)金屬片需要遵守以下規(guī)則：1.每次只能支持移動(dòng)1個(gè)金屬片;2.最大的金屬片不能放在最小的金屬片上面。由此，請(qǐng)計(jì)算，若將n各金屬片從針1移動(dòng)到針3，需要幾個(gè)步驟？

（二）問題簡化

在面對(duì)該題時(shí)，很多學(xué)生都表現(xiàn)得摸不到頭緒，實(shí)際上這類邏輯推理題最難的部分便是理解原理，但理解其中的原理之后，后續(xù)的解題過程便變得非常簡單，所以學(xué)生的邏輯推理便成為了解題的關(guān)鍵。對(duì)此需要引導(dǎo)學(xué)生從已給條件中進(jìn)行分析，當(dāng)n=1時(shí)對(duì)應(yīng)什么問題、n=2時(shí)對(duì)應(yīng)什么問題、n=3時(shí)對(duì)應(yīng)什么問題……。先通過簡單的問題作為切入點(diǎn)嘗試著利用邏輯推理能力找出其中的規(guī)律和原理，再將原理“代入”到問題條件中是解答問題的主要方法，一開始很多學(xué)生都能夠積極參與討論，并且難度的不斷提高也激發(fā)了學(xué)生的探究欲，n越大，問題就越復(fù)雜。

（三）問題總結(jié)

之后教師便可以將簡單情形下的解題過程展示出來，并讓學(xué)生探究以下解決的過程和方法，找到解題的實(shí)際規(guī)律。對(duì)于n較小的情況來說，對(duì)應(yīng)的問題非常簡單，但n較大時(shí)則更加復(fù)雜，所以教師需要幫助學(xué)生歸納一下，在n的數(shù)值比較大時(shí)會(huì)遇到哪些問題阻礙著尋找答案，并嘗試著利用解決n為小數(shù)值時(shí)的方法代入到n為大數(shù)值的情形，看看能否化解問題，并且在小組之間討論解題的方法。

（四）抽象提升

讓學(xué)生根據(jù)n為不同數(shù)的不同情況的特點(diǎn)和方法，將解題的一般方案抽象出來，利用數(shù)學(xué)符號(hào)的方式進(jìn)行表達(dá)，更有助于情形的代入和演算，將需要操作的步驟次數(shù)設(shè)為f（n）次，由上至下的金屬片依此為k1、k2、k3、kn…，那么在n取不同值時(shí)f（n）的值分別如以下所示：

n=1時(shí)，f（1）=1;

n=2時(shí)，f（2）=3=22-1

n=3時(shí)，f（3）=2f（2）+1=2×3+1=7=23-1

n=4時(shí)，f（4）=2f（3）+1=2×7+1=15=24-1

……

由此可知“f（n）=2f（n-1）+1”便是結(jié)果，將n為較大數(shù)值的情況抽象為一般數(shù)學(xué)例題。

（五）論證

經(jīng)過抽象提升后，將得出的結(jié)果f（n）=2f（n-1）+1進(jìn)行邏輯論證，進(jìn)行變形處理，可以變換為“f（n）+1=2[f（n-1）+1]”，能夠得知f（n）+1為等比數(shù)列，同時(shí)首項(xiàng)為f（1）+1=2，那么利用等比數(shù)列理論可以得知f（n）=2n-1（n為正整數(shù)）。這一步驟對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有一定要求，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，根據(jù)先前對(duì)于等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行移項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，并按照上一步驟列舉的數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生分析，在n取不同數(shù)值時(shí)f（n）的值，之后進(jìn)行演算便可以得出正確答案。

結(jié)束語

新高考的改革對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說也帶來了深遠(yuǎn)的影響，對(duì)此高中數(shù)學(xué)教師需要在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)理念等方面順應(yīng)新高考改革的轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步探索素質(zhì)教育的落實(shí)路徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)也推動(dòng)學(xué)生的全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]王虹.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的探究[J].高考，2018（09）：161.

[2]毋曉迪.核心素養(yǎng)視角下的高考數(shù)學(xué)試題分析研究[D].廣西民族大學(xué)，2019.