蔡莉娜

摘 ?要：2020年全國各地區(qū)中考試卷對“圖形的變化”的考查整體上體現(xiàn)了突出重點、關注應用、注重能力，符合《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的理念與要求. 文章以“圖形的變化”的部分典型試題為例，重點圍繞對圖形本質、幾何直觀、數(shù)學應用和數(shù)學文化四個方面的關注，對相關試題的命題思路進行剖析.

關鍵詞：圖形的變化;命題分析;中考試題

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將“圖形與幾何”分成圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三大塊，其中“圖形的變化”主要包括圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移、圖形的相似和圖形的投影.“圖形的變化”是初中數(shù)學的重要內容之一. 由于其在考查學生空間觀念、幾何直觀、推理能力和抽象能力等方面有著不可替代的作用，因此在歷年中考中一直占有重要地位.

一、考查內容分析

從2020年全國各地區(qū)近百份中考數(shù)學試卷來看，在“圖形的變化”的命題中，不僅突出對基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查，還重視對能力要求的分層考查，這有利于檢測出不同能力層次的學生對知識的掌握、應用及思維發(fā)展情況. 多道試題以幾何情境、現(xiàn)實情境和數(shù)學傳統(tǒng)文化等為載體進行命制，凸顯了數(shù)學學科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了圖形的變化的考查目標和育人功能. 總體上看，2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷中“圖形的變化”試題的考查特點主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

一是突出重點. 借助基本圖形及其相互的關系，突出考查核心內容. 試卷從多角度考查了基礎知識、基本技能與基本思想方法，體現(xiàn)了《標準》中的“面向全體學生”;從多層次考查學生的空間觀念、推理能力、運算能力、應用能力等，尊重學生的個性差異，體現(xiàn)了《標準》中的“適應學生個性發(fā)展的需要”和“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”. 試題展現(xiàn)了義務教育階段的基礎性、普及性和發(fā)展性的數(shù)學教育特征.

二是關注應用. 通過設計不同情境的實際問題，彰顯數(shù)學的廣泛應用和工具性. 例如，多份試卷中出現(xiàn)了生活中的測量問題和線路最短長度的定位問題等試題，考查學生對已知幾何模型的理解和靈活調用相關的數(shù)學知識解決實際問題的能力，有著重要的現(xiàn)實意義，體現(xiàn)了《標準》中的“從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題”.

三是注重能力. 試題編制關注知識的交會，既有明確的考查指向，又蘊含著思維能力. 為了避免過多的模式化訓練對測試結果效度的影響，設計挑戰(zhàn)性問題，以增強試題的綜合性與思想性. 例如，多份試卷中出現(xiàn)了不能套用現(xiàn)成模式解決的探究活動，需要綜合運用三角函數(shù)、相似三角形、圖形運動變換等知識解決問題，促進學生對知識間相互聯(lián)系的思考，考查學生的推理能力、抽象能力、探究能力和應用能力等. 這類試題體現(xiàn)了數(shù)學學科獨特的育人功能，也體現(xiàn)了《標準》中的“培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力”，以及“關注學生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展”.

二、命題思路分析

1. 立足基礎，關注圖形本質

《標準》明確指出，要掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能.“圖形的變化”這部分內容概念、性質和定理較多，通常以三角形、四邊形等基本的直線型平面圖形為載體，以核心知識為紐帶，通過基本概念、基本性質、基本計算等突出對圖形本質屬性的考查.

（1）關注圖形變換中核心元素的變化規(guī)律.

例1 （江蘇·蘇州卷）如圖1，在[△ABC]中，[∠BAC=][108°]，將[△ABC]繞點[A]按逆時針方向旋轉得到[△ABC]. 若點[B]恰好落在邊[BC]上，且[AB=CB，]則[∠C]的度數(shù)為（ ? ?）.

（A）[18°] （B）[20°]

（C）[24°] （D）[28°]

【評析】此題以旋轉為主線，將旋轉、等腰三角形和三角形內外角的性質融合在一起. 在非標準圖形中，需要學生根據圖形的旋轉變換過程，明確其變換規(guī)律，從而辨析其中的對應關系，突出對圖形本質屬性的考查，關注通性、通法.

任何圖形經過軸對稱、旋轉和平移變換后，只是改變了圖形的位置，圖形的形狀和大小不會發(fā)生任何變化. 在不同的運動變換下，圖形具有各自不同的性質，其核心元素有著不同的變化規(guī)律. 通過對這三種基本變換試題的編制，既能實現(xiàn)對學生對不同變換性質掌握的評價，又能考查學生對基本圖形本質的理解. 類似試題還有貴州黔東南州卷第5題、天津卷第11題等.

（2）關注圖形的“對應關系”.

例2 （黑龍江·大興安嶺卷）圖2是一個幾何體的三視圖，依據圖中給出的數(shù)據，計算出這個幾何體的側面積是____________.

【評析】此題題干敘述簡潔、明了，通過圖形上標識的數(shù)據，避免了冗長的文字表述，便于學生理解題意. 由題中的三視圖可推斷出原幾何體為圓錐，體現(xiàn)了視圖在“視”的基礎上的對應特征，考查了學生對圖形觀察、識別、分析、判斷的基本能力，以及空間觀念，較好地體現(xiàn)了《標準》中對基本幾何體與三視圖之間關系的要求.

判斷三維（空間）的基本幾何體與二維（平面）幾何體的關系，它的解答往往依賴于學生的合情推理能力，由于推理過程不易于用數(shù)學語言表達出來，因此各地基本上采用選擇題或填空題的題型. 像這樣由視圖到立體圖形，或是由立體圖形到視圖是各地區(qū)中考數(shù)學試卷中對“圖形的投影”考查的常用方式. 類似試題還有北京卷第1題、新疆生產建設兵團卷第2題、湖南懷化卷第15題等.

例3 （浙江·紹興卷）如圖3，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2∶5，且三角板的一邊長為[8 cm，] 則投影三角板的對應邊長為（ ? ?）.

（A）[20 cm] （B）[10 cm]

（C）[8 cm] （D）[3.2 cm]

【評析】此題創(chuàng)設的情境比較自然、公平，以學生熟悉的三角板為背景進行命制，拉近了與學生的距離. 以位似圖形的設置方式，將該問題轉化為相似三角形中對應邊的比等于相似比，既考查了相似三角形的性質，又考查了學生對圖形本質屬性的把握，這樣的設計使得圖形具有了與幾何本質聯(lián)系的意義. 類似試題還有重慶B卷第6題、黑龍江哈爾濱卷第10題、遼寧營口卷第6題等.

2. 借助數(shù)學內在的關聯(lián)，關注幾何直觀

數(shù)學學科的嚴密性和系統(tǒng)性決定了數(shù)學知識間有著密切的聯(lián)系. 中考試題的命制特別重視從知識的相關性入手，強調知識間的邏輯關聯(lián)，注重綜合性，運用數(shù)學思考，選用合理方法解答相關的試題. 試題加強了對學生讀圖、操作、探究、推理等能力的要求，彰顯了從知識理解到知識運用的過程，全面考查了學生的各水平情況. 在各地中考數(shù)學試題中，重視考查學生的數(shù)學思想方法和綜合運用幾何知識解決問題的能力，強調圖形變換的應用，展現(xiàn)空間觀念，體現(xiàn)了對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要求.

（1）在知識的縱橫聯(lián)系中關注幾何直觀.

例4 （浙江·臺州卷）把一張寬為[1 cm]的長方形紙片[ABCD]折疊成如圖4所示的陰影圖案，頂點[A，D]互相重合，中間空白部分是以[E]為直角頂點，腰長為[2 cm]的等腰直角三角形，則紙片的長[AD]（單位：[cm）]為（ ? ?）.

（A）[7+32] （B）[7+42]

（C）[8+32] （D）[8+42]

【評析】此題以學生熟悉的折紙活動為背景進行命制，需要結合已知條件和翻折的性質進行深入分析，通過添加適當?shù)妮o助線構造特殊三角形或特殊四邊形解決問題. 根據此題的解答情況，可以推斷出學生對等腰直角三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、軸對稱圖形的性質等知識的整體掌握情況. 此題對學生的抽象概括能力提出了一定要求，對學生空間觀念的發(fā)展情況進行了有效考查.

類似試題還有湖南常德卷第15題、江西卷第12題、重慶A卷第11題、山東威海卷第16題等.

例5 （福建卷）如圖5，△ADE由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，且點B的對應點D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點P.

（1）求∠BDE的度數(shù);

（2）F是EC延長線上的點，且∠CDF = ∠DAC.

① 判斷DF和PF的數(shù)量關系，并證明;

② 求證：[EPPF=PCCF].

【評析】此題中各小題考查的重點有所不同，在考查學生幾何基礎知識的同時，把空間想象能力、邏輯推理能力較好地融入了其中. 設問由易到難、層層遞進，給不同基礎的學生提供了不同層次的思維平臺，對不同認知水平的學生分別進行了考查，有一定的區(qū)分度. 第（1）小題考查的是利用旋轉的基本性質進行簡單的幾何計算，考查了學生最基本、最通用的數(shù)學知識與技能. 第（2）小題第①問給學生提供了一個探究的平臺，利用外角性質，可以得到∠DPF = ∠PDF，由此判斷了DF和PF的數(shù)量關系，考查了學生觀察、想象、轉化等靈活運用知識的能力;第②問需要學生調用高度的推理能力解決問題，思維含量大，所要證明的比例線段在現(xiàn)有的圖形中很難直接獲得，因此需要添加輔助線解決問題，而不同的切入點會產生不同的添加輔助線的方式. 例如，可以過點P作PH∥ED交DF于點H（如圖6），由[EPPF=DHHF]和△HPF ?≌ △CDF完成證明，也可以過點P作PG∥DC交DE于點G（如圖7），由[EPPC=EGDG， EGGP=EDDC]和△DEF ∽ △CDF完成證明. 不同的解法、合理的坡度，都是為了尊重學生個性的差異，這樣的問題設計具有一定的推廣性.

類似試題還有湖北荊州卷第22題、重慶A卷第26題等.

例6 （安徽卷）如圖8，[△ABC]和[△DEF]都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊[BC，EF]在同一條直線[l]上，點[C，E]重合. 現(xiàn)將[△ABC]沿著直線[l]向右移動，直至點[B]與點[F]重合時停止移動. 在此過程中，設點[C]移動的距離為[x，] 兩個三角形重疊部分的面積為[y，] 則[y]隨[x]變化的函數(shù)圖象大致為（ ? ?）.

【評析】此題以學生熟悉的等邊三角形為背景進行命制. 在圖形平移的過程中，重疊部分的面積與移動的距離這兩個變量按照某種規(guī)律在進行變化，從而出現(xiàn)了函數(shù)關系. 在三角形平移的過程中，重疊部分面積先增加后減少，因此先要找到分段點，然后分段進行計算. 此題考查了學生運用平移、等邊三角形和函數(shù)的相關知識解決問題的能力，較好地體現(xiàn)了數(shù)學知識間的聯(lián)系與綜合. 此題以選擇題的形式進行命制較為合理，將學生對“重疊部分面積”表示可能性的估計作為選項，有效避免了各選項對學生解答試題的提示.

類似試題還有湖南湘西州卷第17題、寧夏卷第26題等，其都是在圖形的運動變化的過程中，借助基本圖形的性質和平移變換的性質分析重疊部分面積的變化情況.

例7 （內蒙古·通遼卷）如圖9（1），在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，點E是邊AB的中點，點P是邊BC上一動點，設PC = x，PA + PE = y. 圖9（2）是y關于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點. 那么a + b的值為____________ .

【評析】此題需要根據已知條件將兩張圖結合在一起思考，文字、圖象需要在問題的分析過程中互相轉化，考查學生從文字和圖象中獲取信息的能力. 根據圖9（2）呈現(xiàn)出的點P在運動過程中y與x之間的函數(shù)圖象，推斷出函數(shù)值[33]表示的是當點P與點B重合時PA + PE的值，由此可求得[AB=23.] 在此基礎上將所要求的a + b的值轉化為求PA + PE的最小值問題. 學生在解決這個問題的過程中，需要經歷觀察、思考、推理、操作等一系列數(shù)學活動，感悟數(shù)形結合、轉化等數(shù)學思想.

像這樣在知識的交會處設計問題的還有湖北荊門卷第12題等.

（2）在方法的聯(lián)系與融合中關注幾何直觀.

例8 （河南卷）將正方形[ABCD]的邊[AB]繞點[A]逆時針旋轉至[AB′，] 記旋轉角為[α]. 連接[BB′]，過點[D]作[DE]垂直于直線[BB′，] 垂足為點[E，] 連接[DB′，CE.]

（1）如圖10（1），當[α=60°]時，[△DEB′]的形狀為____________，連接[BD，] 可求出[BB′CE]的值為____________;

（2）當[0°<α<360°]且[α≠90°]時，

① （1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，試僅就圖10（2）的情形進行證明;如果不成立，試說明理由;

② 當以點[B′，E，C，D]為頂點的四邊形是平行四邊形時，試直接寫出[BEB′E]的值.

【評析】此題是多種題型的復合，采用了“填空 + 證明 + 解答”的題型設計，三種題型選用恰當，通過線段AB旋轉角度的不同構造問題情境. 第（1）小題是在旋轉了特殊的角度后得到的結論，難度不大，這個問題的解答為第（2）小題提供了一定的支持，相當于為學生搭設了“腳手架”. 由于第（1）小題論述的過程與更具有一般特征的第（2）小題第①問很類似，因此第（1）小題以填空的形式出現(xiàn)，只要求寫出結論，而后者則需要寫出完整的解答過程，以展示學生的思維過程. 這樣的設計既能考查學生解決問題的策略，又能考查學生對知識、方法的遷移能力和探究能力. 在此題的三道小題中，[BB′CE=2]始終成立，這一“不變性”源自“正方形[ABCD，AB=AB′，DE]垂直于直線[BB′]”這三個條件，因此總有[△B′DB]∽[△EDC，] 反映了有公共頂點的兩個相似三角形的性質. 在解決最后一道小題時，由于以點[B′，E，C，D]為頂點的四邊形是平行四邊形沒有現(xiàn)成的圖形，學生需要在嘗試操作、檢驗和探究的過程中，猜想、推斷點[B′]與E的位置，結合前面的“不變性”，再對問題進行整體性的思考與理解. 此題體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過程，滲透了類比、化歸、分類討論等數(shù)學思想，體現(xiàn)了高階思維.

類似試題還有黑龍江鶴崗卷第26題、浙江嘉興卷第23題等.

例9 （江西卷）某數(shù)學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖11中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關系問題”進行了以下探究.

類比探究：

（1）如圖12，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1 = ∠2 = ∠3，則面積S1，S2，S3之間的關系式為____________;

推廣驗證：

（2）如圖13，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，試證明你的結論;若不成立，試說明理由;

拓展應用：

（3）如圖14，在五邊形ABCDE中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB =[23，] DE = 2，點P在AE上，∠ABP = 30°，PE[=2，] 求五邊形ABCDE的面積.

【評析】此題體現(xiàn)了探究問題的整體過程. 首先，在原有方法基礎上進行類比;其次，在類比的基礎上做進一步的推廣;最后，運用推廣的方法與結論探究在新背景下問題解決的策略與方法. 綜觀整個過程，要求依序增加，需要學生抓住所用方法的本質，通過觀察、歸納、類比、拓展等數(shù)學思維活動，綜合運用勾股定理、相似三角形等知識進行探究、推理、計算，蘊含著用數(shù)學模式化功能發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和方法的策略，有利于考查學生的數(shù)學綜合素養(yǎng). 此題設計巧妙，有繼承也有創(chuàng)新，體現(xiàn)了回歸教材和考查不同能力層次學生的特點，有較好的區(qū)分度. 在第（1）小題和第（2）小題的圖形中，學生容易發(fā)現(xiàn)△ADB ∽ △BFC ∽ △AEC，從而利用相似三角形的性質與勾股定理得到S1 + S2 = S3;而在第（3）小題的求解過程中，需要觀察條件與圖形特征，從剛剛獲得的新結論、新方法中得到啟示，添加相應的輔助線，轉化成第（2）小題的形式. 學生解決此題，經歷了“探究—歸納—應用”的過程，這個過程中既有合情推理，又有演繹推理，具有較高的思維含量.

以這樣的方式呈現(xiàn)試題，促進了學生對數(shù)學問題進行深度和廣度的思考，類似試題還有貴州安順卷第25題、廣東深圳卷第22題、山東煙臺卷第24題、江蘇淮安卷第26題等.

3. 借助現(xiàn)實情境，關注數(shù)學應用

在試題載體的選擇上，2020年全國各地中考數(shù)學試題比較關注數(shù)學與社會、生活、經濟、科技等方面的關聯(lián)，以恰當?shù)默F(xiàn)實情境為背景，運用數(shù)學思考，引導學生應用數(shù)學的意識，在一定程度上彰顯了數(shù)學的育人價值，體現(xiàn)了《標準》中所描述的“認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決”.

（1）融合生活特色的數(shù)學應用.

例10 （浙江·金華卷）圖15（1）是一個閉合時的夾子，圖15（2）是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為[AC，BD]（點[A]與點[B]重合），點[O]是夾子轉軸位置，[OE⊥AC]于點[E，] [OF⊥BD]于點[F，] [OE=OF=1 cm，AC=][BD=6 cm，] [CE=DF，] [CE∶AE=2∶3.] 按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點[O]轉動.

（1）當[E，F(xiàn)]兩點的距離最大時，以點[A，B，C，][D]為頂點的四邊形的周長是____________.

（2）當夾子的開口最大（即點[C]與點[D]重合）時，[A，B]兩點的距離為____________.

【評析】此題以生活中的資源為素材，關注數(shù)學與生活的聯(lián)系，增加了試題的趣味性與現(xiàn)實意義. 如何將這個實際問題轉化為數(shù)學問題，需要學生具備較強的抽象能力和知識遷移能力. 當點[E，F(xiàn)]的距離最大時，[E，O，][F]三點共線，此時四邊形[ABCD]是矩形，求出矩形的長和寬即可解決問題. 當夾子的開口最大時，點C與點D重合，EF∥AB，根據相似形中的基本事實“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”，得到[EFAB=CECB=25，] 由此可解決該問題. 在問題解決的過程中，需要學生根據試題要求確定旋轉過程中的某一狀態(tài)，靈活運用所學知識分析問題. 此題將觀察、猜想、推理、計算融為一體，體現(xiàn)了“問題情境—數(shù)學模型—合理推斷”的數(shù)學應用模式.

像這樣融合生活特色的試題出現(xiàn)在了多地的中考數(shù)學試卷中. 例如，浙江湖州卷第19題計算“熨燙臺支撐桿的長度”，浙江紹興卷第21題計算“遮陽棚的棚寬”，湖南常德卷第22題計算“自動卸貨汽車卸貨時的支撐頂桿”，江蘇鹽城卷第26題計算“木門圖案周長”，江西卷第20題計算“手機平板支架中支撐板轉動的角度”，浙江寧波卷第19題計算“三角車位鎖底盒長”等.

（2）融合地域特色的數(shù)學應用.

例11 （湖南·婁底卷）如圖16的實景圖，由華菱漣鋼集團捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動工，2020年2月28日竣工，彰顯了國企的擔當精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”. 該橋的引橋兩端各由2個斜面和一個水平面構成，如圖16的示意圖所示：引橋一側的橋墩頂端點E距地面5 m，從點E處測得點D俯角為30°，斜面ED長為4 m，水平面DC長為2 m，斜面BC的坡度為1∶4，求處于同一水平面上引橋底部AB的長.（結果精確到0.1 m，[2≈]1.41，[3≈]1.73.）

【評析】此題以當?shù)氐孽r活素材——人行天橋引橋底部計算的問題為情境，具有一定的地方特色，當?shù)貙W生讀題時具有親切感，能夠促進學生在日常的學習生活中關注家鄉(xiāng)的發(fā)展，進而引發(fā)家國情懷和責任擔當?shù)木? 學生需要利用問題中所提供的信息，從實際問題抽象出幾何模型，根據俯角、坡度的意義，正確作出輔助線構造直角三角形和矩形，從而運用三角函數(shù)的知識與矩形的性質解決問題. 此題考查了空間觀念和分析圖形、問題轉化的能力.

全國各地中考數(shù)學試卷中出現(xiàn)融合地方特色的數(shù)學題還有很多. 例如，河南卷第18題“測量登封市境內元代觀星臺的高度”，四川成都卷第18題“測量當?shù)仉娨曀母叨取?，湖北黃岡卷第22題計算“遺愛湖公園臨摹亭與遺愛亭之間的距離”，湖南岳陽卷第22題計算“市中心城區(qū)污水管道的長度”，湖南張家界卷第21題計算“航拍無人機拍攝南天一柱美景時的安全距離”等. 這些試題情境創(chuàng)設新穎，再加上素材熟悉，可以激發(fā)學生解答問題的興趣.

（3）融合時代特色的數(shù)學應用.

例12 （貴州·遵義卷）某校為檢測師生體溫，在校門安裝了某型號測溫門. 如圖17為該測溫門截面示意圖，已知測溫門[AD]的頂部[A]處距地面高為[2.2 m，]為了解自己的有效測溫區(qū)間，身高[1.6 m]的小聰做了如下實驗：當他在地面[N]處時測溫門開始顯示額頭溫度，此時在額頭[B]處測得[A]的仰角為[18°;]在地面[M]處時，測溫門停止顯示額頭溫度，此時在額頭[C]處測得[A]的仰角為[60°]. 求小聰在地面的有效測溫區(qū)間[MN]的長度.（額頭到地面的距離以身高計，計算精確到[0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32.）]

【評析】此題以疫情期間需要測量體溫的真實情境為背景進行命制，引導學生關注社會熱點，培養(yǎng)學生的社會責任感. 在問題解決的過程中，需要學生借助仰角構造直角三角形并解直角三角形，很好地實現(xiàn)了獲取和解讀信息、調動和運用知識的關鍵學科素養(yǎng).

類似地，湖南郴州卷第21題將“為我國載人空間站研制的長征五號運載火箭”入題，貴州安順卷第21題對脫貧攻堅工作中建造的房屋予以了關注. 這些試題都較好地挖掘了問題情境的教育功能，體現(xiàn)了時代性.

4. 滲透數(shù)學史，關注數(shù)學文化

數(shù)學是人類文化的重要組成部分，它是推動人類文明前進的重要力量. 在部分地區(qū)的中考數(shù)學試卷中，恰如其分地融入了數(shù)學史，關注了數(shù)學與思維、美學、社會等方面的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的人文精神.

例13 （湖南·衡陽卷）下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ?）.

【評析】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念. 軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可完全重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180°后圖形完全重合. 此題以數(shù)學史上幾個著名的圖形為背景，不僅呈現(xiàn)了數(shù)學抽象、簡潔的結構美，更體現(xiàn)了數(shù)學是用人類高級的語言形式傳播思想的文化特征，激發(fā)了學生對數(shù)學的熱愛.

類似地，江蘇揚州卷第14題選取的背景是古代運用于建筑、器物、繪畫、標識等方面的作品，浙江紹興卷第3題選取的是七巧板拼搭出來的圖案，這些優(yōu)美的圖案增加了試卷的可讀性和親和性.

例14 （上海卷）《九章算術》中記載了一種測量井深的方法. 如圖18所示，在井口[B]處立一根垂直于井口的木桿[BD]，從木桿的頂端[D]觀察井水水岸[C]，視線[DC]與井口的直徑[AB]交于點[E，] 如果測得[AB=1.6]米，[BD=1]米，[BE=0.2]米，那么井深[AC]為____________.

【評析】此題通過[ACBD=AEBE]便可求得[AC]的長，既考查了學生對相似三角形的應用能力，又能讓學生受到古代數(shù)學文化的熏陶.《九章算術》是我國古代經典的數(shù)學著作，包含有很多精彩的案例，蘊涵了濃厚的數(shù)學思想. 中國古代的數(shù)學在很多領域居于世界領先地位，將中國古代數(shù)學素材融入到中考試題中，不僅考查了學生的學科知識，還體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值，培養(yǎng)了學生的民族認同感.

類似地，四川瀘州卷第11題以“古希臘數(shù)學家歐多克索斯提出的分線段‘中末比’”為背景，自然而然地在比例線段的相關知識中融入了數(shù)學史. 這類試題在潛移默化中滲透了學科德育，對初中數(shù)學教學有一定的導向作用.

三、教學啟示

1. 聚焦核心知識

“圖形的變化”的核心知識在初中階段的作用是毋庸置疑的，教學中要關注學生對數(shù)學概念、性質、定理的深刻理解. 以核心知識為中心，加強與相關知識的多維聯(lián)系，注重引導學生對所學核心知識與方法的理解和感悟，同時通過建立知識之間的聯(lián)系，使學生能夠連點成線地將核心知識相互融合，理解知識內部的關系，幫助學生建立良好的認知結構.

2. 夯實數(shù)學基礎

在教學中，教師需要理清學生在學習“圖形的變化”這部分內容和應用這部分知識解決問題的過程中必須掌握的基礎知識和基本技能，所必需獲得的基本思想和基本活動經驗. 從學力結構的“冰山模型”看，對數(shù)學基礎知識和基本技能的掌握是顯性學力，基本思想和基本活動經驗的獲得則是隱性學力. 為此，教師要研究《標準》和初中數(shù)學教材，以此明確教學目標與內容，處理好顯性學力與隱性學力之間的關系. 同時，要研究練習的有效性，明確練習的目的，注重通性、通法，淡化技巧. 根據學情有針對性地選擇和組織習題，讓不同層次的學生“練”中有“思”、“思”中有“得”，尊重不同層次學生的認知水平差異.

3. 提升思維能力

教師要研究課堂教學中對學生思維能力的培養(yǎng)，幫助學生認識并掌握數(shù)學思考的基本方法，如歸納、類比、轉化、猜想與論證等，突出對邏輯推理、空間觀念等數(shù)學素養(yǎng)的掌握;指導學生進行數(shù)學閱讀、數(shù)學交流與表達，會根據已有事實進行數(shù)學推測和解釋，養(yǎng)成“推理有據”的習慣;指導學生反思自己的思考過程，提煉、概括思維過程與思想方法. 而問題是思維培養(yǎng)的利器，學生學習“圖形的變化”的過程實際上就是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的思維過程. 在日常教學中，教師要研究數(shù)學課堂中關鍵問題的設計，讓學生有實質性的數(shù)學思考，使學生的思維處于積極狀態(tài)，以提升學生的思維能力.

四、模擬試題

1. 如圖19，在△ABC與△ADE中，∠BAC = ∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（ ? ?）.

（A）[ACAD=ABAE] （B）[ACAD=BCDE]

（C）[ACAD=ABDE] （D）[ACAD=BCAE]

參考答案：C.

2. 如圖20，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，其中點B，C分別與點D，E對應，如果B，D，C三點恰好在同一直線上，那么下列結論錯誤的是（ ? ?）.

（A）∠ACB = ∠AED （B）∠BAD = ∠CAE

（C）∠ADE = ∠ACE （D）∠DAC = ∠CDE

參考答案：D.

3. 如圖21，小麗晚上站在路燈AB下的C處時，測得影子CD的長為1米;繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米. 已知小麗的身高是1.5米，那么路燈AB的高度是（ ? ?）.

（A）7.5米 ? （B）6米

（C）5米 （D）3米

參考答案：B.

4. 如圖22，從圖形甲到圖形乙的運動過程可以是（ ? ?）.

（A）先翻折，再向右平移4格;

（B）先逆時針旋轉90°，再向右平移4格;

（C）先逆時針旋轉90°，再向右平移1格;

（D）先順時針旋轉90°，再向右平移4格.

參考答案：A.

5. 如圖23，在長方形ABCD中，AB = 8 cm，BC = 10 cm，現(xiàn)將長方形ABCD向右平移[x]cm，再向下平移[x+1]cm后到長方形[A′B′C′D′]的位置，長方形ABCD與長方形[A′B′C′D′]重疊部分的面積是S，那么S與[x]的函數(shù)關系式是____________ .

參考答案：[S=x2-17x+70].

6 平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點之間的線段長度是兩底的比例中項時，我們稱這條線段是梯形的“比例中線”. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 4，BC = 9，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中線”，那么[DFFC]的值為 ____________?.

參考答案：[23].

7. 如圖24，有一菱形紙片ABCD，∠A = 60°，將該菱形紙片折疊，使點A恰好與CD的中點E重合，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，連接EF，那么cos ∠EFB的值為____________ .

參考答案：[17].

8. 在正方形[ABCD]中，點O是正方形ABCD的中心，[E]是對角線[AC]上的動點（點[E]與點[A，C]不重合），線段DE繞點E逆時針旋轉，使得點D的對應點F落在射線BA上，射線DF與射線CA交于點G.

（1）如圖25，當點E在線段CO上時，

① 寫出EC與BF的數(shù)量關系，并說明理由;

② 求證：[AB · DG=EF · CG.]

（2）當AB = 2AF時，求∠DGE的正切值.

參考答案：（1）①[BF=2EC];② 略.

（2）[13]或3.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]章建躍. 章建躍數(shù)學教育隨想錄[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.