孫鋒　周樂

摘 ?要：圖形與坐標的內容，本質上是利用坐標的代數(shù)與幾何屬性研究圖形的性質及其運動變化規(guī)律. 通過對2020年全國各地區(qū)118套中考試卷中關于“圖形與坐標”內容的命題研究，凸顯了這一本質內容的體現(xiàn). 從整體來看，試題注重對學生數(shù)學素養(yǎng)的考查，導向以數(shù)學思想方法為“內核”的課堂教學.

關鍵詞：數(shù)學素養(yǎng);思想方法;導向教學

在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中，“圖形與幾何”在第三學段的內容分為圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三大板塊.“圖形與坐標”的內容主要包括坐標與圖形位置、坐標與圖形運動等內容. 其中，“坐標與圖形的位置”是對小學“圖形與位置”的發(fā)展和進一步深化. 主要是通過讓學生體會確定位置的方法，結合平面直角坐標系進一步建立起點的位置和坐標之間的對應關系，這也是學習函數(shù)的重要基礎. 而“坐標與圖形的運動”則是將圖形的變換內容與坐標知識結合起來，學習這部分內容不僅有助于掌握函數(shù)圖象的性質，也為后續(xù)學習向量、變換的矩陣等內容提供了學習前提. 因此，圖形與坐標作為認識圖形的一種重要的途徑和手段，對學生數(shù)學學習的發(fā)展有著重要的作用. 現(xiàn)結合《標準》要求，對2020年全國各地區(qū)中考試卷中“圖形與坐標”類試題的考查內容、命題思路進行定性和定量分析，并提供模擬試題.

一、考查內容分析

通過抽取2020年全國各地區(qū)118套中考試卷進行統(tǒng)計、分析，發(fā)現(xiàn)與“圖形與坐標”有關的試題的設置與《標準》的要求基本一致，試題共325道.

題型及題量方面，統(tǒng)計的325道題中，選擇題有74道，填空題有73道，解答題有178道. 其中，主觀題居多，且大部分試題都融合了其他板塊的知識. 每套試卷中設置3道左右試題，但也有33套試卷中設置了4 ～ 5道試題，如黑龍江伊春卷、四川內江卷、江蘇泰州卷、江蘇常州卷等.

分值方面，在統(tǒng)計的所有試題中，2 ～ 4分值的有135道，5 ～ 7分值的有28道，8 ～ 10分值的有89道，11分及以上的有68道. 容易題、中等題、較難題都有涉及，其中很多試卷是將“圖形與坐標”類試題作為壓軸題.

內容方面，單一考查“坐標與圖形位置”的試題有23道，多以選擇題、填空題為主. 單一考查“坐標與圖形變換”的試題有61道，其中，選擇題16道，填空題22道，解答題23道，大部分解答題分值在8分以下，難度不大. 除了以上84道試題外，其余多是綜合性較強的試題，有232道試題將點的坐標與函數(shù)相結合進行考查，93道試題中涉及了圖形面積問題，83道試題中涉及了圖形位置或特征的判斷，51道試題中涉及了最值，7道試題中有新定義，4道試題是探究性問題. 從以上分析可以發(fā)現(xiàn)，對于這樣綜合性較強的試題，常常會融合函數(shù)、三角形、平行四邊形、矩形、圓等知識，試題的設計主要涉及解析式、面積、最值、圖形特殊形狀或特殊位置等.

坐標作為圖形的研究工具，搭建起了數(shù)與形的橋梁，在幾何圖形和函數(shù)研究中有著重要的作用. 這部分內容的試題中蘊涵著豐富的數(shù)學思想，如數(shù)形結合思想、轉化思想、變中有不變思想等，這有助于培養(yǎng)學生的抽象能力、推理能力、幾何直觀能力、模型思想、空間觀念等素養(yǎng).

二、命題思路分析

根據(jù)命題指導思想，中考數(shù)學命題應該重視對“四基”“四能”的均衡考查.2020年全國各地區(qū)的中考數(shù)學試題緊扣《標準》要求，關注學生對基礎知識、基本技能和主要數(shù)學思想方法的考查，試卷在保持相對穩(wěn)定的基礎上進行了適度創(chuàng)新. 命題者在設計題目時，不僅選擇將教材中的部分題目進行改編再創(chuàng)造，也將部分幾何和代數(shù)問題有機結合，突出轉化、分類討論、數(shù)形結合、歸納、變與不變、方程等數(shù)學思想方法的有效運用，較好地突出了試卷的選拔功能，增強了試卷的效度、信度和區(qū)分度. 以下結合典型例題進行分析.

1. 回歸教材，夯實基礎知識和基本技能

命題者充分尊重《標準》要求，嘗試突出教材在教學中的引領作用. 試卷中有的試題源于教材中的例題或習題，再通過適度改編整合而成.

（1）關于坐標與圖形位置.

例1 （江蘇·泰州卷）以水平數(shù)軸的原點O為圓心，過正半軸[Ox]上的每一刻度點畫同心圓，將[Ox]逆時針依次旋轉30°，60°，90°，[…]，330°得到11條射線，構成如圖1所示的“圓”坐標系，點A，B的坐標分別表示為[A5，0°，] [B4，300°]，則點C的坐標表示為________.

此題是對北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“北師大版教材”）八年級上冊第54頁例題“航?！眴栴}的改編，教材中此題主要研究“方位角 + 距離”定位法. 命題者在此基礎上設計了新的背景，將“方位角 + 距離”定位法進行適當變化，類比了平面直角坐標系中的點的表示方法，命制了在極坐標系中求點的坐標問題. 很顯然，正確理解坐標的意義是解此題的關鍵. 對于極坐標系，即使學生之前沒有接觸過，卻知道平面上確定一個點的位置需要兩個條件. 因此，仍然可以通過圖形與坐標的本質，即“點與數(shù)的對應”進行解決. 命題者的目的很明確，主要考查學生在遇到新問題時解決問題的能力，著重考查了對知識本質的認識能力和方法的遷移能力. 而《標準》把平面直角坐標系的有關內容安排在“圖形與幾何”的課程內容里，就是為了更好地體現(xiàn)數(shù)與形之間的這種緊密聯(lián)系.

（2）關于坐標與圖形運動.

例2 （甘肅·白銀卷）如圖2，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點A，B的坐標分別為[A3， 3]，[B4，0]. 把△OAB沿[x]軸向右平移得到△CDE，如果點D的坐標為[D6， 3]，則點E的坐標為________.

此題是對北師大版教材八年級下冊第74頁習題3.3第3題的改編. 試題主要將教材中的五邊形改為了三角形，仍然考查了平移變換中“對應頂點的坐標之間的關系”，屬于基礎題型. 類似地，山東煙臺卷第17題改編自魯教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第94頁第2題，考查了坐標中旋轉變換的性質.

除了例2這樣多以選擇題或填空題設計的形式外，黑龍江伊春卷、黑龍江七臺河卷、湖北武漢卷、湖北孝感卷均以作圖題的形式考查坐標與圖形變換這部分內容，要求在方格紙中畫簡單的幾何圖形，并將這些基本圖形進行平移、旋轉等變換. 雖然考查形式不同，但是知識點和思想方法都有較大的一致性.

2. 聚焦思維，注重數(shù)學思想方法的運用

數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，也是培養(yǎng)學生思維能力的導航燈. 許多地區(qū)的中考試題非常重視對數(shù)學思想方法的考查.

（1）坐標與圖形性質相聯(lián)系——轉化思想.

圖形的性質是對圖形中各種元素之間的關系，以及圖形之間關系的認識. 一方面，在平面直角坐標系中研究圖形的性質，由形到數(shù)，可以將形的性質進行量化，從而為以數(shù)解形提供環(huán)境;另一方面，將一些特殊圖形的性質和平面直角坐標系中固有的條件，如直角性質、對稱性進行融合，可以給整個圖形增添元素，使圖形背景豐富起來.

例3 （江蘇·南京卷）如圖3，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，[⊙P]與[x]軸、[y]軸都相切，且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D. 若[⊙P]的半徑為5，點A的坐標是[A0，8]，則點D的坐標是（ ? ?）.

（A）[9，2] （B）[9，3]

（C）[10，2] （D）[10，3]

此題背景圖形的形成自然、巧妙，又為學生所熟悉，既有顯性的圓、矩形，也有隱形的正方形、三角形等圖形. 此題可以根據(jù)點A的坐標和半徑長，求出圓心P到弦AC的距離，借助半徑這一輔助線，求出弦CD的長及圓心P到弦CD的距離，進一步求出DB的長. 接著，可以借助相切這個條件，連接圓心和切點，將隱形的正方形顯現(xiàn)，從而求出OB的長，這樣點D的坐標便浮出水面. 此題從定性分析到定量刻畫，由形到數(shù)，全面考查了學生對基本圖形的識別、基本性質的掌握和基本方法的運用，全面考查了學生的邏輯推理能力和幾何直觀、空間觀念等素養(yǎng).

類似地，黑龍江牡丹江卷第18題，需結合含60°角的菱形的性質解題;江蘇常州卷第16題，需結合含120°角的平行四邊形的性質解題;江蘇連云港卷第11題、甘肅天水卷第17題均需結合正方形的性質解題;等等. 在這里，圖形的性質起到了建立數(shù)量之間關系的必不可少的橋梁和紐帶作用，借助圖形的性質由形到數(shù)，突出轉化，受到眾多命題者的青睞.

（2）坐標與圖形變化規(guī)律相聯(lián)系——歸納思想.

研究圖形變化時幾何圖形的不變性是幾何學習的重要內容，特別是當圖形有規(guī)律地發(fā)生變化時，其對應點的坐標也會有規(guī)律地發(fā)生變化. 這類問題不僅考查了學生的探究能力，也很好地揭示了點與數(shù)的本質特征.

例4 （湖北·恩施州卷）如圖4，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為：[A-2，0，] [B1，2，] [C1，-2].已知[N-1，0]，作點N關于點A的對稱點N1，點N1關于點B的對稱點N2，點N2關于點C的對稱點N3，點N3關于點A的對稱點N4，點N4關于點B的對稱點N5，…，依此類推，則點N2 020的坐標為________ .

此題把一個三角形放在平面直角坐標系中，給出三個頂點的坐標，從而確定了這個三角形的位置和大小，然后通過連續(xù)的對稱變換出現(xiàn)一系列對稱點N1，N2，N3，N4，…，并求點N2 020的坐標. 很顯然，求點N2 020的坐標需要通過分析系列點的規(guī)律. 一方面，借助圖形分析，能確定點位置的循環(huán)周期是每6個點循環(huán)一次;另一方面，通過計算出點N6的坐標為[N6-1，0]，發(fā)現(xiàn)此時剛好回到最開始的點N處，也能得到變化規(guī)律. 因此點N2 020的坐標與點N4的坐標相同，其坐標為[N4-1，8].此類問題雖是規(guī)律探索類問題，但其本質仍是數(shù)與形在變化中的不變性.

類似地，湖南衡陽卷第18題也考查了具有循環(huán)周期的規(guī)律型問題. 除了具有循環(huán)規(guī)律型問題外，還?？疾椴痪哂醒h(huán)規(guī)律型問題，而是通過運用不完全歸納法解決的規(guī)律探究型問題.

例5 （四川·內江卷）如圖5，在平面直角坐標系中，點[A-2，0，] 直線[l]：[y=33x+33]與[x]軸交于點B，以AB為邊作等邊三角形ABA1，過點A1作[A1B1]∥[Ox]，交直線[l]于點[B1]，以[A1B1]為邊作等邊三角形[A1B1A2]，過點[A2]作[A2B2]∥Ox，交直線[l]于點[B2]，以[A2B2]為邊作等邊三角形[A2B2A3]，依此類推，則點A2 020的縱坐標是________ .

此題將等邊三角形置于平面直角坐標系中，并結合一次函數(shù)考查點變換后的點的坐標規(guī)律. 此題需要學生通過一次函數(shù)的性質先確定點B的坐標，再借助等邊三角形的相關性質確定點A1的坐標，進而繼續(xù)確定點B1，A2，B2，……的坐標. 然后，需要運用不完全歸納法先求得點An的坐標. 此題融合了一次函數(shù)和圖形的性質，綜合考查了學生分析問題、解決問題的能力，滲透了數(shù)形結合、從特殊到一般、變與不變的數(shù)學思想.

類似地，黑龍江黑河卷第17題、黑龍江七臺河卷第20題、湖北鄂州卷第10題、湖南懷化卷第16題等也需要運用類似方法進行解決.

在中考試卷中，此類坐標與圖形變化規(guī)律相聯(lián)系的題目?？汲Ｐ拢恢钡玫矫}者的青睞，考查形式主要是選擇題和填空題，大多數(shù)題目都出現(xiàn)在了對應題型的壓軸位置，全面考查學生分析問題、解決問題的能力，滲透歸納思想.

（3）坐標與動態(tài)問題相聯(lián)系——數(shù)形結合思想.

中考命題的設計不僅要以核心數(shù)學知識為基礎，還要重點考查學生的數(shù)學思想的運用和實際解決問題的能力. 因此，許多省市的中考試卷命題者開始重視對數(shù)學知識的動態(tài)隱性問題的考查.

例6 （江蘇·連云港卷）在平面直角坐標系xOy中，把與[x]軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”. 如圖6，拋物線[L1：y=12x2-32x-2]的頂點為D，交x軸于點A，B（點A在點B左側），交y軸于點C. 拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P.

（1）若拋物線L2經(jīng)過點[2，-12]，求L2對應的函數(shù)表達式;

（2）當BP - CP的值最大時，求點[P]的坐標;

（3）設點Q是拋物線L1上的一個動點，且位于其對稱軸的右側.若[△DPQ]與[△ABC]相似，求其“共根拋物線”L2的頂點P的坐標.

此題屬于函數(shù)背景的幾何綜合題，需要借助函數(shù)為幾何計算與推理提供關鍵點的位置和運算的依據(jù). 第（1）小題需要先從已知條件中求出點A，B的坐標，再結合給出的第三點的坐標求出L2對應的函數(shù)表達式;第（2）小題則需要抓住“共根拋物線”中與[x]軸交點這個結論進行推理，從而得出共對稱軸這個結論，再通過拋物線L1的對稱軸得到點P的運動路徑為一條定直線，從而轉化為幾何問題中典型的線段差最大問題進行解決. 此問題中條件隱藏較深，需要學生具有較強的分析問題的能力和邏輯推理能力，解決問題過程中很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想和轉化思想. 而第（3）小題進一步給出條件“拋物線L1上的動點Q”，考查相似三角形的存在性問題，解決問題過程中需要先得到“△ABC是直角三角形”這個隱含條件，再運用相似的性質進行解決. 需要注意的是，通過解方程求出的值，需要結合圖形進行取舍. 此題將直角三角形、定直線等條件隱藏在了函數(shù)解析式中，與函數(shù)知識結合起來，將形隱于數(shù)，在一定程度上將設置問題的角度多樣化.

類似地，湖北鄂州卷第24題也考查了中點問題和相似三角形的存在性問題;四川瀘州卷第25題考查了等腰直角三角形的存在性問題;重慶A卷第25題考查了菱形的存在性問題;等等. 不難發(fā)現(xiàn)，動態(tài)問題中常常會研究滿足某些特定條件或特殊位置的情況，而這樣的特殊位置往往不止一個，常常需要分類討論. 在問題解決時，可以通過設出坐標，繼而列出方程，通過坐標計算來量化這些特殊的位置，也需要通過分析得到的代數(shù)結果進一步解釋圖形位置，然后再對分類結果進行取舍. 這種將坐標作為橋梁的綜合型動態(tài)問題，將“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微”展現(xiàn)得淋漓盡致. 數(shù)與形之間的這種相互轉化，能幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣，對深入學習數(shù)學具有重要的意義.

三、復習建議

通過對2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷中“圖形與坐標”試題的分析，現(xiàn)對2021年的中考復習備考提出如下建議.

1. 把握內容本質，理解《標準》要求

圖形與坐標的內容，本質上是利用坐標的代數(shù)與幾何屬性研究圖形本身的性質或其運動變化后的規(guī)律，由此，深刻理解圖形本身的性質與坐標的“數(shù)”與“形”是學習本內容的關鍵. 從《標準》的要求來看，主要用坐標對基本圖形的坐標進行表示，但是在圖形的變化中，需要融合學科內外知識，對學生的幾何直觀、運算能力、推理能力都有一定的要求.

2. 注重情境分析，挖掘內在聯(lián)系

問題情境的設置是考查學生數(shù)學素養(yǎng)水平的重要手段，生活情境、數(shù)學情境、科學情境是三種不同的考查方式. 從近幾年考查的問題情境設置來看，以生活或科學情境設置的題量逐年增加. 由此，要強化對不同情境與數(shù)學問題本身的關聯(lián)研究，特別是對圖形與坐標內容本質的理解. 例如，解決例1的關鍵在于，學生是否理解到，在平面內圖形的位置確定需要兩個特定的要素，且這兩素間要具有量和形的關聯(lián).

3. 凸顯知識關聯(lián)，強化數(shù)學思想方法

初中階段研究了一系列基本平面圖形，而這些圖形與其他相關內容結合后呈現(xiàn)了較多交會知識內容，如多邊形與函數(shù)的結合，圖形變化后與新圖形的結合等. 在中考復習中，需要關注知識間的關聯(lián). 而對數(shù)學思想方法的理解是掌握本內容的關鍵，數(shù)形結合思想貫穿始終，建議通過對多種問題進行歸類整理，從包含的知識、方法、運動變化方式等維度分析，要在已有基本圖形的認知上建構這幾個維度的關聯(lián)，形成“大單元”的格局觀，深度體驗、深度審視內容考查的方式、方法.

4. 注重動靜結合，把握變化本質

從《標準》的要求來看，“位置”與“運動”是學習本內容的關鍵詞，而運動中的變與不變是掌握本內容的難點. 由此，在復習過程中，要對圖形的幾種基本變化性質進行深刻把握，特別是對變化前后圖形對應點的變化規(guī)律的理解，建議通過動手實踐去真實感受“運動”的本質，培育學生的直觀感知素養(yǎng).

四、模擬題欣賞

1. 如圖7，將[∠AOB]放在邊長為[1]的小正方形組成的網(wǎng)格中，若點A，O，B都在格點上，則[tan∠AOB]為（ ? ?）.

（A） [12] （B）[2]

（C）[3] （D） [13]

參考答案：B.

2. 在平面直角坐標系中，點[A]沿[x]軸正方向平移1個單位長度得到點[B]. 點[B]關于[y]軸對稱得到點[C-2，3]，則點[A]的坐標為（ ? ?）.

（A）[3，-3] （B）[-3，3]

（C）[1，3] （D）[-1，3]

參考答案：C.

3. 如圖8，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形[OABC]的頂點[O，A，C]均在坐標軸上，點[B]坐標為[B3，2]，如點[B]沿過點[A]的直線翻折后剛好落在[x]軸上，則這條直線的方程為________________?.

參考答案：[x+y-3=0].

4. 如圖9，一次函數(shù) y = 2x + 2 的圖象為直線l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按圖中所示的方式放置，頂點A，A1，A2，A3，…均在直線l上，頂點O，O1，O2，…均在x軸上，則點Bn的坐標是 ________ .

參考答案：[2n+2n-1-1，2n].

5. 如圖10，在平面直角坐標系[xOy]中，拋物線[y=-x2+bx+c]交坐標軸于[A，B，C]三點，且點[A]的坐標為[A-3，0，] 點[B]的坐標為[B0，3].

（1）求拋物線的解析式;

（2）若P為線段AB上一點，∠APO = ∠ACB，求AP的長;

（3）在（2）的條件下，設M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點N的坐標;若不存在，試說明理由.

參考答案：（1）[y=-x2-2x+3;]

（2）[22][;]

（3）存在. 點N的坐標為[-2，3，] [2，-5]，[-4，-5].

五、結束語

中考試題對初中階段的教育教學具有較強的導向作用，隨著課程改革與評價方式改革的深入，對于學生核心素養(yǎng)考查的試題命制會有更高的要求. 因而，學生對于“圖形與坐標”內容的復習，需要從圖形本身性質及其變化規(guī)律去把握內容要求，從“大單元”的視角去理解學科內、外間的關聯(lián)，從問題背后所承載的數(shù)學思想方法把握教與學.

參考文獻：

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