5.5.1兩角差的余弦公式(第1課時)

胡曉翠

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用。

2.內(nèi)容解析

教科書關于本節(jié)三角恒等變換安排了以下內(nèi)容：兩角差的余弦公式;兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式. 中心內(nèi)容是建立相關的十一個公式，通過探索、證明和初步應用，體會和認識公式的特征和功能，發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)。

類比5.3節(jié)中用到的圓的特殊對稱性，此處用到的是圓的更一般的對稱性，即旋轉(zhuǎn)對稱性. 這種特殊與一般的關系，蘊含著誘導公式與兩角和（差）公式之間的特殊與一般關系.兩角差的余弦公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式的基礎，為后面公式的推導起了鋪墊作用。

綜合以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：兩角差余弦公式的應用. 教學難點：兩角差的余弦公式的形成（推導過程）。

二、目標與目標解析

1.目標

（1）讓學生經(jīng)歷推導兩角差的余弦公式的過程，了解兩角差余弦公式的意義。

（2）能夠掌握兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用。

（3）學生能夠通過觀察和分析公式的結(jié)構(gòu)特點，從整體上把握公式，靈活地運用公式，抓住角的特點解決問題。

2.目標解析

（1）學生親身經(jīng)歷了探索過程，加強了新舊知識的聯(lián)系，使學生從直觀角度加強對差角公式結(jié)構(gòu)形式的認知。

（2）學生在教師的引導下，探索和證明兩角差的余弦公式，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，結(jié)合初中圓的知識以及兩點間的距離公式，以小組合作交流的形式，確定公式的具體形式，再通過例習題，鞏固和加強對公式的理解和應用。

（3）學生在教師的引導下會適當?shù)剡\用轉(zhuǎn)化、代換的方法配湊出使用公式的形式，抓住角的特點解決求值、求角、求函數(shù)最值等問題。

三、教學問題診斷分析

學生在本節(jié)課前已經(jīng)學習了三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，對三角函數(shù)已經(jīng)有了初步的認知，前面的內(nèi)容學習的是同一個角的問題，現(xiàn)在繼續(xù)學習的是關于兩個角的和與差的三角函數(shù)形式，有了前面的基礎，學生學習起來還是比較感興趣的。

學習本節(jié)內(nèi)容時學生可能會在以下方面感到困惑：

1.如何生成兩角差的余弦公式. 這個困惑主要發(fā)生在公式生成過程中如何將點坐標和公式聯(lián)系在一起，在這個問題中，我們可以引導學生類比5.3誘導公式的探究過程，從形的角度入手研究，再將形的關系代數(shù)化，從不同的角度進行表示，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，最后則體現(xiàn)聯(lián)系性，即圖形本身的直觀性質(zhì). 本節(jié)力圖體現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性與三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，從而證明兩角差余弦公式。

2.如何利用平面上兩點間距離公式建立等式關系. 對于這個問題，學生可以在教師的引導下一起完成。

3.如何從公式的結(jié)構(gòu)特點靈活運用公式（包括對公式的正用、逆用、變用）.這也是本節(jié)課的重點，在這里需要學生會觀察、會分析角的特點，靈活運用適當?shù)霓D(zhuǎn)化、代換的方法，再結(jié)合公式解決問題。

四、教學支持條件分析

使用導學案，引導學生逐步探索兩角差余弦公式，體驗提出問題、分析問題和解決問題的愉悅感。

五、教學過程設計

（一）復習引入

問題1：在初中，我們就知道，，由此我們能否得到cos15°=cos（45°-30°）的值？大家可以猜想，是不是等于？

師生互動：學生回答不等于，cos15°大于0，cos45°-cos30°小于0，顯然不成立。

設計意圖：為研究兩角差余弦公式做鋪墊。

（二）新知探索

1.公式的形成

問題2：預習教科書215頁，由圖5.5-1，你能根據(jù)三角函數(shù)的定義，寫出點A，P，A1，P1的坐標嗎？

師生互動：學生表示

追問1：圖中弦長AP和A1P1什么關系？你能用兩點間的距離公式表示弦長AP和A1P1嗎？

師生互動：學生結(jié)合初中圓的平面幾何知識，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性得出，AP=A1P1.在教師的引導下，用兩點間的距離公式分別表示弦長

追問2：由弦長AP=A1P1，你能得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ嗎？如何推導？

師生互動：學生回答能，由AP=A1P1，即，兩邊平方整理得，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ. 教師總結(jié)，確定公式的具體形式。

追問3：上述公式在時成立，若時，公式是否還成立？

師生互動：成立，師生共同總結(jié)兩角差余弦公式.，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ稱為差角的余弦公式，簡記作C（α-β）。

設計意圖：讓學生親身經(jīng)歷探索公式的過程，加強學生對公式的理解與記憶，培養(yǎng)學生直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

2.公式的應用

師生互動：學生獨立思考，教師巡回指導，提醒學生注意角的范圍，同時請兩位學生到黑板上進行板演，由α，β的范圍知，，則. 同時教師對板演過程規(guī)范做出必要的點評與要求。

設計意圖：加強學生對公式的應用與理解，以及使用公式前應做出的必要準備。

（三）歸納總結(jié)、布置作業(yè)

問題3：請歸納總結(jié)本節(jié)課的學習收獲

師生互動：學生各抒己見，教師適時補充總結(jié). 這節(jié)課我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認知公式的結(jié)構(gòu)特征，了解公式的推導過程. 同時也要注意角的范圍，也就是符號問題，學會靈活運用公式，這也是本節(jié)課的重點。

設計意圖：讓學生通過總結(jié)，反思學習過程，加深對差角余弦公式及其推導過程的理解和記憶。

布置作業(yè)：作業(yè)本109頁基礎訓練部分

六、目標檢測設計

1.已知，求cosα的值。

設計意圖：提升學生對兩角差余弦公式的靈活應用能力，會觀察已知角和未知角的關系，如本題，從而構(gòu)造差角公式的結(jié)構(gòu)形式，，最后只需求出的值，在這里我們要注意角的范圍，由題意知，即。

2.設，

設計意圖：本題同上題一樣考察學生對差角公式的運用能力，如何構(gòu)造差角是本題的難點，對初學差角公式的學生而言，角的構(gòu)造有一定的運用難度，需要學生多觀察、多思考、多練多做. 如本題，由兩角差余弦公式展開，只需求的正弦值和的余弦值，其中要注意角的范圍。

浙江省紹興市嵊州市嵊州中學 312400